§2.1.5. Решение игры в смешанных стратегиях

Пусть задана матричная антагонистическая игра. Требуется найти решение игры в смешанных стратегиях, т.е. требуется найти значение игры v, оптимальную стратегию первого игрока оптимальную стратегию второго игрока.

Решение. Запишем матрицу игры

	смеш. стр. второго игрока
смеш. стр. первого игрока

Из теоремы об активных стратегиях (теорема 5) следует, в частности, что применение одним из игроков своей оптимальной стратегии против любой чистой стратегии противника даёт результат не хуже, чем значение игры V. Результат для первого игрока должен быть , а результат для второго. Тогда первый игрок решает задачу нахождения решения, удовлетворяющего условиям:

(1.28)

Второй игрок решает задачу нахождения решения , удовлетворяющего условиям:

(1.29)

Задачи первого и второго игроков вместе образуют двойственную задачу линейного программирования. Такие задачи решаются с помощью двойственного симплекс-метода. В частности, можно доказать, что сформулированная выше двойственная задача линейного программирования имеет решение для любых платёжных матриц.

Из этого следует, что любая матрица антагонистической игры имеет решение в смешанных стратегиях. Для частного случая, когда матрица игры имеет размеры , смешанные стратегии можно найти графическим методом. Действительно, пусть матричная игра задана Таблицей 6.

Таблица 6

	смеш. стр. второго игрока
смеш. стр. первого игрока

Сформулируем задачу для первого и второго игроков

(1.30)(1.31)

Решим задачу для первого игрока. Обозначим тогда

Решим полученную задачу линейного программирования графически в осях v и X (Рис.2):

Рисунок 2

Свойства игры в смешанных стратегиях.

1. Решение игры не изменится при вычёркивании доминируемых стратегий.

2. Решение игры не изменится при добавлении доминируемых стратегий.

3. Решение игры не изменится при перестановке местами строк (столбцов) платёжной матрицы. Т.е. игроки могут нумеровать свои стратегии в любом порядке. Смысл игры и её решение от этого не изменится.

§2.1.6. Игра против природы

Смысл игры против природы состоит не в том, что игрок вредит окружающей среде, и не в том, что природа враждебна игроку, а в том, что игрок выбирает своё решение, не зная состояния внешней среды, от которых зависит его выигрыш, т.е. в условиях неопределённости. Эта неопределённость вызвана внешними случайными факторами – природными, социальными, техническими, политическими, экономическими. Всю совокупность перечисленных случайных факторов принято называть природой (Nature).

Предположим, что экономический субъект выбирает свои стратегии из некоторого множества . Он знает, что внешний мир (природа), независимо от его действий, может находиться в одном из состояний. Эти состояния можно условно считать стратегиями природы. Каждое из состояний природы в сочетании со стратегией экономического субъекта (игрока) приводит к определённым исходам. Каждый исход оценивается игроком в зависимости от полезности для него этого исхода. Таким образом, множество исходов и заданная на них функция полезности экономического субъекта задают платёжную матрицу с элементами– выигрыш (полезность) экономического субъекта при выборе им стратегии i и состоянии природы j.

Следовательно, игра против природы является частным случаем матричной игры. Её особенность состоит в том, что второй игрок (природа) не преследует собственные цели, то есть является безразличным игроком. Стратегии природы являются ее возможными состояниями, определяемыми объективными законами, а также случайными, неизвестными игроку факторами.То, что у природы нет собственных интересов, отнюдь не облегчает задачу принятия решений, потому что в игре против природы нельзя предусмотреть ее стратегии, исходя из ее «интересов». Модели выбора решения в игре против природы делятся на два типа. Во-первых, это модели выбора при определенном критерии оптимальности, применяемые в тех случаях, когда смысл задачи не дает возможности игроку использовать смешанные стратегии. Во-вторых, это модели с использованием смешанных стратегий.