§2.1.4. Смешанное расширение игры

Пусть матричная игра представлена платежной матрицей с элементами a_ij, где i=1,2,…,m – стратегии первого игрока, j=1,2,…,n – стратегии второго игрока. Данные стратегии игроков будем называть чистыми стратегиями.

В предыдущем параграфе мы доказали, что решение матричной игры в чистых стратегиях (т.е. при выборе каждым игроком одной и только одной стратегии из заданного множества его стратегий) существует тогда и только тогда, когда платежная матрица имеет седловую точку. Рассмотрим выбор стратегий в игре без седловой точки. Если игрок может предвидеть, какую из чистых стратегий изберёт противник, он может найти наилучший ответ на ход противника. Таким образом, каждый игрок заинтересован в том, чтобы его ходы были непредсказуемы. Для этого необходимо ввести в выбор стратегий элемент случайности. Однако отсутствие логики при выборе стратегий ухудшит положение каждого из игроков. Компромисс заключается в том, что игроки чередуют (смешивают) свои стратегии случайным образом, но по определённой разумной схеме. Этой схеме должна соответствовать комбинация чистых стратегий.

Введем следующие изменения правил игры: каждый игрок наряду с отдельными стратегиями из своего множества стратегий может применять их комбинации, в которых стратегии представлены в определенных пропорциях.

Рассмотрим матричную игру, представленную Таблицей 5.

Таблица 5

	2-й игрок
1-й игрок

где – частота (вероятность) с которой первый игрок собирается использовать свою стратегию 1;

–частота (вероятность) с которой первый игрок собирается использовать свою стратегию 2;

–частота (вероятность) с которой первый игрок собирается использовать свою стратегию m.

Вектор называютсмешанной стратегией первого игрока. Из определения вероятности:

.

Аналогично второй игрок чередует (смешивает) свои стратегии так, чтобы:

Стратегия 1 имела частоту (вероятность) ;

Стратегия 2 имела частоту (вероятность) ;

Стратегия n имела частоту (вероятность) .

Вектор называетсясмешанной стратегией второго игрока. Очевидно, что

.

Возможность применять наряду со стратегиями и, которые мы будем называтьчистыми стратегиями 1-го и 2-го игроков соответственно, смешанных стратегий x и y, изменяет условия игры, расширяет их. Поэтому переход от чистых стратегий к смешанным стратегиям называют смешанным расширением игры.

Множества смешанных стратегий 1-го и 2-го игроков представляют собой соответственно:

–множество m-мерных векторов, координаты которых удовлетворяют условиям:

;

–множество n-мерных векторов, координаты которых удовлетворяют условиям:

.

Очевидно, что чистые стратегии игроков входят как элементы в множество их смешанных стратегий.

Пусть первый игрок выбрал некоторую смешанную стратегию x, а второй – y. Тогда каждый исход из платёжной матрицы становится случайным событием. Найдём вероятность этого события. Для того, чтобы осуществился исход, первый игрок выбирает стратегиюi с вероятностью , а второй игрок выбирает стратегиюj с вероятностью . В силу независимости выбора вероятность исходаравна вероятности совместных наступлений двух независимых событий, т.е. произведению их вероятностей.

Для каждой пары смешанных стратегий x€X и y€Y можно найти среднее значение выигрыша, которое мы обозначим . Это среднее значение будет равно математическому ожиданию платежа. Поскольку платёжосуществляется с вероятностью, то математическое ожидание определяется по формуле

(1.10)

Легко проверить, что функция H(x,y) двух векторных переменных x и y будет непрерывна на компактном множестве S_x х S_y.

Очевидно, что первый игрок заинтересован в том, чтобы платёж был как можно больше, а второй в том, чтобы платёжбыл как можно меньше. В соответствии с принципом гарантированного результата 1-й игрок для каждой смешанной стратегии x из множества S_x определяет наименьшее по y значение функции H(x,y) на множестве S_y. Наименьшее значение, которое мы обозначим H (x,y(x)) существует и достигается при y=y(x) в силу непрерывности функции H(x,y) на компактном ограниченном множестве S_y. Так же можно доказать, что функция y=y(x) является непрерывной по x на компактном множестве S_x. Затем 1-й игрок находит значение векторного аргумента x^*, для которого функция H(x,y(x)) достигает максимума на множестве S_x. В силу непрерывности функции H(x,y(x)) на компактном ограниченном множестве S_x, она достигает там своего наибольшего значения

Число называетсянижним значением игры в смешанных стратегиях. Число называетсяверхним значением игры в смешанных стратегиях.

Теорема 3. Нижнее значение игры в смешанных стратегиях меньше или равно верхнему значению игры в смешанных стратегиях, т.е. справедливо неравенство

.

Доказательство

Зафиксируем смешанную стратегию x из множества S_x и обозначим H(x,y(x)) наименьшее значение функции H(x,y) на компактном ограниченном множестве S_y. Тогда для всех x из S_x и y из S_y выполняется неравенство

H(x,y(x))≤ H(x,y) (1.11)

В соответствии с определением нижнее значение игры будет равно

=max_x H(x,y(x))= H(x^*,y(x^*)), (1.12)

где x^* - максиминная стратегия 1-го игрока.

Подставляя в неравенство (1.11) x=x^*, получим H(x^*,y(x^*))≤H(x^*,y), и с учетом (1.12), получим неравенство

≤H(x^*,y) для всех y из S_y. (1.13)

Зафиксируем смешанную стратегию y из множества S_y и обозначим H(x(y),y) наибольшее значение функции H(x,y) на компактном ограниченном множестве S_x. Тогда для всех x из S_x и y из S_y выполняется неравенство

H(x(y),y)≥ H(x,y) (1.14)

В соответствии с определением нижнее значение игры будет равно

=min_y H(x(y),y)= H(x(y^*),y^*) (1.15)

где y^* - минимаксная стратегия 2-го игрока.

