2.2. Затраты производства и функция затрат

Затраты- это ценность материалов и услуг факторов производства, использованных при изготовлении продукции. Поскольку материалы, потребленные в данном процессе производства, ранее были изготовлены при использовании труда и капитала, то в итоге все затраты сводятся к оплате факторов производства.

Когда объем производства превышает единицу, тогда различают общие затраты ТС(total cost) на весь выпуск, средние затратыАС(average cost) на единицу продукции (АС = TC/Q) и предельные затратыМС(marginal cost) - приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу (МС=TC/Q).

Зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми для ее производства затратами называют функцией затрат.

Обозначим цену труда, т.е. количество денег, которое необходимо заплатить за использование наемного работника в течение определенного времени, r_L, а цену капитала - количество денег, уплачиваемое за применение средств производства в течение некоторого времени, -r_K. Тогда общие затраты на выпуск некоторого количества продукции:TC=r_LL+r_KK.

При заданных ценах факторов производства величина затрат определяется минимально необходимыми для выпуска продукции объемами труда и капитала, т.е. технологией, представленной производственной функцией Q = Q(L,K). ПоэтомуL = L(Q),K = K(Q), а следовательно, иTC = TC(Q).

Выделение короткого и длинного периодов при построении производственной функции находит свое отражение и в функции затрат. Поскольку в коротком периоде К== const, то функция затрат в этом случае имеет видTC(Q) =r_LL(Q) +r_K, т.е. в коротком периоде затраты делятся на постоянныеTFC(total fixed cost), не зависящие от объема выпуска (TFC=r_K), и переменныеTVC(total variable cost), меняющиеся по мере изменения выпуска (TVC=r_LL(Q)). В длинном периоде все затраты переменные.

Переход от производственной функции к функции общих затрат осуществляется в приведенной ниже последовательности:

Выполним этот переход графически и алгебраически для короткого и длинного периодов.

Короткий период

Рис. 2.10. Кривая общего выпуска в коротком периоде Q = 6L + 1,2L^2 - 0,01L^3

Возьмем за основу график общего выпуска в коротком периоде, представленный на рис.  2.10. Если на оси абсцисс откладывать не количество труда, а расходы на его оплату (rLL), то получим график денежной производственной функции общего выпуска, изображенный на рис. 2.11 при rL = 3. Кривая Q(rLC) Q(C) на рис. 2.11 есть деформированная вследствие изменения масштаба по оси абсцисс кривая ТР на рис. 2.10: при rL > 1 она растянута, при rL < 1 - сжата. Развернув рис. 2.11 таким образом, чтобы затраты на правах функции оказались на оси ординат, получим график общих переменных затрат, изображенный на рис. 2.12. Трем особым точкам (а, в, с) на графике общего выпуска на рис. 2.11 и 2.12 соответствуют точки а', в', с'.

Рис. 2.11. Кривая денежной производственной функции общего выпуска	Рис. 2.12. Кривая общих переменных затрат

Так как график TFC по определению - это прямая, параллельная оси абсцисс, а ТС = TFC + TVC, то график общих затрат получается в результате параллельного сдвига кривой TVC вверх на величину общих постоянных затрат (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Кривая общих затрат в коротком периоде

2.7 показывает это на числовом примере. Тангенс угла , образующегося в результате соединения точек кривойТС с началом координат, равен средним затратам (АС) при выпуске, соответствующем проекции данной точки на ось абсцисс. Тангенс угла касательной к точкам кривойТС равен предельным затратам (МС) при выпуске, соответствующем проекции данной точки на ось абсцисс. Из рис. 2.13 следует, что по мере увеличения объема выпуска величина средних затрат (tg) уменьшается до точкиb' и затем возрастает; а величина предельных затрат (tg) снижается до точкиа' и потом повышается. В точке b' оба угла становятся равными друг другу. По изменениям tgи tg, представляющих значения средних и предельных затрат, можно построить графикиАС и МС. График AVC = TVC/Q получаем аналогично графику АС на основе наблюдения за изменением угла, образующегося в результате соединения точек кривой ТVС с началом координат. На рис. 2.14 показано построение семейства кривых AC, AVC и МС. Сделайте то же самое, используя 2.8.

