4.2. Логарифмические частотные характеристики дискретных сау.

Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики (ЛАХ и АФХ) широко используются при анализе и синтезе непрерывных САУ. Но для дискретных систем непосредственно использование обычных методов построения этих характеристик невозможно. Причина в том, что передаточные функции непрерывных САУ, по которым осуществляется построение характеристик, являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной pи могут быть выражены в виде линейных или квадратичных множителей, а передаточные функции дискретных систем являются трансцендентными функциями оператораp.

Z-преобразование превращает трансцендентную передаточную функцию от pв рациональную отz. Но для построения ЛАХ и АФХ необходимо также, чтобы с изменением частотыкомплексная переменная, являющаяся аргументом передаточной функции, изменялась вдоль мнимой оси комплексной плоскости (например). Но поскольку зависимость между комплексными переменнымиzиpопределяются формулой (13), и, следовательно:

то при изменении частоты комплексная переменная zперемещается по единичной окружности вокруг начала координат комплексной плоскостиZ.

Поэтому необходимо введение такого преобразования, которое отражало бы единичную окружность на плоскости Zв мнимую ось другой комплексной плоскости. Такое отображение осуществляется с помощью билинейного преобразования (32), в соответствии с которым внутренняя часть единичного круга наz-плоскости отображается в левую полуплоскостьw, а внешняя часть этого круга – в правую полуплоскость.

Зависимость между w и:

Следовательно, при изменении частоты комплексная переменнаяwперемещается вдоль мнимой оси.

Введем в рассмотрение относительную псевдочастоту , равную:

На основании (37) и (38) может быть получена зависимость между и комплексной переменнойw:

которая аналогична зависимости . Разница лишь в том, что, в отличие от, является безразмерной величиной. Поэтому при построении ЛАХ и ФЧХ дискретных систем будем использовать абсолютную псевдочастоту, имеющую как и, размерность.

Зависимость между абсолютной псевдочастотой и переменной w:

Таким образом, построение ЛАХ дискретной САУ осуществляется в следующей последовательности: по передаточной функции системы на основании (32) вычисляется передаточная функция, по которой, используя (40), определяется частотная характеристика. Построение асимптотической ЛАХ по видупроизводится по тем же правилам, что и для непрерывных систем. При построении ФЧХ следует обращать внимание на наличие неминимально-фазового сомножителяв числителе функции. Определяемая им составляющая в ФЧХ равна:.

В диапазоне частот, где и, следовательно,, построение ЛАХ и АФХ дискретных систем можно производить непосредственно функции ПНЧ. Это значительно упрощает анализ точности дискретных САУ, осуществляемый по виду низкочастотного участка ЛАХ.