2- 1_Эконометрика (Эконометрика.Контрольная работа №2.Вариант №1)
.docКонтрольная работа №2
Вариант 2.1
1. Найти несмещенную оценку дисперсии , несмещенную оценку среднеквадратического отклонения Sl, и оценку ковариационной матрицы вектора , используя данные (в тыс. руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) в северных областях России в n=10 семьях. Данные представлены в табл. 5.4. Рассматривается линейная модель вида
,
где ,
№ семьи (i) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
yi (тыс.руб.) |
0,66 |
0,22 |
4,84 |
1,98 |
8,80 |
3,74 |
12,76 |
5,50 |
16,50 |
6,60 |
xi (тыс.руб.) |
2,20 |
4,40 |
6,60 |
8,80 |
11,00 |
13,20 |
15,40 |
17,60 |
19,80 |
22,00 |
Решение.
Для удобства вычислений составляем таблицу:
|
хi |
уi |
х² |
у² |
ху |
ŷi |
уi - ŷi |
(уi – ŷi)² |
1 |
2,2 |
0,66 |
4,84 |
0,4356 |
1,452 |
0,76 |
-0,1 |
0,01 |
2 |
4,4 |
0,22 |
19,36 |
0,0484 |
0,968 |
1,96 |
-1,74 |
3,0276 |
3 |
6,6 |
4,84 |
43,56 |
23,4256 |
31,944 |
3,16 |
1,68 |
2,8224 |
4 |
8,8 |
1,98 |
77,44 |
3,9204 |
17,424 |
4,36 |
-2,38 |
5,6644 |
5 |
11 |
8,8 |
121 |
77,44 |
96,8 |
5,56 |
3,24 |
10,4976 |
6 |
13,2 |
3,74 |
174,24 |
13,9876 |
49,368 |
6,76 |
-3,02 |
9,1204 |
7 |
15,4 |
12,76 |
237,16 |
162,8176 |
196,504 |
7,96 |
4,8 |
23,04 |
8 |
17,6 |
5,5 |
309,76 |
30,25 |
96,8 |
9,16 |
-3,66 |
13,3956 |
9 |
19,8 |
16,5 |
392,04 |
272,25 |
326,7 |
10,36 |
6,14 |
37,6996 |
10 |
22 |
6,6 |
484 |
43,56 |
145,2 |
11,56 |
-4,96 |
24,6016 |
Σ |
121 |
61,6 |
1863,4 |
628,1352 |
963,16 |
|
|
129,8792 |
|
12,1 |
6,16 |
186,34 |
62,81352 |
96,316 |
|
|
|
Используя данные таблицы, имеем:
= 12,1 = 6,16 = 186,34 = 62,81352 = 96,316
Рассчитываем и по методу наименьших квадратов:
== 0,545455 ; = -· = -0,44
Оценка уравнения регрессии имеет вид
Используя вычисления в таблице, имеем:
=16,2349
2. Дана оценка ковариационной матрицы вектора несмещенных оценок
Чему равна оценка дисперсии элемента вектора , то есть:
а) 5,52 ;
б) 0,04 ;
в) 0,01 ;
г) 2,21 .
Ответ:
Ковариационная матрица вектора была введена соотношением
С помощью её элементов подсчитываются основные показатели случайного разброса оценок около соответствующих истинных значений параметров и одновременно характеристики взаимозависимости полученных оценок. Из определения следует, что её диагональные элементы задают средние квадраты ошибок соответствующих оценок (а для несмещённых оценок это и есть оценок). Таким образом оценка дисперсии элемента вектора равна 5,52.
Ответ: а
3. Пусть а Показать, что данная оценка является несмещенной.
Решение.
Оценка параметра называется несмещённой, если .
Чтобы подсчитать среднее значение оценки , подставим в формулу вместо Y его выражение из соотношения И получим следующее выражение:
Здесь оценка представлена как сумма истинного значения и линейной комбинации случайных остатков . Беря математические ожидания от левой и правой частей полученного выражения, с учётом того, что величины и неслучайны, а , получаем:
Тем самым показано, что данная оценка является несмещенной.