8.2. Модель общего экономического равновесия Вальраса

Народное хозяйство состоит из l домашних хозяйств, потребляющих n разновидностей благ, для изготовления которых применяется m различных факторов производства. Предпочтения домашних хозяйств относительно благ и факторов производства заданы их функциями полезности

U_i = U(Q_i1, Q_i2,..., Q_in, F_i1, F_i2,..., F_im);  i = 1, 2,..., l,

где Q_ij - количество j-го блага (j = 1,2,..., n), потребляемого i-м индивидом; F_it - количество t-го фактора производства (t = 1,2,..., m), имеющегося у индивида.

Бюджет потребителя формируется в результате продажи принадлежащих ему факторов производства:

.

(8.7)

При заданной функции полезности индивида и его бюджетном ограничении можно вывести индивидуальные функции спроса на блага (см. 2.1) и предложения факторов производства (см. 7.1). В модели общего равновесия эти функции принимают с учетом взаимозависимости всех цен они и равенства вид

Рыночные функции спроса и предложения образуются в результате сложения индивидуальных функций:

Каждый вид благ производится многими конкурирующими фирмами по технологии, представленной соответствующей производственной функцией. Для упрощения модели предполагается, что каждая фирма производит лишь один вид благ. При заданной технологии и известных ценах благ и факторов производства фирма, максимизирующая прибыль, формирует функцию предложения блага (см. 2.4) и функцию спроса на факторы (см. 7.2). Сумма предложений всех фирм, производящих одно и то же благо, образует отраслевое предложение

На основе выведенных функций строится микроэкономическая модель общего экономического равновесия, состоящая из трех групп уравнений, представляющих:

1) условия равновесия на рынках благ

;

(8.8)

j = 1,2,..., n;

2) условия равновесия на рынках факторов производства

(8.9)

t = 1,2,..., m;

3) бюджетные ограничения фирм в условиях совершенной конкуренции в виде равенства общей выручки общим затратам

(8.10)

j = 1,2,..., n;

Система уравнений (8.8) - (8.10) содержит (2n + m) неизвестных (P_j, r_t, Q_i) и столько же уравнений. Но независимыми являются только (2n + m - 1) уравнений. Это вытекает из бюджетного ограничения каждого потребителя.

Так, если в экономике используются два фактора производства (L, K) и производятся два блага (А, В), то для каждого экономического субъекта выполняется равенство

.

(8.11)

Равенство (8.11) означает, что расходы субъекта на покупку благ и факторов производства (левая часть) равны его доходам от продажи благ и предоставления услуг труда и капитала (правая часть). Представим его в другом виде

.

В скобках представлен результат сделок экономического субъекта на каждом из рынков. Из-за бюджетного ограничения суммарный результат равен нулю.

Сложив результаты сделок всех участников на всех рынках, получим следующее равенство:

.

(8.12)

Каждое из слагаемых правой части равенства (8.12) характеризует конъюнктуру на отдельном рынке. Если оно равно нулю, то на рынке достигнуто равновесие; в противном случае на рынке существует дефицит или избыток. Из равенства (8.12) вытекают два важных свойства национальной экономики.

Во-первых, при отсутствии общего экономического равновесия сумма избытков на одних рынках равна сумме дефицитов на других.

Во-вторых, если некоторая система цен обеспечивает равновесие на любых трех рынках (превращает в нуль разность в любых трех скобках равенства (8.12)), то равновесие будет и на четвертом рынке (нулю будет равна и разность в четвертой скобке). Этот вывод, верный для любого числа рынков, назван законом Вальраса.

В соответствии с законом Вальраса система уравнений (8.8) - (8.10) содержит только (2n + m - 1) независимых уравнений. Чтобы она могла иметь решение, необходимо либо добавить еще одно независимое уравнение, либо исключить одно неизвестное. Первый вариант используется в макроэкономике; в качестве дополнительного берется уравнение, определяющее равенство спроса и предложения на денежном рынке. Второй вариант применяется в микроэкономике. Для объяснения микроэкономических явлений достаточно знать систему относительных цен, которая основана на том, что определенное количество одного товара служит масштабом цен при измерении ценности всех других товаров. Цена избранного товара принимается за единицу и в системе уравнений (8.8) - (8.10) число неизвестных оказывается равным числу независимых уравнений.

