- Если отбор случайный – повторный, - если отбор случайный – бесповторный.
Имеем (см. задачу 4):
,
,n
= 100, N
= 1500, t
= 2.
Средняя ошибка выборки равна:
,
,
Если отбор повторный или бесповторный соответственно. Тогда, в зависимости от типа отбора, предельная ошибка выборки равна:
или
.
Получаем: нижняя граница доверительного интервала:
;
верхняя граница доверительного интервала:
.
Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний диаметр детали, изготавливаемой предприятием находится в пределах от 21,1582 до 21,7618 мм (если выборка организована методом случайного повторного отбора) и от 21,1684 до 21,7516 мм (если выборка случайная, бесповторная).
Задача 7. Для выборки из задачи 1 с вероятностью γ = 0,99 определить границы интервала, в котором заключена генеральная доля признака р – диаметр детали, находящийся в пределах от 20 до 23 мм включительно и сделать соответствующие выводы. Задачу решить в предположении бесповторного отбора из генеральной совокупности объема N = 2000.
С доверительной вероятностью γ утверждается, что математическое ожидание р принадлежит интервалу:
,
где
- выборочная доля (m
– количество элементов выборочной
совокупности, обладающих интересующим
нас признаком,
n
– объем
выборочной совокупности),
–
предельная ошибка доли, равная
,
причем
t
– постоянная
величина, значение которой определяется
в зависимости от
γ также,
как и в задаче 6,
– средняя
ошибка доли, равная
- Если отбор случайный – повторный, - если отбор случайный – бесповторный.
В выборке интересующий нас диаметр детали (от 20 до 23 мм) принадлежит интервалам (см. задачу 1) (20;21), (21;22) и (22;23), частоты которых соответственно равны 27, 28 и 19. Следовательно, выборочная доля
.
Согласно условию задачи находим предельную ошибку доли:
.
Имеем: нижняя граница доверительного интервала:
;
верхняя граница доверительного интервала:
.
Итак, с вероятностью 0,99 утверждается, что среди 2000 деталей доля деталей диаметра от 20 до 23 мм находится в пределах от 0,6117 до 0,8683 (от 61,17% до 86,83%).
Для заметок
Тема 2. «Проверка статистических гипотез»
Задача 8. С вероятностью 0,95 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена по нормальному (Гауссову) закону распределения случайной величины.
Гипотеза
о нормальном распределении генеральной
совокупности, которой принадлежит
исследуемая выборка, с доверительной
вероятностью γ
проверяется с помощью
- критерия согласия Пирсона (критерия
хи - квадрат). Приведем алгоритм проверки
гипотезы с помощью этого критерия.
1. Сравниваем полигон частот выборочной совокупности с графиком функции плотности
идеального нормального распределения (рисунок 7). Если они похожи, то переходим к следующему пункту алгоритма. В противном случае утверждаем, что с помощью имеющейся совокупности проверить гипотезу невозможно.
2. Сравниваем кумулятивную кривую с графиком интегральной функции
идеального нормального распределения (рисунок 8). Выводы аналогичны пункту 1 алгоритма.
Р
x 0
1
Р 0 x
3. По знаку асимметрии и эксцесса устанавливаем вид распределения (см. таблицу 9).
Таблица 9
|
as es |
<0 |
>0 | |
|
Правостороннее |
Левостороннее | ||
|
<0 |
Туповершинное |
правостороннее туповершинное |
левостороннее туповершинное |
|
>0 |
Островершинное |
правостороннее островершинное |
левостороннее островершинное |
4. По величине асимметрии и эксцесса устанавливаем тип распределения:
а) если as = es =0 – идеальное нормальное распределение;
б) если |as|<0,1, |es|<1 - нормальное распределение;
в) если |as|<0,5, |es|<0,5 – распределение, близкое к нормальному;
г) если |as|<1, |es|<1 – распределение нормального типа.
5.
