- •Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
- •Тема 1.2. Алгебраические структуры
- •Тема 1.3. Основные свойства групп
- •Тема 1.4. Поля и кольца
- •Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств
- •Тема 2.2. Подмножество, понятие универсального множества
- •Тема 2.3. Операции над множествами
- •Раздел 3. Основные теоремы комбинаторики
- •Тема 3.1. Метод математической индукции
- •Тема 3.2. Основные принципы комбинаторики
- •Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания
- •Тема 4.2. Размещения и перестановки
- •Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
- •Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений
- •Тема 5.3. Метод производящих функций
- •Тема 5.4. Метод траекторий
- •Тема 5.5. Примеры комбинаторных задач
- •Раздел 6. Соответствие, отношение, отображение Тема 6.1. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств
- •Тема 6.2. Определения и свойства
- •Тема 6.3. Типы отношений
- •Пересечение и объединение отношений
- •Композиция отображений и отношений
- •Тема 6.5. Решётки
- •Тема 6.4. Верхняя и нижняя границы множества.
- •Раздел 7. Операции булевой алгебры Тема 7.1.Понятие высказывания, простые и составные высказывания
- •Тема 7.2.Операции на множестве высказываний
- •Отрицание
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •«Исключающее или»
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Раздел 8. Законы и тождества Булевой алгебры Тема 8.1.Формулы Булевой алгебры
- •Тема 8.2.Законы и тождества Булевой алгебры
- •Тема 8.3.Составление формулы по заданной таблице истинности
- •Тема 8.4. Двойственность
- •Тема 8.5.Булева алгебра и теория множеств
- •Тема 8.6.Днф, интервалы и покрытия
- •Раздел 9. Функциональная полнота. Алгебра Жегалкина
- •Тема 9.1.Функционально полные системы
- •Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •Тема 9.3.Замкнутые классы. Монотонные функции
- •Тема 9.4.Теоремы о функциональной полноте
- •Раздел 10. Хорновские формулы
- •Тема 10.1.Задача получения продукции
- •Тема 10.2.Решение задачи о продукции
- •Алгоритм замыкание(X,f)
- •Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,f)
- •Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,f)
- •Раздел 11. Теория релейно-контактных схем Тема 11.1.Основные понятия
- •Тема 11.2.Основные задачи теории релейно-контактных схем
- •Тема 11.3.Построение машины голосования
- •Тема 11.4.Двоичный сумматор
- •Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач
- •Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката
- •Тема 12.2.Логические операции над предикатами
- •Тема 12.3.Кванторы
- •Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов
- •Раздел 13. Теория графов
- •Тема 13.1.Основные определения теории графов
- •Тема 13.2. Способы задания графов
- •Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
- •Тема 13.4. Числовые характеристики графа
- •Тема 13.5.Изоморфизм графов
- •Раздел 14. Проблемы достижимости на графах Тема 14.1.Граф достижимости
- •Тема 14.2.Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа
- •Раздел 15. Некоторые классы графов Тема 15.1.Деревья
- •Тема 15.2. Обход графа
- •Тема 15.3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Раздел 16. Машина Тьюринга
- •Тема 16.1. Формальное описание машины Тьюринга
- •Тема 16.2. Примеры построения машины Тьюринга
- •Тема 16.3. Свойства машины Тьюринга как алгоритма
- •Раздел 17. Машина Поста
- •Тема 17.1. Теоретическая часть. Состав машины Поста
- •Тема 17.2. Применимость программ. Определение результата выполнения программ
- •Раздел 18. Основные понятия теории автоматов Тема 18.1. Общие подходы к описанию устройств, предназначенных для обработки дискретной информации
- •Тема 18.2. Способы задания конечного автомата
- •Тема 18.3. Эквивалентные автоматы
- •Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили
- •Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов
Тема 4.2. Размещения и перестановки
Выясним, сколько всего подмножеств имеет множество с.
Теорема. Число всех подмножеств множества из элементов равно т.е.
Доказательство:Перенумеруем элементы множестваи для каждого подмножествапостроим последовательность длиныиз нулей и единиц по следующему правилу: на- ом месте пишем 1, если элементи пишем 0, если. Итак каждому подмножеству будет соответствовать своя последовательность из нулей и единиц. Например, пустому множествусоответствует последовательность из одних нулей, а самому множеству– последовательность из одних единиц. Ясно, что справедливо и обратное утверждение: каждой последовательности из множествапоследовательностей длиныиз нулей и единиц соответствует одно подмножество. Таким образом, между множествамииустановлено взаимно однозначное соответствие. Следовательно, эти множества эквивалентны и как конечные множества имеют одинаковое количество элементов, т.е . Но .Теорема доказана.
Следствие. Справедливо равенство
поскольку число- элементных подмножеств множества изэлементов, то сумма в левой части есть число всех подмножеств.
Определение. Упорядоченные- ки (кортежи длины), содержащие все элементы множестваназываютсяперестановкамиэтого множества. Другими словами, перестановки – это комбинации или соединения изэлементов, содержащие все элементы, и которые считаются различными, если отличаются порядком элементов.
Пример 4.3:Пользуясь определением составить все перестановки множества
Решение:Всего шесть перестановок.
Теорема. Если через обозначить число всех перестановок множества, то .
Доказательство:Будем последовательно выбирать элементы множестваи размещать их в определённом порядке наместах. На первое место можно поставить любой изэлементов. После того как заполнено первое место, на второе место можно поставить любой изоставшихся элементов и т.д. По принципу умножения всемест можно заполнить и получить в результате перестановкуспособами. Теорема доказана.
Определение.Перестановки- элементных подмножеств множестваназываютсяразмещениямиизэлементов поэлементов. Другими словами, размещения изэлементов по- это комбинации или соединения, содержащиеразличных элементов, и которые считаются различными, если отличаются либо своими элементами, либо порядком элементов.
Пример 4.4:Пользуясь определением составить все размещения из 3 по 2 для множества.
Решение:Выписываем все двухэлементные подмножестваи для каждого из них – все перестановки. Получаем искомые размещениявсего шесть размещений.
Теорема.Если через обозначить число всех размещений из по элементов множества , то .
Доказательство:В соответствии с определением размещений рассмотрим действие из двух этапов, приводящее в результате к получению размещения изпо. Первый этап: образование- элементного подмножества,, второй этап: образование перестановки в полученном на первом этапе- элементном подмножестве,Тогда, согласно принципу умножения, имеем Теорема доказана.
Пример 4.5:Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?
Решение:Искомое число способов равно .
Определение: Упорядоченные- ки, содержащиераз элемент, причёмназываютсяперестановками с повторением.
Пример 4.6:Для множествасоставить все перестановки с повторением, если.
Решение:Пользуясь определением, получаем три перестановки с повторением.
Теорема: Если обозначить через число всех перестановок с повторением, то
Доказательство:Рассмотрим действие изэтапа. Первый этап: образование перестановки с повторением; второй этап: в полученной перестановке с повторением заменим все элементы разными элементами из множестваи произведём перестановку их, . Третий этап: в перестановке с повторением заменим все элементы разными из оставшихся элементов множества и произведём перестановку их, Последний- ый этап: в перестановке с повторением заменим все элементы разными из оставшихся элементов множества и произведем перестановку их, . В результате описанного действия получатся все перестановки из различных элементов, т.е. таких перестановок. Теперь, согласно принципу умножения, имеем
откуда
Теорема доказана.
Пример 4.7:Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»?
Решение:Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (– количество букв в слове) из элементов-букв множествапричём . Следовательно, их число равно .