Как известно из математики, само по себе такое равенство не гарантирует существования решения соответствующей системы уравнений, особенно если искомые переменные должны иметь положительные значения. В этом мы могли убедиться в 8.1. Тем не менее доказано², что при наложении ряда экономически приемлемых ограничений на характер функций и значения аргументов модели типа (8.8) - (8.10), можно определить вектор равновесных цен. Доказательство этого утверждения требует использования сложных математических выкладок.

Вы можете убедиться в возможности существования общего экономического равновесия, рассмотрев числовой 8.1 и выполнив с диалоговыми упражнениями.

Пример

Условие:

Экономика состоит из двух потребителей (I,II) и двух фирм (A, B), производящих по одному виду продукции. Предпочтения потребителей представлены их функциями полезности:

,

где Q_j,i количество j-го блага, потребляемого i-м индивидом.

Ввиде карт безразличия предпочтения потребителей выглядят так: 1.

Доходы (бюджеты) потребителей формируются за счет продажи фирмам труда и капитала:

Кроме того, при наличии у фирм прибыли она полностью распределяется между собственниками капитала, т.е. потребитель I получает 60%, а потребитель II – 40% прибыли.

Фирмы работают по технологиям, представленным следующими производственными функциями:

.

Вграфическом виде их показывает: 2.

Цель потребителей – максимизация функций полезности, цель фирм – максимизация прибыли. Для каждого экономического субъекта цены на блага и факторы производства экзогенно заданы. Определим для данной экономики систему равновесных цен.

Формализуем сперва поведение фирм: 

Из условия равновесия фирмы   следует:. Поэтому общие затраты фирмыА равны: ,  а прибыль:.  Она достигает максимума при.

Отсюда определяются функции спроса фирмы А на труд и капитал в состоянии равновесия:

  .

Подставив эти значения в производственную функцию, получим функцию предложения фирмы А:

.

Вграфическом виде выведенные функции можно представить, задав значения цен на факторы производства: 3.

Аналогично определяются функции спроса на факторы производства и предложения блага для фирмы В: 

; .

Обратим внимание на то, что объемы спроса и предложения производителей определяются только системой цен. Поэтому и прибыль можно представить в виде функции от вектора цен. Используя формулу , получаем:

Для определения бюджета потребителей нам потребуется величина суммарной прибыли обеих фирм:

Теперь перейдем к формализации поведения потребителей

Потребители I и II максимизируют свои функции полезности при следующих бюджетных ограничениях:

На основе функции полезности потребителя I и его бюджетного уравнения составим функцию Лагранжа:  . Из условий ее максимизацииследует.

Подставив полученное значение в бюджетное уравнение, определим функции спроса потребителя I на каждое благо:

Аналогично выводятся функции спроса на блага потребителя II:

На основе выведенных функций составим модель общего экономического равновесия:

В соответствии с законом Вальраса вектор цен, обеспечивающий равновесие на трех первых рынках, уравнивает спрос и предложение и на четвертом рынке. На основе выведенных выше функций получаем систему:

Чтобы довести число неизвестных до числа уравнений, примем: .  Тогда из решения системы получаем:При таких ценахТогда бюджет первого потребителя– M_I = , а бюджет второго – M_II = .

Эта система цен обеспечивает совместное равновесие на всех четырех рынках:

	Потребитель			Фирма
Рынок	I	II	всего	А	В	всего
	предложение			спрос
Труда	8	10	18	6,16	11,84	18
Капитала	12	8	20	14,45	5,55	20
	спрос			предложение
Блага А	4,55	2,01	6,56	6,56		6,56
Блага В	2,24	3,97	6,21		6,21	6,21

 4 представляет ОЭР на графиках.