Производим частот теоретических частот
каждого из интервалов группировки
(α;β),
рассчитанных в предположении, что
выборочная совокупность распределена
по нормальному закону распределения:
,
,
,
где
- функция Лапласа, значения которой
приведены в таблице 1 Приложения. Заметим,
что функция Лапласа – нечетная, то есть
.
6.
Чтобы убедиться, что теоретические
частоты адекватно описывают эмпирические
данные, на одном чертеже строим кривую
нормального распределения
и полигон частот.
7. Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
.
8. С вероятностью γ выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит выборка. Для этого по таблице 2 Приложения критических значений критерия Пирсона определяем критическое значение
,
α =
1-γ,
ν =
k
-3,
k – число интервалов группировки. Выводы производятся на основании следующего утверждения: если
,
то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, принимается с указанной вероятностью. В противном случае гипотеза отвергается с той же вероятностью.
Сравнивая рисунки 4 и 7, делаем вывод об их похожести.
Сравнивая рисунки 6 и 8, делаем вывод об их похожести.
Согласно задаче 4 (или 5)
,
,
следовательно (см. таблицу 9) рассматриваемое распределение является левосторонним островершинным.
Так как одновременно
,
,
то наше распределение имеет нормальный тип.
Используем результаты решения задач 4 и 5:
n
= 100,
,
.
Тогда, теоретические частоты рассчитываются так:
,
,
.
Находим их в расчетной таблице:
|
(α;β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(18;19) |
18,5 |
3 |
-1,63 |
-0,8969 |
-2,29 |
-0,9780 |
4,055 |
|
(19;20) |
19,5 |
11 |
-0,97 |
-0,6679 |
-1,63 |
-0,8969 |
11,450 |
|
(20;21) |
20,5 |
27 |
-0,30 |
-0,2358 |
-0,97 |
-0,6679 |
21,605 |
|
(21;22) |
21,5 |
28 |
0,36 |
0,2812 |
-0,30 |
-0,2358 |
25,850 |
|
(22;23) |
22,5 |
19 |
1,02 |
0,6923 |
0,36 |
0,2812 |
20,555 |
|
(23;24) |
23,5 |
5 |
1,68 |
0,9070 |
1,02 |
0,6923 |
10,735 |
|
(24;25) |
24,5 |
3 |
2,35 |
0,9812 |
1,68 |
0,9070 |
3,710 |
|
(25;26) |
25,5 |
4 |
3,01 |
0,9974 |
2,35 |
0,9812 |
0,810 |
На одном графике (рисунок 9) строим кривую теоретических частот (сплошная линия) и полигон частот (пунктирная линия).
Рис. 9
Сравнение графиков наглядно показывает, что найденные результаты расчетов адекватно описывают эмпирические данные.
Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Расчеты производим в таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
18,5 |
3 |
4,055 |
-1,055 |
1,113025 |
0,3710 |
|
19,5 |
11 |
11,450 |
-0,450 |
0,202500 |
0,0184 |
|
20,5 |
27 |
21,605 |
5,395 |
29,106025 |
1,0780 |
|
21,5 |
28 |
25,850 |
2,150 |
4,622500 |
0,1651 |
|
22,5 |
19 |
20,555 |
-1,555 |
2,418025 |
0,1273 |
|
23,5 |
5 |
10,735 |
-5,735 |
32,890225 |
6,5780 |
|
24,5 |
3 |
3,710 |
-0,710 |
0,504100 |
0,1680 |
|
25,5 |
4 |
0,810 |
3,190 |
10,176100 |
2,5440 |
|
|
- |
- |
- |
- |
11,0499 |
Итак,
.
Доверительная вероятность γ = 0,95, отсюда уровень значимости
α = 1-0,95 = 0,05. Число интервалов группировки k = 8, тогда ν = 8 -3 = 5. Отсюда, критическое значение согласно таблице 2 Приложения равно
.
Так как
11,0499<11,1,
то гипотеза о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена нормально, принимается с вероятностью 0,95.