1.2. Повнота системи аксіом евклідової геометрії

Питання про повноту системи аксіом тісно пов'язане з питанням про ізоморфізм всіх її реалізацій.

Означення 6. Дві реалізації R і R ' деякої теорії Т називають­ся ізоморфними, якщо між елементами цих реалізацій (що відпо­відають основним поняттям теорії Т) можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка зберігає відношення, встановлені ак­сіомами [14,c.94].

Теорема 1. Якщо всі реалізації системи аксіом теорії Т ізо­морфні, то ця система аксіом повна.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, але система аксіом Т неповна. Це означає, що існує деяке твердження a, яке не може бути виведене з аксіом Т і не знаходиться з ними н суперечності. Тоді можна утворити дві несуперечливі системи аксіом іприєднуючи до аксіом Т аксіомуабо її заперечення.

Нехай і - реалізації систем аксіомі . Кожна з них є одночасно реалізацією Т. Оскільки в T має місце , має місцеa , то ці реалізації не ізоморфні. Прийшли до суперечності, яка й доводить теорему.

Теорема 2. Система аксіом евклідової геометрії є повною, тобто не можна приєднати до неї жодних нових аксіом, які б не випли­вали з уже прийнятих аксіом і не суперечили їм.

Доведення. Згідно з теоремою 1 для доведення даної теореми досить установити ізоморфізм всіх реалізацій системи аксіом евклі­дової геометрії. Оскільки дві реалізації, ізоморфні третій, є ізоморф­ними між собою, то досить довести ізоморфізм всіх реалізацій декартовій реалізації. Встановимо такий ізоморфізм.

Нехай R - яка-небудь реалізація системи аксіом евклідової гео­метрії на площині. Побудуємо аналітичну геометрію, яка відповідає цій реалізації. Введемо на площині прямокутну декартову систему координат точно так, як це робиться в аналітичній геометрії. Тоді кожна пряма на площині буде задаватись лінійним рівнянням . Для відстані між точками виводиться формула

Поставимо тепер у відповідність точці (х; у) декартової реаліза­ції точку реалізації R з координатами х, у; прямій декартової реалізації - пряму в реалізації R, яка задається таким самим рівнянням. Ця взаємно однозначна відповідність між точка­ми і прямими декартової реалізації і точками і прямими реаліза­ції R є ізоморфізмом.

Дійсно, якщо в декартовій реалізації точка А лежить на прямій а і - відповідні точка і пряма в реалізації R, то лежить на прямійа'.

Відповідні відрізки декартової реалізації і реалізації R мають однакові довжини, оскільки виражаються однією й тією ж формулою через координати кінців.

Отже, встановлена нами взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і довільної реалізації R -ізоморфізм. Звідси випливає, що всі реалізації системи аксіом евклі­дової геометрії ізоморфні і, отже, за теоремою 1 система аксіом евклідової геометрії повна [6,c.255].

1.3. Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

Щоб довести незалежність деякої аксіоми а від інших аксіом теорії T, досить побудувати таку реалізацію R системи аксіом теорії Т в якій аксіома а не виконується. Якщо таку реалізацію вдається побу­дувати, то аксіома а - незалежна. Дійсно, якби аксіома а була наслід­ком інших аксіом, то це було б і в реалізації R, тобто в R було б справедливе твердження a, що суперечить побудові R.

Цим способом ми й доведемо незалежність аксіоми існування відрізка даної довжини від інших аксіом евклідової геометрії. [3,c.420].

Теорема 3. Аксіома існування відрізка заданої довжини неза­лежна, тобто не може бути одержана як наслідок з інших аксіом евклідової геометрії.

Доведення. Позначимо через G сукупність дійсних чисел, яка міс­тить всі раціональні числа, а також всі числа, які одержуються з раціональних чисел за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. Чи­слами із G не вичерпуються всі дійсні числа.

^{Побудуємо тепер} декартову реалізацію системи аксіом тим са­мим способом, що й раніше, але будемо користуватись при цьому лише числами із G. Наприклад, точкою назвемо пару чиселізG, пря­мою - сукупність точок, які задовольняють рівняння з коефіцієнтами а, b, с із G і т.д. Перевіряючи виконання аксіом, ми слово в слово повторимо всі проведені нами раніше доведення. При цьому встановимо виконання всіх аксіом, крім аксіоми існування відрізка даної довжини. Ця аксіома в даній реалізації не буде вико­нуватися. Дійсно, довжина відрізка з кінцями в даній реалізації визначається за формулою

Через те що числа G, то й d G. Оскільки ж числа G не вичерпують всіх дійсних чисел, то знайдеться таке дійсне число d, яке в даній реалізації не може бути довжиною жодного відрізка. Наприклад, у даній реалізації не існує відрізка довжиною .

Таким чином, аксіома існування відрізка даної довжини залежить від інших аксіом евклідової геометрії [13,c.311].