Подставляя в неравенство (1.14) y= y^*, получим H(x(y^*),y^*)≥H(x,y^*), с учетом (1.15), получим неравенство

≥H(x,y^*), (1.16)

верное для всех x из S_x.

Подставляя в неравенство (1.13) y= y^*, и в неравенство (1.16) x=x^*, получим неравенства

≤H(x^*,y^*) и ≥ H(x^*,y^*),

откуда следует

≤H(x^*,y^*)≤(1.17)

Теорема доказана.

В соответствии с принципом гарантированного результата первый игрок ищет максиминную стратегию , при которой его выигрыш будет не меньше, чем нижнее значение игры, т.е. для любыхвыполняется неравенство (1.18)

Аналогично, второй игрок ищет минимаксную стратегию , при которой его проигрыш будет не больше, чем верхнее значение игры, т.е. для любыхвыполняется неравенство (1.19)

Для того, чтобы применение стратегий ,давало игрокам гарантированные результаты, необходимо, чтобы выполнялись неравенства

(1.20)

т.е., чтобы исход был равновесным. Как доказано в теореме 3, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(1.21)

то есть необходимо и достаточно, чтобы нижнее значение игры было равно верхнему значению игры (1.22)

Примем без доказательства теорему 4.

Теорема 4.

В любой матричной игре нижнее значение игры в смешанных стратегиях равно верхнему значению игры в смешанных стратегиях, т.е. .

Теорема (4) доказывает существование решения матричной игры в смешанных стратегиях. Число v называется значением игры в смешанных стратегиях.

Равновесные стратегии иназывают оптимальными стратегиями, имея в виду, что критерием оптимальности служит принцип гарантированного результата.

Совокупность v (значение игры) и (оптимальные стратегии) называютрешением игры в смешанных стратегиях.

Решение игры обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Пусть – нижнее значение игры в чистых стратегиях, а– нижнее значение игры в смешанных стратегиях. Тогда

Доказательство.

По определению . Пусть максимум поi достигается при i=i^~, тогда для всех j=1.2…,n верно неравенство

α≤a_i~j (1.23)

Возьмем произвольную смешанную стратегию y={ y₁, y₂,…, y_n} из S_y. тогда справедливо . Умножим обе части неравенства (1.23) на y_j≥0 и просуммируем по индексу j от 1 до n, получим неравенство

α≤∑a_i~j y_j (1.24)

Введем вектор x^~={x^~₁, x^~₂,…, x^~_m}, где x^~_i=1, если i= i^~ и x^~_i=0, если i ≠ i^~. Вектор x^~ удовлетворяет свойствам смешанной стратегии, поэтому положим, что x^~ принадлежит множеству S_x. Преобразуем правую часть неравенства (1):

∑a_i~j y_j=∑∑a_i~j x^~_i y_j =Η(x^~,y)

Тогда из неравенства (1.24) следует, что для любой смешанной стратегии y из S_y справедливо неравенство

α≤ Η(x^~,y) (1.25)

По определению . Обозначим H(x,y(x)) наименьшее значение функции H(x,y) на множестве S_y, тогда для всех x из S_x будет верно неравенство

≥H(x,y(x)), подставляя в последнее неравенство x=x^~, получим

≥H(x^~,y(x^~)) (1.26)

В неравенство (1.25) подставим y= y(x^~), получим

α≤ Η(x^~, y(x^~) (1.27)

Из неравенств (1.26) и (1.27) следует ., что и требовалось доказать

Свойство 2. Пусть – верхнее значение игры в чистых стратегиях, а– верхнее значение игры в смешанных стратегиях. Тогда

Доказывается аналогично свойству 1.

Свойство 3. Нижняя чистая цена игры и верхняя чистая цена игры ограничивают значение сверху и снизу значение игры в смешанных стратегиях: .

Доказательство следует из теоремы (4) и свойств (1) и (2).

Свойство 4. Если матричная игра имеет равновесие в чистых стратегиях, то чистое значение игры равно значению игры в смешанных стратегиях, то есть прибудет справедливо

Доказательство следует из свойства (3).

В случае, когда матричная игра имеет седловую точку, оптимальная смешанная стратегия первого игрока будет иметь вид

.

И оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока будет иметь вид

.

Таким образом, равновесия в чистых стратегиях является частным случаем равновесия в смешанных стратегиях.

5. Теорема об активных стратегиях.

Стратегия i первого игрока называется его активной стратегией, если в оптимальной стратегии вероятность. Аналогично стратегияj игрока 2 называется его активной стратегией, если в оптимальной стратегии вероятность.

Теорема 5. Если один из участников игры применяет свою оптимальную стратегию, то ожидаемый выигрыш останется неизменным и равным v независимо от характера действий другого участника игры в пределах его активных стратегий.

Доказательство. Обозначим для каждых, где– множество оптимальных стратегий первого игрока;для каждых, где– множество оптимальных стратегий второго игрока. Пусть второй игрок выбрал чистую стратегиютогда величина среднего выигрыша будет равна. Данный среднийвыигрыш достигается в том случае, когда первый игрок выбирает свою оптимальную стратегию а второй игрок реализует чистую стратегию из числа активных. Очевидно, что

.

С другой стороны, по определению значение игры будет равно

Таким образом, получаем систему

Это условие может выполняться только в случае, когда

Теорема доказана.