2. Реалізація Пуанкаре

Ідея реалізації геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множинах різних об'єктів, особливо після завершення аксіоматичної побудови евклідової геометрії, набула широкого розвитку. Наприкінці XIX ст. і на початку XX ст. було створено цілий ряд різноманітних реалізацій аксіомики як евклідової, так і неевклідової геометрії. [11,c.66].

Декілька реалізацій аксіоматики планіметрії Лобачевського запропонував відомий французький математик і філософ А. Пуанкаре (1854-1912). Розглянемо одну з них, об'єктами якої є об'єкти евклідової півплощини.

Нехай довільна горизонтальна пряма т розбиває площину Евкліда на дві півплощини. Одну з них назвемо верхньою (над прямою m).

Введемо означення основних понять планіметрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки верхньої півплощини. Точки прямої m не належать до Л-точок (рис. 4).

Рис. 4

Рис. 4

Л-прямими назвемо евклідові півкола, що лежать у верхній півплощині і ортогональні до прямої m (тобто мають центр на прямій m),а також евклідові півпрямі верхньої півплощини, перпендикулярні до прямої m. На рис. 3, наприклад, це Л-пряма α і Л-пряма n.

Відношення належності і порядку для Л-точок і Л-прямих такі ж, як в евклідовому розумінні для точок, півкіл і променів верхньої півплощини.

Переконаємось, що в даній реалізації виконуються аксіоми абсо­лютної геометрії (за Гільбертом).

Нехай а - півколо у верхній півплощині, точка А належить півко­лу а. Тоді будемо говорити, що Л-точка А лежить на Л-прямій а. При такій домовленості легко перевірити виконання планіметричних ак­сіом першої групи - аксіом належності 1.1-1.3.

Справді, аксіома 1.1 виконується, оскільки через дві різні точки верхньої півплощини завжди можна провести півколо а, ортогональ­не з прямою т.Оскільки через дві точки верхньої півплощини можна провести не більше одного півкола, ортогонального прямій /п, то аксіома 1.2 справедлива. Виконання аксіоми 1.3 випливає з того, що на евклідо­вому півколі а верхньої півплощини існує скільки завгодно точок, як і скільки завгодно точок, які не лежать на півколі а.

Виконання аксіом порядку 2.1-2.3 випливає з того, що порядок точок на Л-прямій а збігається з порядком точок на евклідовому півколі а, яке зображує «Л-пряму у верхній півплощині (рис. 4).

Перевірка справедливості аксіоми 2.4 (Паша) проілюстрована на рис. 4: Л-пряма α, перетинаючи Л-сторону АВ в Л-точці М, пере­тинає ще одну Л-сторону ВС в Л-точці N Л-трикутника ABC і не може мати спільних точок з Л-стороною ВС (доведення цього Факту для евклідового прямолінійного трикутника ABC опускаємо).

Виконання аксіом неперервності випливає з того, що при введе­ному в такий спосіб порядку точок на Л-прямій (як і на евклідовому півколі) на ній виконується принцип неперервності Дедекінда, екві­валентний аксіомам Архімеда і Кантора. [15,c.390].

Дещо складнішим видається доведення аксіом конгруентності. Дамо означення Л-відрізків і Л-кутів через

об'єкти евклідової площини.

Рис. 6

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 5

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 8

Л-відрізком АВ назвемо дугу евкдідового півкола з кінцями АіВ. Л-півпряма з початком у точці О зображується дугою ОМ, кінець М якої лежить на прямій т, точка М не належить до Л-точок (рис. 6). Л-кутом з вершиною О будемо називати сукупність двох Л-півпрямих, що виходять з точки О (рис. 7).

Поняття конгруентності відрізків і кутів введемо за допомогою перетворення інверсії відносно кіл, ортогональних з прямою D, при цьому вважатимемо, що поняття інверсії та її властивості відомі. Інверсія відносно таких кіл відображає точки верхньої евклідової півплощини в точки цієї ж півплощини. [8,c.318].

Означення 6. Л-відрізок АВ конгруентний Л-відрізку А'В' якщо існує така скінченна послідовність інверсій, що їх композиція відображає евклідову кругову дугу АВ на кругову дугу А'В'.

