- •Теория игр для экономистов
- •Глава 1. Введение.
- •Покажем на популярных примерах игровых задач, как с помощью математической модели можно получить ответы на некоторые вопросы.
- •§1.2. Формальное описание игры.
- •§1.3. Классификация игр
- •Глава 2. Бескоалиционные игры
- •§2.1. Антагонистические игры
- •§2.1.1. Понятие антагонистической игры. Матричная игра.
- •§2.1.2. Доминирование стратегий. Редукция игры. Решение игры в доминирующих стратегиях.
- •§2.1.3. Решение игры в чистых стратегиях
- •§2.1.4. Смешанное расширение игры
- •§2.1.5. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Свойства игры в смешанных стратегиях.
- •§2.1.6. Игра против природы
- •§2.1.7. Критерии оптимальности решения в условиях неопределённости
- •§2.1.8 Критерий Лапласа
- •§2.1.9. Критерий Вальда (максиминный критерий)
- •§2.1.10. Критерий Гурвица (критерий взвешенного оптимизма /пессимизма)
- •§2.1.11. Критерий Сэвиджа (критерий наименьших сожалений)
- •§2.1.12. Решение игры против природы в смешанных стратегиях
- •§ 2.2 Неантагонистические игры
- •§2.2.1. Понятие неантагонистической игры
- •§2.2.2. Биматричные игры
- •§2.2.3. Равновесие Нэша
- •§2.2.4. Эффективность по Парето2
- •§2.2.5. Повторяющиеся игры. Применение к микроэкономике.
- •§2.2.6. Последовательные игры
- •Глава 3. Кооперативные решения
- •§3. 1. Понятие коалиционной игры
- •§3.2. Определение решения игры
- •§3.3. Эффективность обмена. Ящик Эджворта
- •§3.4. Арбитражное решение
- •Практикум Матричная игра. Доминирование стратегий.
- •Решение игры в чистых стратегиях.
- •Решение игры в смешанных стратегиях.
- •Игра против природы. Критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
- •Равновесие Нэша.
- •Кооперативные решения
- •Типовой расчет по теории игр. Тема:кооперативное решение.
- •Литература
- •"Теория игр для экономистов "
- •156961, Г.Кострома, ул. 1 Мая,14
§2.1.7. Критерии оптимальности решения в условиях неопределённости
Рассмотрим задачу принятия решения, когда на стадии принятия решения ЛПР знает:
а) возможные состояния среды: у1, у2,..уn Є Y – множество состояний окружающей среды.
б) результат, к которому приведёт выбор альтернативы х Є Х для каждого возможного состояния среды: у1, у2,..уn, т. е. знает функцию выигрыша (проигрыша): f(х,y) для всех х Є Х, у = Y.
Х – множество альтернатив
Y – множество состояний среды
При этом ЛПР не располагает информацией о том, как распределены вероятности состояний среды и даже не знает, какие из этих состояний более вероятны. Такая ситуация принятия решений определяется как структурная неопределённость.
Задача выбора «наилучшего» решения требует определить критерий оптимальности. Очевидно, что широкое разнообразие жизненных и экономических ситуаций не может быть описано с помощью единственного критерия оптимальности, в математических моделях принятия решения предложены и исследованы несколько критериев оптимальности.
Сформулируем определение – что из себя должен представлять критерий оптимальности?
Для этого определения выделим следующие моменты:
Любой критерий оптимальности основан на определённых предположениях (гипотезах) о поведении окружающей среды.
Критерий оптимальности представляет собой правило выбора «наилучшего» решения.
Таким образом, критерий оптимальности – это правило выбора «наилучшего» решения в условиях неопределённости, основанное на определённых предположениях относительно поведения окружающей среды и предпочтений ЛПР.
При этом желательно, чтобы критерий оптимальности обладал свойствами, согласующимися со здравым смыслом и рациональностью. Чтобы пояснить, в чем состоит в данном случае рациональный подход, вспомним понятие доминируемости.
Пусть задача принятия решения характеризуется n-состояниями среды: у1, у2,..уn и предусматривает выбор из m-альтернатив: х1, х2,..хm. Причём для каждой пары (хi, yj) определено значение функции f(хi, yj).
Тогда задачу принятия решения можно описать с помощью платёжной матрицы (Таблица 7):
Таблица 7
Состояния среды Альтернативы |
y1 |
y2 |
… |
yj |
… |
yn |
x1 |
f(x1,y1) |
f(x1,y2) |
… |
f(x1,yj) |
… |
f(x1,yn) |
x2 |
f(x2,y1) |
f(x2,y2) |
… |
f(x2,yj) |
… |
f(x2,yn) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xi |
f(xi,y1) |
f(xi,y2) |
… |
f(xi,yj) |
… |
f(xi,yn) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xm |
f(xm,y1) |
f(xm,y2) |
… |
f(xm,yj) |
… |
f(xm,yn) |
Предположим, что для некоторых целых чисел i и k Є [1,m] выполняется условие: для любого j f(xi,yj) ≥ f(xk,yj).
В строке i результаты больше, чем в строке k. Следовательно, стратегия xi доминирует стратегию xk, xk – доминируемая стратегия.
Очевидно, что доминируемые стратегии (или альтернативы) заведомо хуже других, а доминирующие заведомо лучше. Отсюда следует, что первый принцип, которому должен удовлетворять критерий оптимальности, это принцип доминирования.
a) Принцип доминирования:
- если существует доминирующая стратегия, то критерий оптимальности должен обеспечивать выбор именно этой стратегии;
- если существуют доминируемые стратегии, то их удаление и введение не должно влиять на выбор наилучшей стратегии.
Так же очевиден смысл двух других принципов:
b) Перенумерация альтернатив (нумерация строк) и/или состояний среды (нумерация столбцов) не должна влиять на выбор наилучшей стратегии.
c) Предположим, что ко всем значениям функции выигрыша добавлено число а: f(xi,yj) + a. Очевидно, что критерий оптимальности должен обеспечивать выбор наилучшей стратегии, которая не зависит от прибавления аддитивной постоянной к функции выигрыша.
Рассмотрим наиболее часто применяемые критерии оптимальности.