§1.2. Формальное описание игры.

Для формального описания игры (конфликта) необходимо зафиксировать следующие моменты:

1. Множество участников, т.е. тех сторон, которые участвуют в конфликте, имеют свои интересы и принимают решения, от которых зависит исход конфликта; будем считать, что число участников счётное (может быть пронумеровано). Иногда заинтересованные лица и лица, принимающие решения могут не совпадать. В дальнейшем будем называть каждого, кто принимает решения, влияющие на исход игры, игроком.

2. Возможные действия участников – стратегии. Каждый участник (игрок) может выбирать своё действие (стратегию или ход) из некоторого множества доступных ему действий.

Будем обозначать:– множество стратегий 1-го участника;

–множество стратегий 2-го участника;

–множество стратегий n-го участника.

Первый участник, независимо от остальных, выбирает стратегию второй –…,n-ый – . Результат этих независимых выборов можно истолковать как определенную ситуацию x={s₁, s₂,…s_n}, называемую исходом игры.

Обозначим всё множество исходов . Очевидно, что это множество исходовбудет равно декартову произведению множеств .

=

3. Каждый исход приводит к определённымпоследствиям для каждого участника. Будем считать, что эти последствия можно выразить количественно и будет называть соответствующее числовыигрышем участника, т.о. будет соответствовать набор чисел:– выигрыш 1-го участника;– выигрыш 2-го участника;

–выигрыш n-го участника.

Всё множество выигрышей можно описать следующим образом:

–множество выигрышей (проигрышей), т.е. результат игры 1-го участника;

–результат игры дл 2-го участника;

–результат игры n-го участника.

Итак, для формального описания игры необходимо:

• задать множество игроков –

• задать для каждого из них множество стратегий –

• задание функций выигрышей (проигрышей) игроков для каждого из возможных исходов игры (платёжная функция).

§1.3. Классификация игр

Игры можно разделить на классы по множеству различных признаков. Например, по количеству игроков: игры с 2-мя участниками, игры с 3-мя участниками, и т.д. Очевидно, что игра с двумя участниками является самой простой моделью. Принципиальные различия между играми производятся по следующим признакам:

1) Могут ли участники игры объединяться в группы для выработки совместных решений. Если участники игры могут объединяться в группы, принимающие совместные решения, то игра называется коалиционной или кооперативной. В противном случае – бескоалиционной или некооперативной. Нетрудно понять, что в коалиционной игре набор возможных решений каждого участника намного шире, чем в бескоалиционной игре. Следовательно, более сложной является модель конфликта между участниками.

2) На основании какой информации принимают решения участники игры. Наиболее простым является случай, когда все участники, во-первых, знают все множество возможных исходов игры, т.е. ситуаций, к которым приводят все допустимые комбинации стратегий игроков, и, во-вторых, знают количественные значения индивидуальных полезностей всех игроков для каждого исхода. Формальное описание такой игры с полной информацией приведено в §1.2., в данном пособии рассматриваются только такие игры. Но в реальных конфликтах участники не всегда располагают такой информацией, или одни участники являются более информированными, чем другие. Такие конфликты моделируются играми с неполной информацией, более сложными в смысле нахождения решения, чем игры с полной информацией.

3) Однократно или многократно производится розыгрыш игры. Если одна и та же игровая ситуация воспроизводится множество раз (многократное разыгрывание), то игра называется повторяющейся. Такие игры описаны в §2.2.5. данного пособия.

4) Действуют ли участники игры одновременно, или действия одних участников следуют за действиями других. В последнем случае игра называется последовательной. Такие игры описаны в §2.2.6. данного пособия.

5) Отдельный класс игр представляют собой динамические (или дифференциальные) игры. Эти игры являются моделями конфликтных задач управления динамическими объектами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. В данном пособии такие игры не рассматриваются.

Имеются также другие признаки выделения игр в отдельные классы, например, различия игровых возможностей игроков, или их переговорных сил, игры, в которых отдельные игроки могут изменять правила игры и т.д. Эти игры, представляющие большой практический интерес, не входят в данное пособие, ознакомиться с ними можно в монографии Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами.

В данном пособии игры классифицируются на коалиционные и бескоалиционные, последние с свою очередь разделяются на игры с противоположными интересами (антагонистические) и игры с непротивоположными интересами (неантагонистические).