При такому означенні конгруентності Л-відрізків аксіома 3.1 спра­вджується. Дійсно, нехай дані два півкола а і b із центрами на пря­мій m, на півколі а дана дуга АВ, а на півколі b дана точка С (рис. 8).Виберемо інверсію з центром на прямій т так, щоб півколо α відо­бразилось на півколо b. При цьому точки А і В півкола α перейдуть у деякі точки А' і B' на півколі b. Тоді за властивостями інверсії існує інверсія з центром на прямій т, яка відображає півколо b саме в себе так, що або точка А' переходить у точку С, або точка В' переходить у точку С. У першому випадку точка В' перейде в деяку точку пів­колаb, а в другому випадку точка А'перейде в деяку точку D" півко­ла b. Точки D ' і D" розміщені по різні боки від точки С.

Відповідно до означення конгруентності Л-відрізків маємо

i

Звідси випливає справедливість аксіоми 3.1 в даній реалізації. Аналогічно доводиться виконання аксіом 3.2, 3.3, 3.5 [7,c.175].

Означення7.Л-кути (h; k) і (h'; k') називаються конгруентни­ми, якщо існує така послідовність інверсій з центрами на прямій т, що їх композиція дуги півкіл, які зображують сторони Л-кута ( h; k) відображає на дуги півкіл, що зображують сторони Л-кута (h'; k')

Перевіримо виконання аксіоми 3.4.

Нехай дано Л-кути (h; k) з вершиною А і Л-промінь h' з початком (рис. 9). За властивостями інверсії з центром на прямій т існує послідовність інверсій, у результаті яких Л-пряма а перейде в Л-пряму α' так, що точка А перейде в точкуа Л-промінь h — у Л-промінь k'. При цьому Л-пряма b перейде в якусь Л-пряму b' що проходить через точку А', і Л-промінь k перейде в Л-промінь k ' Л-прямої b'. За означенням конгруентності кутів Л-кут (h; k) буде конгру­ентний Л-куту (h'; k') [2,c.400].

Якщо взяти за коло інверсії коло а, то Л-промінь k відобразиться в Л-промінь k", розміщений по другий бік від Л-променя h. Тоді за означенням 7 Л-кут (h; k) буде конгруентний Л-куту (h'; k").

Рис. 9

Рис. 10

Далі можна відобразити Л-промінь h в k і навпаки.Отже, Л-кут (h; k) конгруентний Л-куту (k; h)Повторюючи ще раз цю ж послідовність інверсій, переконаємось, що Л-кут (h; k) конгруентний сам собі.Таким чином, усі вимоги аксіоми 3.4виконуються в даній реалі­зації, а разом з нею і всі аксіоми конгруентності, і всі аксіоми абсо­лютної геометрії. Залишається з'ясувати, яка ж аксіома паралельності справджу­ється в даній реалізації. Візьмемо у верхній евклідовій півплощині з межею т півколо а з центром на прямій m і точку А, що не належить півколу α.Зрозуміло, що через точку А можна провести безліч півкіл з центра­ми на прямій m, які перетинають півколо α і які не перетинають його [14,c.130].

Рис. 10

Серед множини таких півкіл буде два півкола b і с, які дотика­ються півкола α в точках М і N на прямій m (рис. 10).

Оскільки точки М і N не належать до Л-точок, то півкола biс належать множині Л-прямих, які не перетинають Л-прямої α.

Отже, у пучку Л-прямих, що проходять через Латочку А, існує не­скінченна множина Л-прямих, які не перетинають Л-прямої а, і не­скінченна множина Л-прямих, які перетинають Л-пряму α.

Звідси випливає, що в реалізації Пуанкаре на евклідовій площині справджується аксіома паралельності Лобачевського. Роль гранич­них Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевським Л-прямій а, віді­грають евклідові півкола b і с, які в пучку Л-прямих, що проходять через точку А, відділяють одну від іншої множини Л-прямих, що перетинають Л-пряму α і що не перетинають її.

Отже, запропонована А. Пуанкаре реалізація аксіом геометрії в образах планіметрії Евкліда є моделлю планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевського несуперечлива настільки, наскіль­ки несуперчливою є планіметрія Евкліда.

Звідси також випливає, що аксіома паралельності Евкліда (п'я­тий постулат) і аксіома паралельності Лобачевського не є наслідка­ми аксіом абсолютної геометрії, вони незалежні від аксіом абсолю­тної геометрії.

Примітка. Відома також реалізація Пуанкаре аксіом планіметрії Ло­бачевського на евклідовому крузі - абсолютному крузі. Ця інтерпретація аналогічна інтерпретації Бельтрамі - Клейна, але роль Л-прямих відіграють дуги евклідових кіл, ортогональних з абсолютом. [14,c.133].