2.2. Основные теоремы z-преобразования.

Математический аппарат Z-преобразования является основой теории дискретных САУ. Ниже приведены формулировки основных теоремZ-преобразования и примеры их применения.

1. Теорема о линейности преобразования:

Если константы, то

2. Теорема о смещении во временной области:

Если , а k-натуральное число, то

.

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту:

Есликонстанта, то

.

4. Теорема о начальном значении:

Если и существует предел , то

.

5. Теорема о конечном значении:

Если и если функция не имеет полюсов на окружности единичного радиуса и вне ее на комплексной плоскостиZ, то

.

Пример 7. Необходимо найти Z-изображение функции.

На основании теоремы линейности можно записать:

Пример 8. Необходимо найти Z-изображение функции.

Используя теорему об умножении на экспоненту применительно к (16), можно записать

.

2.3. Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.

По аналогии с непрерывными системами введем в рассмотрение передаточную функцию дискретной системы , как отношениеZ- изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях:

. (18)

В разомкнутой дискретной САУ (рис. 13) сигналы и- непрерывные функции времени, и формула (19) определяет связь не между ними, а между соответствующими решетчатыми функциямии.

Рис.13. К определению дискретной

передаточной функции

Как было указано выше, рассматриваемые выше в данном курсе импульсные САУ с АИМ и , являются линейными. В линейных системах, как в непрерывных, так и в дискретных, передаточная функция не зависит от вида входного сигнала. Поэтому с целью упрощения вывода формул дляв качестве входного сигнала используется единичный одиночный импульс, который описывается зависимостью:

Z-изображение такого сигнала равно единице. На выходе квантователя ему будет соответствовать немодулированная- функция. Следовательно, реакция САУ на единичный одиночный импульс является функция веса ПНЧ, а ееZ-изображение совпадает с передаточной функцией:

.

Функцию веса ПНЧ можно найти, выполнив преобразования Лапласа над передаточной функцией ПНЧ:

.

Таким образом, процедуру определения дискретной передаточной функции разомкнутой системы по передаточной функции ПНЧможно условно записать в виде следующего перехода:

(19)

Пример 9. Необходимо определить , если. Для того следует выполнить преобразование (19), начиная с вычисления непрерывной функции веса ПНЧ:

.

Соответствующая решетчатая функция веса:

.

Взяв Z-преобразование от , получим:

.

Пример 10. Необходимо определить , если передаточная функция НЧ системы имеет вид: , а в качестве ФЭ используется фиксатор с передаточной функцией (7).

Предварительно решим поставленную задачу в общем виде для системы с передаточной функцией НЧ . Передаточная функция ПНЧ такой системы согласно (9) равна:

.

Следовательно

В частном случае для , указанной в условии настоящего примера, имеем:

.

2.4. Последовательное соединение звеньев в дискретных сау.

Дискретная САУ, структура которой приведена на рис. 14, а, содержит два непрерывных звена с передаточными функциями и. Эти звенья разделены квантователем, который идентичен входному квантователюи синхронизирован с ним.

а) б)

Рис.14. Последовательное соединение звеньев в дискретных САУ

Сигналы на выходе звеньев:

.

следовательно:

и дискретная передаточная функция всей системы в этом случае равна:

.

Если звенья ине разделены квантователем (рис.14,б), то дискретная передаточная функция всей системы равна:

В общем случае .

Пример 11. Необходимо записать передаточную функцию разомкнутой дискретной САУ, структура которой приведена на рис.15:

Рис.15. Структура дискретной САУ к примеру 11

При определении системы необходимо предварительно выделить в ней подсистемы последовательно соединенных звеньев, между которыми нет квантователя, и найти их передаточные функции. Затем дискретные передаточные функции подсистем следует перемножить.

Для рассматриваемого примера:

.

Пример 12. Вычислить Z-изображение выходного сигнала системы (рис. 16), если

Отличие этой дискретной системы САУ от системы, структура которой приведена на рис. 13, в наличии непрерывного звена перед квантователем.

Рис.16. Структура дискретной САУ (пример 12)

Искомое Z-изображение равно:

,

где а

.

Следовательно:

.

Особенностью рассматриваемой системы является то, что для нее невозможно определить дискретную передаточную функцию как отношение Z-изображений выходного сигнала к входному.