Рис. 2.14. Семейство кривых затрат в коротком периоде

Трем особым точкам (а', b', c') соответствуют минимумы МС, AVC, AC. Обратим внимание на три обстоятельства. Во-первых, минимум AVC достигается при меньшей величине выпуска, чем минимум АС. Наглядно объяснить этот факт можно с помощью рис. 2.15, на котором кривая АС представлена как результат вертикального сложения кривых AFC = TFC/Q и AVC: до тех пор, пока снижение средних постоянных затрат перекрывает рост средних переменных затрат, увеличение выпуска после достижения минимума AVC сопровождается уменьшением средних затрат на единицу продукции. В общей динамике затрат в коротком периоде можно выделить четыре фазы: 1) одновременное снижение предельных, средних переменных и совокупных средних затрат; 2) уменьшение средних переменных и совокупных средних при увеличении предельных затрат; 3) повышение предельных и средних переменных при снижении средних совокупных затрат; 4) одновременное увеличение всех видов затрат.

Рис. 2.15. Кривая AC, полученная при вертикальном сложении кривых AVC и AFC

Во-вторых, кривая МС всегда пересекает кривые AVC и АС в точке их минимума. Это объясняется тем, что добавление к выпущенному количеству продукции дополнительной единицы, произведенной с меньшими затратами, чем требовалось в среднем на предыдущий выпуск, ведет к снижению средних затрат. Если же ситуация складывается так, что дополнительная единица, произведена с большими затратами, то средние затраты увеличиваются. Но если при МС < AC (или AVC) они снижаются, а при МС > AC (или AVC) средние затраты возрастают, то МС = AC (или AVC) в точке минимума средних затрат. В-третьих, при любом заданном объеме выпуска сумма предельных затрат по определению равна сумме переменных затрат.

Для получения алгебраического представления функции затрат примем, что производство продукции осуществляется по технологии, которая соответствует производственной функции Если объем капитала фиксирован, то

.

Поэтому в коротком периоде общие затраты:

.

(2.3)

Первое слагаемое представляет переменные затраты, а второе - постоянные.

Длинный период

Аналогично тому, как производственную функцию длинного периода можно представить в виде множества производственных функций короткого периода, различающихся объемами постоянного фактора производства, затраты в длинном периоде можно изобразить посредством множества кривых затрат в коротком периоде, которые отличаются величиной постоянных затрат (рис. 2.16, верхняя часть).

Рис. 2.16. Затраты в длинном периоде

По мере увеличения объема капитала растут постоянные затраты, сдвигая кривую TC вверх. В результате увеличения капиталовооруженности труда все больший объем продукции производится при снижающихся средних переменных затратах, что отображается удлинением участка кривой TC, загибающегося к оси абсцисс. В нижней части рис. 2.16 построены кривые средних затрат в коротком периоде, соответствующие кривым общих затрат. Чем больше объем капитала (постоянных затрат), тем правее расположена кривая АС, указывая на то, что по мере роста масштаба производства минимум средних затрат достигается при все большем объеме выпуска. Будет ли при увеличении масштаба производства минимум средних затрат снижаться, повышаться или оставаться неизменным, зависит от того, какой эффект масштаба присуща применяемой технологии. При его росте кривая АС смещается не только вправо, но и вниз относительно осей координат; при снижении этого показателя происходит сдвиг кривой АС вправо-вверх; в случае постоянного она смещается вправо параллельно оси абсцисс. Отрезки кривых TC и АС, расположенные выше точек их взаимного пересечения, не соответствуют определению функции затрат из-за того, что не представляют минимально возможные затраты на заданный выпуск. Так, для производства Q1 единиц продукции следует применять К2, а не К1 единиц капитала. Поэтому кривые затрат в длинном периоде образуются из участков кривых затрат в коротком периоде до их взаимного пересечения.

Если приращение капитала можно осуществлять маленькими порциями, то кривые общих LTC (long total cost) и средних затрат LAC (long average cost) в длинном периоде будут иметь, изображенный на рис. 2.17; кривая LMC (long marginal cost) представляет динамику предельных затрат.

Рис.2.17. Кривые общих и средних затрат в длинном периоде

 2.9 на числовом примере иллюстрирует построение семейства кривых затрат.

