Дизъюнкция

Ещё одной логической операций является дизъюнкция.

Определение:Дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы один из операндов истинный. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция часто называется логическим сложением или логическим максимумом.

Укажем свойства дизъюнкции:

– коммутативность;

– ассоциативность;

– идемподентность;

– закон исключенного третьего;

;

.

Пример 7.6:рассмотрим логический анализ решения неравенства:

Обычно рассуждают так:

Дробь больше 0 тогда и только тогда, когда и числитель, и знаменатель > 0, или числитель и знаменатель < 0. В результате этих рассуждений получаем 2 системы неравенств:

получаем логическую формулировку

Вспомнив пример из Шекспира, напишем логическую формулу несчастной любви:

При желании можно показать, что .

Замечание: Определение конъюнкции и дизъюнкции распространяется на любое число высказываний. Так

– истинна, если– истинна и

– истинна, если– истинное.

«Исключающее или»

Определение:Операция «исключающее или» истинна, когда истинен только один из операндов. Эта операция задаётся следующей таблицей истинности:

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Эту операцию ещё называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством. Эту операцию можно выразить через &,,.

В языковом эквиваленте чаще всего эта операция выражается сложным союзом «либо, либо».

Пример 7.7:возьмём из изумительной сказки Леонида Филатова «Про Федота –стрельца»

То ли леший нынче рьян,

То ли воздух нынче пьян,

То ли в ухе приключился

У меня какой изъян.

То ль из царских, из окон,

Оглашён такой закон,

Чтобы птицы говорили

Человечьим языком.

Разобьём на элементарные высказывания:

- леший рьян;

- воздух нынче пьян;

- в ухе приключился изъян;

– оглашён закон.

Но поскольку Федот, человек здравомыслящий, он готов допустить достоверность одного из этих предположений, но никак не совпадение нескольких, то данная ситуация описывается следующей логической формулой:

Свойства «исключающего или»:

– коммутативность;

– ассоциативность;

;

;

;

.

Упражнение:докажите неидемподентность операции «исключающее или».

Импликация

Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим – это операция импликации.

Определение:Импликацияложна тогда и только тогда, когда– истинна, а– ложна. Вот её таблица истинности:

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Это выражение читается так: «если , то». В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то её можно перефразировать в указанном виде, не теряя еёсмысла.

Пример 7.8:Теорема: «Вертикальные углы – конгруэнтны», будет выглядеть так: «Если углы вертикальны, то они конгруэнтны». В такой формулировке выявлены посылка –(углы вертикальны) и заключение(углы конгруэнтны). Истинность высказывания, исключает возможность существования таких углов, которые были бы вертикальны и неконгруэнтны.

углы вертикальны и конгруэнтны;

углы вертикальны и неконгруэнтны;

невертикальные углы могут быть конгруэнтны;

углы могут быть невертикальные и неконгруэнтные.

В математических терминах импликация еще обозначается фразами:

– следствие;

– достаточное условие.

Импликацию тоже можно выразить через &,,

Свойства «импликации»:

Упражнение:покажите неидемподентность, некоммутативность, неассоциативность операции «импликации»