Тема 1.3. Основные свойства групп

Считая, что задана некоторая группа будем называть степенью.

Еще раз напомним, что – это обозначение бинарной операции, а не алгебраическое умножение и не обязательно коммутативно. Однако для группы выполняются следующие свойства.

, для

, для

, для

Теорема:Если – группа, то выполняется левый и правый закон поглощения, т.е

Если , то– левый закон поглощения и

Если , то– правый закон поглощения

Доказательство:

Пусть , т.к– группа, тосуществует обратный элемент. Следовательно

Теорема:Если – группа и , то

Уравнение , имеет единственное решение

Уравнение , имеет единственное решение

Доказательство:

Пусть , умножим обе части этого уравнения на

Следовательно - решение.

Теорема:Если – конечная группа то её таблица Кейли такова, что каждый элемент появляется ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

Замечание:Следует обратить внимание на тот факт, что если следствие предыдущей теоремы истинно, то из этого факта не следует, чтоявляется группой, но если оно не выполняется, то из этого обязательно следует, что структура– не группа.

Тема 1.4. Поля и кольца

Определение:Множествос двумя определёнными в нём алгебраическими операциями, сложением и умножением, называетсякольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов,исправедливы равенства:

Если операция умножения, определённая в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Определение:Полемназывается коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элементаи любого элементасуществует единственный элементтакой, что.

Другими словами, для любой пары элементов иуравнениеимеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 1.18:

а) Система является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнениев ней неразрешимо.

б) Система является полем и называется полем рациональных чисел.

Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие – это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» – это самое широкое понятие математики и математической логики, т.е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т.е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия.

Определение:Множество– это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое; (по Г.Кантору – «многое, определяемое как единое»). Поясним это понятие с помощью примеров. Можно говорить о множестве людей, живущих сейчас в России, о множестве точек данной геометрической фигуры, множестве решений данного уравнения. Обратите внимание, мы говорим о наборе вполне различимых между собой элементов, невозможно говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно чётко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Какова же структура множества, чем одно множество отличается от другого, какие математические и логические операции определены для множества?

Прежде всего, каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества.

Факт, что элемент принадлежит множеству мы будем обозначать . Знак является стилизацией первой буквыгреческого слова- есть, быть.

Пример 2.1: В книжке Милна про Винни Пуха есть фрагмент, когда Кролик перечисляет жителей леса, а Винни несколько раз повторяет: «И ещё Иа, я про него чуть было не забыл». И хотя про Иа упоминают несколько раз, в лесу есть только один Иа.

Это одно из важнейших свойств множества: не повторяемость элементов множества. В каком бы порядке не перечислял бы Кролик обитателей леса, это будет одно и то же множество. Т.е. при задании элементов множества не имеет значения порядок элементов.

При этом, нужно иметь ввиду, что элемент и множество – это не одно и то же. Первое – это объект, обозначенный , второе – это множество, состоящее из единственного элемента . Поэтому можно сказать, что «принадлежит » – это истинное суждение. В то время как, «принадлежит » – это ложное суждение.

Порядок элементов в множестве несущественен. Множества и одинаковы.

Множество может задаваться:

• путём перечисления его элементов; таким образом задают конечные множества;

• путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества; это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием; таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества; если мы задаём множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет; данный факт может быть совсем не очевиден;

• описанием правил, по которым строятся элементы множества.

Пример 2.2:

множество натуральных чисел , больших 1, таких что, уравнение имеет решение в ненулевых целых числах. Это множество содержит единственный элемент 2, но есть ли у него еще элементы, никто не знает.

Пример 2.3:

1. ;

2. если , тои;

3. других элементов в нет.

Если характеристическим свойством, задающим множество не обладает ни один объект, то говорят, что множествопустое. Обозначается это так: .

Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством.

Пример 2.4:множество действительных корней уравненияпустое.

Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно – множество называется конечным.

Определение:Количество элементов, составляющих множество, называетсямощностьюмножества.

Определение:Если можно установить взаимооднозначное соответствие между элементами бесконечного множества и элементами множества целых положительных чисел, то говорят, что множествосчётно.

Пример 2.5: множество действительных чисел, множество частных решений дифференциального уравнения – бесконечные множества; множество чисел, делящихся без остатка на 3 – счётное множество; множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно.

Определение:Два множестваравнымежду собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. любой элемент множестваявляется элементом множества, и любой элемент множестваявляется элементом множества.