Чтобы представить функцию затрат длинного периода с помощью производственной функции с взаимозаменяемыми факторами производства необходимо определить, при каком сочетании количества труда и объема капитала продукция производится с минимальными затратами. Если фирма может заплатить за покупку факторов производства М денежных единиц, то как распределить эту сумму между трудом и капиталом, чтобы при данной технологии выпустить максимально возможный объем продукции?

При заданных ценах факторов производства область выбора фирмы задается равенством

.

На рис. 2.18 эта область представлена прямой линией, называемой изокостой (линией равных затрат). Каждая ее точка показывает, какие количества труда и капитала фирма может купить при имеющихся деньгах.

Тангенс угла () наклона изокосты равен отношению цен факторов производства, а ее отдаленность от начала координат определяется объемом производственных расходов. Все сочетания объемов труда и капитала, соответствующие точкам на изокосте и под ней, доступны производителю, а выше этой прямой - нет.

Рис. 2.18. Изокоста

Технологические возможности фирмы в длинном периоде, как уже отмечалось, представляет карта изоквант. Проведя на ней изокосту, мы совместим технологические и финансовые возможности фирмы. Точка касания изокосты с наиболее отдаленной от начала координат изоквантой (рис. 2.19, точка Н) указывает на сочетание количества труда и капитала, обеспечивающее максимально возможный объем выпуска. Для большего выпуска у производителя не хватает средств: все изокванты большего выпуска расположены выше изокосты. Используя LH единиц труда и KH единиц капитала, фирма произведет 160 ед. продукции с минимальными затратами. Состояние, при котором фирма в длинном периоде производит продукцию с минимальными средними затратами, называют равновесием производителя.

Рис. 2.19. Равновесие фирмы

 2.10 показывает, какие факторы влияют на равновесие производителя.

В точке касания изокванты с изокостой обе линии имеют одинаковый наклон. Как было установлено выше, наклон изокванты определяется предельной нормой технической замены капитала трудом, а наклон изокосты - отношением цен факторов производства. Следовательно, условием равновесия фирмы является следующее равенство: MRTS_L,K = r_L/r_K. Поскольку MRTS_L,K = MP_L/MP_K, то в длинном периоде продукция производится с минимальными затратами, если отношение предельных производительностей факторов производства равно отношению их цен:

MPL/MPK = rL/rK

.

(2.4)

Равенство (2.4) является условием равновесия конкурентной фирмы, из которого определяются объемы труда и капитала, используемые фирмой в длинном периоде.

Рис. 2.20. Путь развития фирмы

Если отношение цен факторов производства не изменяется, то любой объем продукции фирма производит при одной и той же капиталовооруженности труда, т.е. за счет изменения масштаба производства. Используемые ей объемы труда и капитала в этом случае определяются точками касания изоквант с перемещающейся параллельно самой себе изокостой рис. 2.20. Соединив все точки касания, получим линию (путь) развития фирмы (TR). Изменение относительных цен факторов производства приводит к изменению капиталовооруженности труда. Так, если в ситуации, представленной на рис. 2.19, снизится цена труда или повысится цена капитала, то наклон изокосты к оси абсцисс уменьшится и фирма будет производить 160 ед. продукции при сочетании LF, KF. Обратим внимание на то, что переход из точки H в точку F сопровождается снижением производительности труда: то же количество продукции производится с большими затратами труда. Тем не менее сочетание LF, KF обеспечивает минимум затрат на выпуск 160 ед. продукции в новой системе цен факторов производства.

Чтобы представить функцию затрат в длинном периоде в алгебраическом виде решить следующую задачу: найти такие значения L и K, удовлетворяющие равенству Q = LK, при которых сумма (r_LL + r_KK) достигает минимума. Для этого воспользуемся минимизацией функции Лагранжа

= r_LL + r_KK - (LK - Q),

где - сомножитель Лагранжа.

Она достигает минимума при

.

(2.5)

В соответствии с заданной производственной функцией

.

(2.6)

решим совместно уравнения (2.5) и (2.6), в результате

.

Подставив эти значения в функцию затрат, после преобразований получим

.

(2.7)

При неизменном эффекте масштаба (+= 1) в длинном периоде средние затраты равны предельным затратам и не зависят от объема выпуска

.

Соотношение между кривыми средних затрат короткого и длинного периодов помогает понять 2.11.

Кривая затрат представляет множество объемов продукции, производимых с минимальными затратами. Какой объем из него выберет фирма, зависит от цены ее продукции.