- •Теория игр для экономистов
- •Глава 1. Введение.
- •Покажем на популярных примерах игровых задач, как с помощью математической модели можно получить ответы на некоторые вопросы.
- •§1.2. Формальное описание игры.
- •§1.3. Классификация игр
- •Глава 2. Бескоалиционные игры
- •§2.1. Антагонистические игры
- •§2.1.1. Понятие антагонистической игры. Матричная игра.
- •§2.1.2. Доминирование стратегий. Редукция игры. Решение игры в доминирующих стратегиях.
- •§2.1.3. Решение игры в чистых стратегиях
- •§2.1.4. Смешанное расширение игры
- •§2.1.5. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Свойства игры в смешанных стратегиях.
- •§2.1.6. Игра против природы
- •§2.1.7. Критерии оптимальности решения в условиях неопределённости
- •§2.1.8 Критерий Лапласа
- •§2.1.9. Критерий Вальда (максиминный критерий)
- •§2.1.10. Критерий Гурвица (критерий взвешенного оптимизма /пессимизма)
- •§2.1.11. Критерий Сэвиджа (критерий наименьших сожалений)
- •§2.1.12. Решение игры против природы в смешанных стратегиях
- •§ 2.2 Неантагонистические игры
- •§2.2.1. Понятие неантагонистической игры
- •§2.2.2. Биматричные игры
- •§2.2.3. Равновесие Нэша
- •§2.2.4. Эффективность по Парето2
- •§2.2.5. Повторяющиеся игры. Применение к микроэкономике.
- •§2.2.6. Последовательные игры
- •Глава 3. Кооперативные решения
- •§3. 1. Понятие коалиционной игры
- •§3.2. Определение решения игры
- •§3.3. Эффективность обмена. Ящик Эджворта
- •§3.4. Арбитражное решение
- •Практикум Матричная игра. Доминирование стратегий.
- •Решение игры в чистых стратегиях.
- •Решение игры в смешанных стратегиях.
- •Игра против природы. Критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
- •Равновесие Нэша.
- •Кооперативные решения
- •Типовой расчет по теории игр. Тема:кооперативное решение.
- •Литература
- •"Теория игр для экономистов "
- •156961, Г.Кострома, ул. 1 Мая,14
Кооперативные решения
№60. В некотором районе имеется три предприятия, каждое из которых нуждается в проводке теплоцентралей. Предприятия могут провести теплоцентрали отдельно друг от друга, а могут объединиться в группы – коалиции. Если предприятие i=1.2.3 прокладывает централь самостоятельно, то затраты составят 100, 200, 300 единиц соответственно. Если 1-е и 2- предприятие объединяться, то их общие затраты составят 250 единиц. Если 1-е и 3-е объединяться, то затраты составят 350 единиц. Если 2-е и 3-е объединятся, то затраты составят 460 единиц. Если все три предприятия объединяться, то затраты составят 580 единиц. Найти все решения, которые могут принять предприятия как рациональные субъекты.
Решение.
Возможны следующие коалиции:
– первое предприятие; – второе предприятие; – третье предприятие; |
– первое и второе; – первое и третье; – второе и третье; |
– первое, второе и третье
|
Обозначим – суммарные затраты на проводку теплоцентралей коалициейK. получим, что – затраты на проведение теплоцентралейi-м предприятием , если оно действует в одиночку.
Рассмотрим условия, при которых первому и второму предприятию выгодно объединиться в коалицию . Общие затраты=250 будут поделены между первым и вторым предприятиями (необязательно поровну). Обозначим– затраты первого предприятия,– затраты второго предприятия. Очевидно, что
(3.1)
Каждое предприятие сопоставляет свои затратыс теми затратами, которые оно понесло, если бы не вступило в коалицию. Для обоих предприятий условием вступления каждого из них в коалицию будет выполнение следующих неравенств:
(3.2)
Необходимым условием для этого служит неравенство:
(3.3)
Неравенство выполняется, т.к. 250<100+200.
Так же справедливы неравенства 350<100+300, 460<200+300, поэтому могут возникнуть все коалиции ,и.
При каких условиях возможна коалиция, состоящая из всех трех предприятий?
Пусть – затраты каждого из предприятия в коалиции т.е.
(3.4)
Условием, при котором коалиции будет выгодно принять к себе 3-е предприятие, и при этом вхождение в коалицию будет выгодно 3-му предприятию, будет система неравенств
(3.5)
(3.6)
Из системы следует, что + 300≥v(). Это неравенство не выполняется, т.к. 250+300<580. Аналогично можно сравнить коалицию с двумя другими попарными коалициями.Следовательно, коалиция менее выгодна участникам, чем любые попарные коалиции.
Ответ. Оптимальными решениями будут коалиции, объединяющие различные пары предприятий.
Типовой расчет по теории игр. Тема:кооперативное решение.
Условия задачи.
Экономика состоит из двух агентов, совершающих добровольный обмен на наборах из двух товаров A и B. Функции полезности 1 и 2 агентов заданы уравнениями
, , где - количество товара A у агента i , - количество товара B у агента i. Суммарные количества товаров A и B ограничены: , где - положительные константы. Первоначально 1 агент владеет товарами A и B в количествах соответственно, причем . Агент 2 владеет оставшимися количествами товаров. Агенты вступают в добровольный обмен, увеличивающий их полезности. Решениями называются наборы товаров, поступающих в распоряжения каждого из агентов после обмена. Предполагается, что трансакционные издержки равны нулю, информация агентов совершенна.
Задание.
В модели Эджворта найти контрактную кривую, точку угрозы, переговорное множество;
В системе координат найти уравнение, связывающее полезности агентов для решений, оптимальных по Парето;
В той же системе координат построить кривую оптимальных по Парето решений, найти точку угрозы, переговорное множество;
Найти арбитражное решение (решение Нэша);
Найти количества товаров A и B, которыми должны владеть агенты согласно арбитражному решению;
Показать, что для любого решения, не лежащего на контрактной кривой, найдется другое решение, которое эффективнее по Парето, чем первое.
Указание. Значения констант для каждого из 10 вариантов приведены в следующей таблице в соответствующей строке.
№ варианта |
α |
a |
b |
k1 |
k2 |
x0 |
y0 |
1 |
1/3 |
8 |
27 |
2 |
3 |
0 |
27 |
2 |
2/3 |
64 |
27 |
1 |
2 |
27 |
8 |
3 |
1/2 |
25 |
100 |
2 |
1 |
16 |
36 |
4 |
1/4 |
16 |
81 |
3 |
4 |
16 |
0 |
5 |
1/2 |
100 |
169 |
1 |
2 |
64 |
25 |
6 |
1/3 |
27 |
8 |
3 |
2 |
27 |
0 |
7 |
2/3 |
8 |
64 |
2 |
3 |
1 |
27 |
8 |
1/2 |
100 |
25 |
4 |
3 |
64 |
9 |
9 |
1/4 |
81 |
256 |
1 |
1 |
16 |
225 |
10 |
1/2 |
169 |
25 |
3 |
4 |
144 |
9 |
Творческая часть задания. Ответьте на вопросы:
Пусть 1й агент имеет преимущество в переговорной силе, т.е. может диктовать свои условия. Каким в этом случае будет решение игры?
Чему при этом будут равны полезности агентов?
Почему в этом случае 2му агенту выгоднее принять условия, которые диктует 1 агент, чем оставаться в начальном положении?
Почему агент, имеющий преимущество в переговорной силе, не может захватить все ресурсы в условиях добровольного обмена?
Влияет ли соотношение переговорных сил агентов на арбитражное решение?