Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Выясним физический смысл этих ускорений. Для этого предста-

вим скорость следующим образом:					º	=	º
					v		v τ	. Определим ускорение
	º					º dv			º
º	d v		d	º					d τ
a =	-----------	=	----	(v τ ) =		τ	-----	+	--------	v .	(1.9)
	dt		dt				dt		dt

Из сравнения первых слагаемых в формулах (1.8) и (1.9) видно, что

aτ = dv ⁄ dt .

Таким образом, тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Найдем модуль и физический смысл второго слагаемого выражения (1.9).

º º

Напомним, что скалярным произведением векторов a и b

называется скалярная величина c, определяемая как произведение модулей векторов и косинуса угла между векторами: c =

								º º
=		º			º	º º	º º	d( τ , τ )
		a			b	cos ( a , b ) . Поскольку ( τ , τ ) = 1 = const , то ------------------------ =
								dt

= 0. Производную по времени выражения ( ºτ , ºτ ) можно найти следующим образом:

	º º	º d τ			d τ	º º d τ
d( τ , τ )
			º		º		º
------------------------		= τ	---------	+	---------	τ = 2 τ	---------
	dt		dt		dt		dt .
	º						º
º d τ						º	d τ
Поэтому τ	---------	, а следовательно, τ					---------	. Итак, второе
	dt = 0						dt

слагаемое выражения (1.9) — это вектор, перпендикулярный ºτ ,

º

а значит, направленный по нормали n , т.е. это — вектор нормального ускорения.

Рассмотрим частный случай равномерного движения материальной точки по окружности радиуса R (рис. 1.8, а). Пусть за промежуток времени t точка, двигаясь из положения 1 в положение 2, совершила

		º		º
перемещение r . Вектор					τ	за это время изменил направление,
повернувшись вместе с точкой на угол								º
								α. Изобразим вектор τ =
º	º
= τ 2 –	τ 1	(рис. 1.8, б). Из подобия равнобедренных треугольников
следует
			º			⁄ τ =	º	⁄ R ,
			τ				r

11

1τ1

r		Δα	τ1
R
2
Δα	τ2		τ
		τ2

а)

б)

Рис. 1. 8

откуда

τ =

1

r

. Устремим промежуток времени t

к 0. Тогда

-----

R

τ → dτ ,

r → dr

, а поэтому dτ

1

dr . Разделив на d t, получим

= -----

R

dτ

1

dr

=

1

v .

Поэтому

модуль второго

слагаемого в (1.9)

----- =

----- -----

-----

dt

R

dt

R

1

º

d τ

=

v 2

. Таким образом, получено, что

a

= v 2⁄

R .

---------

v

-----

n

dt

R

Если движение по окружности будет неравномерным, то

º

º

º

dv

º

v 2

º

a

= aτ τ + an n

-----

τ +

-----

n .

(1.10)

= dt

R

Для произвольной плоской траектории (рис. 1.9) в каждой ее точке можно провести так называемую соприкасающуюся окружность, которая достаточно хорошо в этом месте траектории совпадает с самой траекторией. Радиус этой окружности назовем радиусом кривизны траектории ρ. В этом случае нормальное ускорение

τ

n

ρ

Рис. 1. 9

12

запишется в виде an = v 2⁄ ρ , а модуль полного ускорения найдется по формуле

º	=	(dv ⁄ dt)2 + (v 2⁄ ρ)	2
a			.

Заключение. Все вышеизложенное относится к классическому способу описания движения материальной точки. При неклассическом рассмотрении движения микрочастиц понятия траектории их движения не существует, но можно говорить о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Для микрочастицы нельзя одновременно указать точные значения координаты и скорости. В квантовой механике существует соотношение неопреде-

ленностей В. Гейзенберга x (mv	) ≥ i , где i = 1,05æ10–34 Джæс
x

(постоянная М. Планка), которое определяет погрешности одновременного измерения координаты x и импульса (mvx) .

1.6. Вращательное движение абсолютно твердого тела. Кинематические характеристики вращательного движения вокруг неподвижной оси

Все, о чем говорилось до сих пор, относилось к материальной точке. А как описать движение твердого тела? Всякое плоское движение абсолютно твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательным движением абсолютно твердого тела называется такое, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной самой себе. При таком движении траектории всех

точек одинаковы, поэтому достаточно наблю-
дать за движением только одной точки.
Обычно в качестве такой точки выбирается
так называемый центр масс. О том, как эта
точка определяется, раскажем далее.	dϕ
Вращательным движением абсолютно				Δϕ
твердого тела называется такое, при кото-
ром все точки тела описывают окружности,
центры которых лежат на одной прямой,
называемой осью вращения.
Рассмотрим твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси (рис. 1.10). За беско-
нечно малый промежуток времени dt все
точки тела повернутся на бесконечно малый
угол dϕ. Будем считать угол поворота векто-	Рис. 1. 10

