5. Определение реакции дискретной сау

МЕЖДУ МОМЕНТАМИ КВАНТОВАНИЯ

Как уже отмечалось, Z-преобразование выходного сигнала дискретной системы определяет значение функции, только в моменты квантования. Следовательно, методZ-преобразования обладает достаточной точностью применительно к тем системам, в которых сигналы между двумя последовательными моментами квантования изменяются не существенно. Если же возникает необходимость в определении реакции системы между этими моментами, следует использовать специальные методы, например метод дробного квантования или метод модифицированногоZ-преобразования.

5.1. Метод дробного квантования.

Как и обычный метод Z-преобразования, рассматриваемый метод не позволяет найти непрерывный сигнал, а лишь определить соответствующую ему решетчатую функцию. Но дискреты этой функции разделены интервалами времени, равными(гдеN– целое число), т.е. расположены вNраз чаще по сравнению с дискретной функцией. Обозначим такую решетчатую функцию, а соответствующее ейZ-изображение -. Согласно методу дробного квантования указанноеZ-изображение равно

(41)

где может быть получена из обычной передаточной функции системызаменой в последнейzна, ина. ВеличинаNопределяется числом требуемых дополнительных значений. Если внутри интервала квантования требуетсяRдополнительных точек, то.

Пример 24. Воспользуемся исходными данными примера 17 и определим два дополнительных значения внутри интервала квантования для решетчатой переходной функции.

Поскольку , то. Передаточная функция дробного квантования, полученная попримера 17:

Z-изображение переходной функции в соответствии с (41):

Дробная степень zв последнем выражении затрудняет дальнейшие преобразования, поэтому можно ввести в рассмотрение новую переменную, тогда:

Разлагая в ряд Лорана, получим:

Следовательно:

и т.д.

Рис.32. Переходная функция дискретной САУ (к примеру 24)

Очевидно, что приведенный на рис. 22 возможный вид графика функции , построенный по значениям дискрет функции, неверен (рис. 32). В данном случае в этом легко убедиться и без применения дробного квантования, достаточно воспользоваться формулой (10). Но при определении вида непрерывных сигналов в более сложных дискретных системах возможность получения дополнительных дискрет внутри интервала квантования является несомненным достоинством рассмотренного метода.

5.2. Метод модифицированного z-преобразования.

Формально этот метод основан на определении Z-изображениямодифицированного сигнала ,т.е. сигнала, задержанного фиктивным звеном чистого запаздывания на время.

Рассмотрим подробнее один, например первый, интервал квантования (рис. 33). Поскольку , очевидно, что, изменяяот 1 до 0, можно по величине дискреты определить все значенияотдо. Для удобства дальнейших преобразований введем в рассмотрение величину, диапазон изменения которой от 0 до 1.

Z-изображение модифицированного сигнала:

Рис.33. К определению метода модифицированного Z-преобразования

При и, следовательно, функция задержана на один такт по сравнению с. При, т.е. модифицированное и “обычное”Z-изображения совпадают.

Пример 25. Необходимо определить модифицированное изображение линейно нарастающего сигнала .

В соответствии с (42) получим:

При .

Модифицированное Z-изображение выходного сигнала разомкнутой системы (см. рис. 13) с передаточной функцией ПНЧопределим следующим образом:

(43)

где - модифицированная дискретная передаточная функция, для вычисления которой необходимо выполнить модифицированноеZ-преобразование функции веса, соответствующей:

(44)

При последовательном соединении звеньев дискретной САУ (см. рис. 14,а) модифицированное Z-изображение ее выходного сигнала равно:

а в случае, когда звенья ине разделены квантователем (см. рис. 14,б):

В замкнутой дискретной системе с квантованием сигнала ошибки (см. рис. 17) модифицированное Z-изображение выходного сигнала равно:, носледовательно:

и

а модифицированная дискретная передаточная функция замкнутой системы:

(45)

Пример 26. Необходимо определить решетчатые переходные функции идля дискретной системы, рассмотренной в примере 22.

Имеем:

Для определения воспользуемся формулой (30). Полагаем:

Тогда:

Величины дискрет: и т.д.

Модифицированные дискретные передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем равны соответственно:

и

где ,

Здесь важно отметить тот факт, что для любой дискретной системы характеристические полиномы у исовпадают, а следовательно, совпадают и полюса указанных передаточных функций, поэтому устойчивость САУ можно оценивать как по, так и по.

Более того, выражение для может быть определено по:

Модифицированное Z-изображение переходной функции:

Раздельно для каждого из двух слагаемых по формуле (30) необходимо определить составляющие. При этом полагаем, так как они не зависят отn.

После преобразований получаем выражение для , по которому величину переходной функции можно рассчитать для произвольных моментов времени.

Например, при и; прии.