3.1. Реалізація Бельтрамі - Клейна

В евклідовій геометрії рівняння прямої в декартових прямокутних координатах виражається лінійно відносно змінних х і у:

або (3)

де — довжина перпендикуляра ОР з початку координат на дану пряму, α — кут між віссю абсцис і перпендикуляром ОР, х, у — коорди­нати довільної точки М на прямій (рис. 1.93).

У площині Лобачевського пряма зображується відносно декарто-вої прямокутної системи координат трансцендентним рівнянням

(4)

де П(), П() , П() - функції Лобачевського відрізків х, у.

Щоб пряма Лобачевського зображувалась відносно х і у також лінійним рівнянням, Бельтрамі ввів нові і такі, що

Рис. 2

де k - довільна стала.

Координати і називають бельтрамієвими координатами.

Тоді в бельтрамієвих координатах рівняння пря­мої Лобачевського має лінійну форму відносно і :

(6)

Рис. 2

Координати х і у точок прямої (5.3) в декартовых координатах змінюються від -∞ до ∞. Легко переко­натись, що в бельтрамієвих координатах і зміню­ються у цілком певних межах, які можна взяти від -1 до +1.

Рис. 2

Отже, при переході від декартових координат х_, у до бельтрамієвих і вся площина Евкліда відображаєть­ся на частину площини Евкліда у вигляді круга, радіус якого можна взяти рівним одиниці. Цей круг назвали абсолютним кругом, а коло, що його обмежує, — абсолю­том площини.

Рис. 3

Тоді в цій реалізації основні поняття площини Лоба­чевського можна означити через поняття евклідової пло­щини. Введемо позначення: Л-точка (точка площини Ло­бачевського), Л-пряма (пряма площини Лобачевського), Л-площина (площина Лобачевського). Дамо означення ос­новних понять геометрії Лобачевського. Л-точками на­звемо евклідові точки відкритого абсолютного круга. Точки абсолю­та до Л-точок не належать, їх називають невласними точками, а точ­ки, що лежать зовні абсолюта, - ідеальними. [5,c.74].

Рис. 3

Л-прямими називають відкриті хорди абсолюта (без їх кінців); Л-площиною - відкритий абсолютний круг.

Відношення «належати», «лежати між» для Л-точок і Л-прямих означаються як відповідні евклідові відношення для точок і хорд, що лежать у середині абсолютного круга. Наприклад, Л-точка А нале­жить Л-прямій ВС, якщо точка А є внутрішньою точкою хорди ВС абсолюта (рис. 3).

Л-фігура Ф конгруентна Л-фігурі Ф', якщо існує колінеарне автоморфне відносно абсолюта і абсолютного круга перетворення площини, при якому образом Л-фігури Ф є Л-фігура Ф' [19,c.94].

При означенні основних понять геометрії Лобачевського через основні поняття геометрії Евкліда легко переконатись у виконанні всіх аксіом геометрії Лобачевського.

Аксіома 1.1 вимагає, щоб кожні дві точки визначали пряму. Ця вимога на абсолютному крузі виконується, бо через будь-які дві внутрішні точки А і D круга можна провести хорду АD, яка є Л-прямою АD.

Аксіома 1.2 стверджує, що кожні дві різні точки визначають одну і тільки одну пряму. У даній реалізації ця аксіома виконується, оскіль­ки через дві різні внутрішні точки (А і D) абсолютного круга можна провести одну і тільки одну хорду (АD), яка є єдиною Л-прямою АD, що проходить через Л-точки А і D.

За аксіомою 1.3 на кожній прямій існує принаймні дві точки і існують три точки, які н е лежать на одній прямій. В евклідовому розумінні на відкритій хорді абсолюта лежить скільки завгодно внутрішніх точок абсолютного круга і існують три точки всередині абсолютного круга, які не лежать на одній прямій.

У розумінні понять геометрії Лобачевського це означає, що на кожній Л-прямій існують принаймні дві Латочки і існують три Л-точки, які не належать одній Л-прямій.

Оскільки відношення «лежати між» для точок прямої таке ж, як і для точок хорди абсолютного круга, а це відношення має такий самий зміст і в розумінні Лобачевського, то вимоги аксіом порядку виконуються в даній реалізації для Л-точок і Л-прямих. [14,c.136].

У розширеній евклідовій площині завжди можна вибрати таку автоморфну колінеацію, що абсолют (коло) переходить в абсолют, внутрішні точки даного круга (абсолютного круга) переходять у внутрішні точки цього ж круга.

Аксіому 3.1 конгруентності, наприклад, у даній реалізації можна сформулювати так:

Якщо А, В — дві внутрішні точки абсолютного круга на хорді α і А' - внутрішня точка абсолютного круга на тій самій або на іншій хорді α', то на хорді α' з даного боку від точки А" існує і тільки одна така точка В', що відрізок А'В' є образом відрізка АВ у колінеарному перетворенні, автоморфному відносно абсолюта та абсолютного круга.

Вибравши таке колінеарне перетворення, що образом точки В хорди α буде точка В' хорди α' по заданий бік від точки та врахувавши означення конгруентності в даній реалізації, переконуємося, що аксіома 3.1 виконується. Аналогічно переконуємося, що інші аксіоми конгруентності також виконуються на абсолютному крузі для Л-точок, Л-відрізків та Л-кутів.

Для перевірки аксіом неперервності в реалізації Бельтрамі - Клейна розглядається принцип Дедекінда, еквівалентний аксіомам Архімеда і Кантора відносно аксіом перших трьох груп. Справедливість принципу Дедекінда у даній реалізації випливає з того, що він для евклідового відкритого відрізка (хорди абсолюта) справджується. Отже, у реалізації Бельтрамі - Клейна справджується абсолютна геометрія. Залишається перевірити, чи виконується аксіома паралельності Лобачевського. [9,c.200].

Візьмемо на абсолютному крузі довільну хорду ВС і не належну їй довільну точку D (рис. 1.94). У розумінні евклідових понять через точку D можна провести безліч хорд, які перетинають хорду ВС = α (наприклад, хорда АD), і безліч хорд, які не перетинають хорду а (наприклад, хорди) [16,c.181].

У розумінні Лобачевського звідси маємо, що через Л-точку D можна провести скільки завгодно Л-прямих, які перетинають Л-пряму α, і не менше двох Л-прямих, які не перетинають Л-пряму α =ВС. Хорди DВ =iDC= які проходять через точкиВ і С абсолюта, що не належать до Л-точок, є граничними серед Л-прямих, які проходять через Л-точку D і не перетинають Л-пряму α = ВС. Отже, Л-прямі відіграють роль паралельних прямій α.

Таким чином, у реалізації Бельтрамі - Клейна виконуються всі аксіоми планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевсько¬го несуперечлива настільки, наскільки несуперечлива планіметрія Евкліда. Відзначимо, що в реалізації Бельтрамі - Клейна одночасно з дове¬денням несуперечливості геометрії Лобачевського доведено і незалежність п'ятого постулату Евкліда [12,c.460].