1.3.2 Отношения проявлений свойства

Среди множества специфических проявлений свойств выделяют несколько самых общих. Наиболее общие проявления свойств объектов измерения характеризуются отношениями эквивалентности, порядка и аддитивности. Отношение как одну из форм взаимосвязи предметов, явлений, процессов изу­чают математика, логика, математическая логика. Рас­смотрим некоторые математические и логические по­нятия. Для удобства их названия расположены в ал­фавитном порядке.

Аддитивный — нецелый, суммарный, полученный в результате сложения, прибавленный. В математике аддитивностью называют следующее свойство: значе­ние величины целого объекта равно сумме величин, соответствующих частям целого, при любом варианте разбиения объекта на части.

Ассоциативность — сочетание, соединение. За­коны ассоциативности в математике: для сложения (а + b) + с = а + (b + с), для умножения (а х b) x с = а х (b x с). При двукратном производстве логической операции над тремя высказываниями можно соединить (ассоциировать) первое и второе высказывания и про­извести над ними операцию, а затем ту же операцию произвести над полученным результатом и третьим высказыванием. Но можно ассоциировать второе и третье высказывания. В обоих случаях результат дол­жен быть одним и тем же.

Дистрибутивный — разделенный, распределенный, относящийся к каждому предмету и понятию одного класса. В математике операция умножения дистрибу­тивна относительно операции сложения: а х (b + с) = ab + ас. В математической логике законы логического _ сложения (дистрибутивности конъюнкции) читаются так: А и (В или С) есть то же самое, что А и В или А и С.

Дихотомия — сечение, разделение на две части. В дихотомическом суждении в логике выражается ре­зультат деления некоторого класса объектов на две части; одна из этих частей характеризуется наличием известного признака, а другая — его отсутствием.

Коммутативный — меняющийся, подвергаю­щийся перемещению, переместительный. Коммутатив­ность — свойство алгебраической операции, сущность которого заключается в независимости результата операции с двумя элементами от той последовательно­сти, в которой берутся эти элементы. Операции сло­жения и умножения чисел являются коммутативными: х + у = у + х, ab = bа, операция деления таковой не является: х : у Ф у : х.

Монотонность — свойство некоторых матема­тических и логических операций, состоящее в том, что направление возможного изменения результата опе­рации зависит только от направления изменения тех элементов, над которыми данная операция произво­дится. Функция сложения (умножения) монотонна, поскольку при увеличении, неизменности или умень­шении слагаемых (сомножителей) их сумма (произве­дение) тоже увеличивается, остается неизменной или уменьшается. Монотонные функции бывают возраста­ющими и убывающими.

Отношение порядка — вид отношения между двумя элементами, обозначаемый символами > или <. Непустое множество, в котором зафиксировано отно­шение порядка между его элементами, называют упо­рядоченным множеством.

Симметричность — такой вид отношения меж­ду объектами, который не изменяется в том случае, если объекты поменять местами. Иначе говоря, при симметричности отношений перестановка объектов не приводит к изменению вида отношения. Равенство и неравенство симметричны, поскольку выражения a = b и b = a, а^с и с^а попарно равносильны (эк­вивалентны). Выражения типа «больше» или «меньше» антисимметричны: если а > b, то b < а; если а < с, то с > а.

Транзитивность — свойство отношений, состо­ящее в том, что если первый элемент отношения срав­ним со вторым, а второй — с третьим, то первый элемент сравним с третьим. Например, если а = b и b = с, то а = с; если а < Ь и Ь < с, то а < с.

Эквивалентность — операция математической логики, позволяющая из двух высказываний «A» и «B» получить новое высказывание «А эквивалентно В». Новое высказывание истинно тогда и только тогда, если А и В оба истинны или оба ложны. Примеры: от­ношения тождества высказываний (А ~ В) или вели­чин (а = b), отношение параллельности между прямой и плоскостью.

Наиболее общие проявления отношений свойств — отношения эквивалентности, порядка и аддитивности — описываются в математической логике набором про­стейших постулатов (аксиом). Каждому из указанных видов отношений одновременно присущи свойства всех соответствующих постулатов.