§2.1.8 Критерий Лапласа

Критерий Лапласа основан на гипотезе, согласно которой все состояния среды реализуются с одинаковыми вероятностями.

Если возможна реализация 2-х состояний А и В и нет никакой информации об их вероятностях, то естественно предполагать, что:

Р(А) = Р(В) = ½.

Если среда может принимать состояния у₁, у₂,..у_n и нет информации о вероятностях этих значений, то естественно предполагать:

Р(у₁) = Р(у₂) = ...= Р(у_n) = 1/n.

Пусть для задачи принятия решения, заданной Таблицей 1, принята гипотеза равной возможности. Для каждой стратегии x_i определим значение функции L (x_i):

L (x_i) = 1/n*∑ f(x_i,y_j) (1.32)

Получим L(x₁), L(x₂),.. L(x_n) – среднеарифметические выигрыши для каждой стратегии.

Выбираемая стратегия x_i: L(x_l) ≥ L(x_i) (1.33)

Пример: Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа для задачи принятия решения, заданной платёжной матрицей Таблица 8:

Таблица 8

	у1	у2	У3	L (xi)
х1	92	0	4	96/3=32
х2	30	50	10	90/3=30

Легко показать, что критерий Лапласа удовлетворяет всем 3-м условиям, определённым в пункте 2.1.1.

Тем не менее, у критерия Лапласа есть недостаток: по критерию Лапласа может быть выбрана рискованная стратегия.

Маленькие значения выигрыша при нахождении среднего перекрываются большими – эффект компенсации.

§2.1.9. Критерий Вальда (максиминный критерий)

Выбор критерия Вальда основан на гипотезе, согласно которой ЛПР стремится получить гарантированный результат при любом состоянии среды.

Пример: Найти наилучшую стратегию по критерию Вальда для задачи принятия решения, заданной платёжной матрицей Таблица 9:

Таблица 9

	у1	у2	у3	у4	у5	аi
х1	1	3	2	4	5	1
х2	0	6	8	10	12	0

Решение. Найдём выбор по принципу максимина: для любого i min f(x_i,y_j) = a_i – худший результат при выборе i.

maxmin f(x_i,y_j) = max a_i = K.

Легко показать, что критерий Вальда удовлетворяет всем 3-м условиям, определённым в пункте 2.1.1.

Недостаток этого критерия: критерий Вальда отвергает хорошие гипотезы из-за своего крайнего пессимизма.

§2.1.10. Критерий Гурвица (критерий взвешенного оптимизма /пессимизма)

В основе этого критерия лежит гипотеза о том, что уровень пессимизма ЛПР принимает некоторое значение α: 0 ≤ α ≤ 1. Чем больше α, тем пессимистичнее настроен ЛПР. Для каждой строки x_i определяется:

- число а_i = min f((x_i,y_j);

- число b_i = max f((x_i,y_j).

Затем для каждого значения x_i и α рассчитывается число:

H(x_i, α ) = α* а_i + (1- α)* b_i

и выбирается max H(x_i, α ) = h(α).

Пример 3: Для Примера 2 найти наилучшую стратегию по критерию Гурвица, при значении α = ½ Таблица 10.

Таблица 10

	у1	у2	у3	у4	у5	аi	bi	Hi(1/2)
х1	1	3	2	4	5	1	5	1*1/2+5*1/2=3
х2	0	6	8	10	12	0	12	0*1/2+12*1/2=6

Очевидно, что если α = 1, то критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.

Докажем, что критерий Гурвица удовлетворяет принципу доминирования.

Доказательство. Пусть стратегия x_i является доминирующей. Это значит, что для всех j, 1 ≤ j ≤ n и для всех k, 1 ≤ k ≤ m, k ≠ j, выполняется неравенство:

f(x_i,y_j) ≥ f(x_k,y_j). (1.34)

Из этого следует, что:

max f(x_i,y_j) ≥ max f(x_k,y_j). (*)

Докажем выполнение неравенства (*) подробнее:

max f(x_i,y_j) = f(x_i,y_p)

max f(x_k,y_j) = f(x_k,y_q)

f(x_i,y_j) ≤ f(x_i,y_p)

f(x_k,y_j) ≤ f(x_k,y_q)

Из (1.34) следует, что f(x_k,y_q) ≤ f(x_i,y_q) ≤ f(x_i,y_p).

Таким образом, получается b_k ≤ b_i.

Введём обозначения: min f(x_i,y_j) = а_i = f(x_i,y_l),

min f(x_k,y_j) = a_k = f(x_k,y_r)

Из неравенства доминирования (d) следует, что f(x_k,y_p) ≤ f(x_i,y_r)

а_i = f(x_i,y_l) ≥ f(x_k,y_l) ≥ min f(x_k,y_l) = a_k

а_i ≥ a_k

Так как α ≥ 0, 1- α ≥ 0, то:

α * а_i ≥ α * а_k

(1- α)* b_i ≥ (1- α)* b_k

Выполнение условий перестановки и аддитивной постоянной достаточно очевидно.

Недостаток критерия Гурвица: недостаточная обоснованность выбора параметра α (его значение основано на оценке отношения ЛПР к риску).