13

ром, который направлен по оси вращения тела в сторону, определяемую правилом правого винта (правилом буравчика). Согласно этому правилу, если правый винт вращать по направлению вращения твердого тела вокруг оси, совпадающей с осью вращения тела, то направление поступательного движения винта дает направление вектора

		º
угла поворота тела d ϕ .
				º			º
Векторное произведение двух векторов a							и b , которое обозна-
	º			º							º
º		º						º		º
чается a	× b или		a ,	b		, представляет собой вектор			c	= a	× b .
							º	º	и направлен
Он по определению перпендикулярен векторам a и								b

в ту сторону, куда будет поступательно перемещаться правый винт,

º

если его вращать от вектора a (первого сомножителя произведе-

º

ния) к вектору b (второму сомножителю произведения) по кратчайшему углу (рис. 1.11). Основные свойства векторного произведения:

1. Модуль векторного произведения двух векторов равен пло-

щади

параллелограмма,

построенного

на этих векторах:

=

º

º

º

º

º

º

º

º

º

c

a

b

sin ( a ,

b ) ,

a

c ,

b

c .

2. Векторное произведение не обладает коммутативностью, т.е.

º

×

º

=

º

º

a

b

– b × a .

3.

Векторное

произведение

обладает

дистрибутивностью:

º

×

º

º

º

×

º

º

º

a

b

+ d

= a

b +

a

× d .

º× º

4.a a = 0 .

Рассмотрим поворот тела на малый угол dºϕ за время dt. Угловой скоростью тела называется производная угла поворота по времени:

c b

α

a

Рис. 1. 11

	º
º	d ϕ
ω =	--------	,	(1.11)
	dt

причем направление вектора ºω совпадает с

направлением вектора dºϕ , т.е. также определяется по правилу правого винта. Размерность угловой скорости [ω] = рад/с. Вращение называется равномерным, если модуль угловой скорости при вращении тела остается постоянным. В этом случае ϕ = ωt.

14

В качестве параметров равномерного вращения используют:

период (T )— время, за которое тело совершает один оборот; частоту (ν) — число оборотов за единицу времени. Между ними существует очевидная связь:

ν = 1 ⁄ T .

При неравномерном вращении тела вводится угловое ускорение —

производная угловой скорости по времени. Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости:

ºε = dºω ⁄ d t .

Сравним угловые скорости ºω1 в момент времени t и ºω2 =

= ºω1 + dºω в момент времени t + d t. Из рис. 1.12 видно, что векторы

ºε и ºω сонаправлены при ускоренном (рис. 1.12, а) и противоположны при замедленном вращении тела (рис. 1.12, б). Таким обра-

зом, направление вектора ºε определяется направлением вектора

приращения угловой скорости dºω .

Если модуль углового ускорения сохраняет постоянное значение, то вращение называется равнопеременным. В этом случае кинематический закон вращения запишем в виде

ºω = ºω0 + ºε t;

ºϕ = ºϕ 0 + ºω0t + ºε t 2⁄ 2,

где ºω0 и ºϕ 0 — начальные угловая скорость и угол поворота.

Если твердое тело вращается относительно оси, то каждая точка

º

тела имеет определенную линейную скорость v . Найдем связь

между скоростями º и ºω . Пусть твердое тело повернулось на угол v

ω2							ω1
						ε		ω2
ω1
											ε
			а)						б)

Рис. 1. 12

15

		º	(рис. 1.13). Тогда произвольная точка
		d ϕ
ω						º
		тела М совершила перемещение d r . Напом-
Δϕ					º	направлен по касатель-
		ним, что вектор d r
О1	r					º
R		ной к траектории точки М и при малом d ϕ
	M			º
		направление			стремится к направлению
				r
dϕ	r	º
		dr .
		Выберем на оси вращения произвольную
β		точку О, называемую полюсом, и поместим в
О		нее начало координат. Положение точки М

					º
			задается радиусом-вектором			r ,	который в
			общем случае составляет с осью вращения
Рис. 1. 13			угол β. Отметим, что
			º	º	º		(1.12)
			dr	= d ϕ	× r .

Действительно, векторы dºr , dºϕ и ºr подчиняются правилу правого винта. Найдем модуль векторного произведения:

dr = R dϕ = r sin β dϕ ,

где R — радиус окружности, по которой движется точка М.

Если продифференцировать по времени обе части равенства (1.12), то с учетом (1.3) и (1.11) можно получить

º	º º	(1.13)
v	= ω × r .

Заметим, что выбор полюса О может быть произвольным (положение точки О никак не влияет на вывод формулы). Если в качестве полюса выбрать точку О1, то из (1.13) следует, что

v = ωR .

Последнее равенство связывает модули угловой и линейной скоростей точки твердого тела с радиусом окружности, по которой движется рассматриваемая точка.

