2. Основы теории z-преобразования

2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.

С учетом (5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:

.

Поскольку при всехt, отличных от, окончательно имеем

, (11)

где D{…} – символдискретного преобразования ЛапласаилиD-преобразования. Следовательно, непрерывное преобразование Лапласа (L-преобразование) модулированной последовательности- функций равно дискретному преобразованию Лапласа (D-преобразованию) соответствующей решетчатой функции:

.

Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использованиеD- преобразования.

Если в (11) заменить наz, то получим формулу так называемогоZ-преобразованиядля дискретных значений сигнала:

(12)

где комплексные переменные pиzсвязаны между собой следующим образом:

(13)

Следует отметить, что согласно (12) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.

Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.

Пример 3. Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – экспоненциальная функция .

Следуя рассмотренной выше методике, необходимо, в первую очередь, найти решетчатую функцию, соответствующую . Выполнение этой операции сводится к формальной замене непрерывного аргументаtв функциина дискретное время. В рассматриваемом примере:

.

Следующий этап – нахождение дискретного преобразования Лапласа приведенной решетчатой функции. С учетом (11) имеем:

.

Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии, получаем:

.

Переход к Z– изображению осуществляем на основании (13):

. (14)

Пример 4. Необходимо найти Z-преобразование выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – единичная ступенчатая функция. Искомое изображение определим непосредственно по формуле (12):

(15)

Аналогичный результат может быть получен, если в (14) перейти к пределу при .

Пример 5. Необходимо найти Z-преобразование функции.

Соответствующая решетчатая функция . На основании (12) имеем:

.

Умножая обе части этого выражения на , получим:

.

Вычтем последнее выражение из предыдущего:

.

Следовательно

. (16)

Рассмотрим иной метод выполнения Z-преобразования, который предполагает использование непрерывногоL-изображения сигналавместо решетчатой функциии ееD-изображения. Для случая, когда изображениеимеет конечное число простых полюсов, оно может быть представлено в виде:

,

где p – i-й простой полюс изображения;k– порядок полинома

Осуществим замену и преобразуем последнее выражение к виду:

(17)

Пример 6. Используя формулу (17), необходимо найти Z-изображение экспоненциального сигнала (см. пример 3) непосредственно по егоL- изображению.

Зная, что

,

можно записать:

Тогда

Как и следовало ожидать, полученный результат совпадает с (14).

Согласно (12) определяется только величинами дискрет решетчатой функциии абсолютно не учитывает поведение непрерывного сигналамежду моментами квантования. Тем не менее, для обозначения операцииZ-преобразования наряду св дальнейшем используются выражения видаили. Эта формальная запись означает только то, чтоZ-преобразование осуществляется по решетчатой функции, полученной путем квантования непрерывного сигнала, обладающегоL-изображением.

Для наиболее часто встречающихся функций существуют таблицыZ-изображений, достаточно подробные таблицы приведены в [2,11].