Найдем ускорение точки М, для чего продифференцируем выражение (1.13) по времени:

			º				º
a	= d t	ω, r		= d t	× r	+ ω ×	d t	= ε	× r	+ ω × v . (1.14)
º	----d	º º		--------d ω	º	º	-------dr	º	º	º º

16

Первое слагаемое в (1.14) — это вектор, направленный по касательной к траектории точки М, т.е. тангенциальное ускорение:

º		º	º	º
a τ	= a	τ τ	= ε	× r ,	(1.15)

его модуль aτ = εr sin β = εR .

Второе слагаемое в (1.14) — это вектор, направленный к центру окружности, по которой движется точка М, т.е. нормальное ускорение:

		º			º	º	º
		a n	=	an n		= ω × v		,	(1.16)
его модуль a		π	ω	2	R =	v 2
	n	= ωv sin -- =				----- .
		2				R

1.7. Преобразования скорости и ускорения при переходе к другой системе отсчета

Поставим перед собой следующую задачу. Имеются две произвольные системы отсчета (X, Y, Z ) и (X ′, Y ′, Z ′ ), движущиеся одна

º º

относительно другой. Известны скорость v и ускорение a некоторой точки М в системе отсчета (X, Y, Z ). Каковы будут соответ-

º′ º′

ствующие значения скорости v и ускорения a этой точки в системе (X ′, Y ′, Z ′ )?

Напомним, что в рамках классической механики длины пространственных и временных отрезков считаются абсолютными. Это означает, что длина отрезка, измеренная в некоторой пространственной системе координат, и временной интервал между двумя событиями, измеренный по часам этой системы отсчета, одинаковы в разных системах отсчета, т.е. не зависят от движения. Свойство физических величин сохранять свои значения неизменными в разных системах отсчета называется инвариантностью, а сами такие величины — инвариантами.

Пусть положение точки М в системе (X, Y, Z ) задается радиусом-

º	Y ′, Z ′ ) радиусом-вектором	º	′
вектором r , а в системе (X ′,		r

(рис. 1.14). Будем считать систему (X, Y, Z ) неподвижной (абсолютной), а систему (X ′, Y ′, Z ′ ) — движущейся относительно нее (относи-

17

Z
	M
r	r'	Z'
	r0	O'	Y'
O
X'			Y
X
Рис. 1. 14

тельной). Если положение движущейся системы относительно

неподвижной задается радиусом-вектором ºr 0 , то

ºr = ºr 0 + ºr ′ .

Таким образом, преобразования координат и времени при переходе из одной системы отсчета в другую в классической механике описываются системой уравнений

x = x	0	+ x ′;
y = y0		+ y′;		(1.17)
z = z0		+ z′;
t = t′.

Данная система уравнений носит название преобразований Галилея.

Если перемещение точки М за время dt происходит в неподвижной системе, то оно складывается из перемещения относительно дви-

жущейся системы dºr ′ и перемещения самой движущейся системы

dºr 0 :

dºr = dºr 0 + dºr ′ .

Разделив последнее выражение на d t, получим формулу преобразования скорости

º	º		º	′ .	(1.18)
v	= v	0	+ v

18

Данное выражение называется классическим законом сложения скоростей. Если соотношение (1.18) снова разделить на d t, то найдем формулу преобразования ускорения:

º	º		+	º		′ .		(1.19)
a	= a	0		a
Из (1.19) видно, что из условия				º		= 0	º	º	′ .
				a	0		следует, что a	= a

Таким образом, при движении двух систем отсчета без ускорения одной относительно другой ускорения точки М в таких системах будут одинаковыми.

19

Г л а в а 2

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Динамика рассматривает два типа задач. Первый тип — определение действующих на материальную точку сил, исходя из закона движения материальной точки. В технике такие задачи решаются, когда необходимо найти внутренние усилия в различного рода деталях машин, если известны законы движения этих деталей. Второй тип задач динамики — определение кинематического закона движения тела, исходя из действующих на тело сил. При этом необходимо знать так называемые начальные условия. Примером такого типа задач является нахождение траектории (дальности полета, высоты подъема, времени полета и т.п.) движения тела, брошенного под углом к горизонту. При этом известно, что на тело действует сила тяжести, а также заданы начальная скорость тела и угол бросания.

В нашем курсе встречаются задачи как первого, так и второго типа. В этой главе наряду с понятиями, которые использовались ранее, будут использоваться новые.

2.1. Основные понятия динамики. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона.

Принцип относительности Галилея

При изучении кинематики, когда речь шла лишь об описании движений и не затрагивался вопрос о причинах, вызывающих эти движения, никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета не было. Совершенно иначе обстоит дело в динамике — при изучении законов движения. Обнаруживаются существенное различие между разными системами отсчета и преимущества одного типа систем отсчета по сравнению с другими.

Законы механики в разных системах отсчета имеют различный вид, поэтому возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Какова причина появления ускорения материальной точки относительно произвольной системы отсчета? Опыт показывает, что этой причиной могут быть как действия других тел на данную точку, так и свойства самой системы отсчета. Можно предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение тела целиком

20