- •Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
- •Тема 1.2. Алгебраические структуры
- •Тема 1.3. Основные свойства групп
- •Тема 1.4. Поля и кольца
- •Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств
- •Тема 2.2. Подмножество, понятие универсального множества
- •Тема 2.3. Операции над множествами
- •Раздел 3. Основные теоремы комбинаторики
- •Тема 3.1. Метод математической индукции
- •Тема 3.2. Основные принципы комбинаторики
- •Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания
- •Тема 4.2. Размещения и перестановки
- •Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
- •Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений
- •Тема 5.3. Метод производящих функций
- •Тема 5.4. Метод траекторий
- •Тема 5.5. Примеры комбинаторных задач
- •Раздел 6. Соответствие, отношение, отображение Тема 6.1. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств
- •Тема 6.2. Определения и свойства
- •Тема 6.3. Типы отношений
- •Пересечение и объединение отношений
- •Композиция отображений и отношений
- •Тема 6.5. Решётки
- •Тема 6.4. Верхняя и нижняя границы множества.
- •Раздел 7. Операции булевой алгебры Тема 7.1.Понятие высказывания, простые и составные высказывания
- •Тема 7.2.Операции на множестве высказываний
- •Отрицание
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •«Исключающее или»
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Раздел 8. Законы и тождества Булевой алгебры Тема 8.1.Формулы Булевой алгебры
- •Тема 8.2.Законы и тождества Булевой алгебры
- •Тема 8.3.Составление формулы по заданной таблице истинности
- •Тема 8.4. Двойственность
- •Тема 8.5.Булева алгебра и теория множеств
- •Тема 8.6.Днф, интервалы и покрытия
- •Раздел 9. Функциональная полнота. Алгебра Жегалкина
- •Тема 9.1.Функционально полные системы
- •Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •Тема 9.3.Замкнутые классы. Монотонные функции
- •Тема 9.4.Теоремы о функциональной полноте
- •Раздел 10. Хорновские формулы
- •Тема 10.1.Задача получения продукции
- •Тема 10.2.Решение задачи о продукции
- •Алгоритм замыкание(X,f)
- •Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,f)
- •Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,f)
- •Раздел 11. Теория релейно-контактных схем Тема 11.1.Основные понятия
- •Тема 11.2.Основные задачи теории релейно-контактных схем
- •Тема 11.3.Построение машины голосования
- •Тема 11.4.Двоичный сумматор
- •Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач
- •Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката
- •Тема 12.2.Логические операции над предикатами
- •Тема 12.3.Кванторы
- •Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов
- •Раздел 13. Теория графов
- •Тема 13.1.Основные определения теории графов
- •Тема 13.2. Способы задания графов
- •Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
- •Тема 13.4. Числовые характеристики графа
- •Тема 13.5.Изоморфизм графов
- •Раздел 14. Проблемы достижимости на графах Тема 14.1.Граф достижимости
- •Тема 14.2.Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа
- •Раздел 15. Некоторые классы графов Тема 15.1.Деревья
- •Тема 15.2. Обход графа
- •Тема 15.3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Раздел 16. Машина Тьюринга
- •Тема 16.1. Формальное описание машины Тьюринга
- •Тема 16.2. Примеры построения машины Тьюринга
- •Тема 16.3. Свойства машины Тьюринга как алгоритма
- •Раздел 17. Машина Поста
- •Тема 17.1. Теоретическая часть. Состав машины Поста
- •Тема 17.2. Применимость программ. Определение результата выполнения программ
- •Раздел 18. Основные понятия теории автоматов Тема 18.1. Общие подходы к описанию устройств, предназначенных для обработки дискретной информации
- •Тема 18.2. Способы задания конечного автомата
- •Тема 18.3. Эквивалентные автоматы
- •Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили
- •Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов
Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
При логической (истинностной) интерпретации формул логики возможны три основные ситуации.
Если в области для формулысуществует такая подстановка констант вместо всех переменных, чтостановится истинным высказыванием, то эта формула называетсявыполнимой в области. Если существует область, в которой формулавыполнима, то формула называетсяпросто выполнимой. Пример выполнимой формулы –.
Если формула выполнима в областипри любых подстановках констант, то она называетсятождественно истинной в области .Формула, тождественно истинная в любых множествах называется простотождественно истинной, илиобщезначимой, илитавтологией. Например, формулатождественна для всех множеств, состоящих из одного элемента, а формулаявляется тавтологией.
Если формула невыполнима в областипри любых подстановках констант, то она называетсятождественно ложной в области. Формула, тождественно ложная в любых множествах называется простотождественно ложнойилипротиворечивой. Формулаявляется противоречивой.
Отметим, что если формулы иэквивалентны в соответствии с этим определением, то формулаявляется тождественно истинной.
Замечание.Исследование формул логики предикатов имеет огромное значение потому, что эти формулы входят практически в любую формальную теорию. В связи с этим возникают две проблемы: получение истинных формул и проверка имеющихся формул на истинность. Поскольку предикатные переменные имеют, в общем случае, бесконечное множество значений, то установить истинность формул простым перебором значений на всех наборах переменных, как это иногда делалось для логических функций, просто невозможно. В связи с этим, приходится использовать различные косвенные приёмы.
Пример 12.7:Рассмотрим соотношение. Пусть для некоторого предикатаи областилевая часть истинна. Тогда не существует такого, для которогоистинно. Следовательно, для любых значенийложно, то естьи правая часть истинна. Если же левая часть ложна, то всегда существует, для которогоистинно и, следовательно, правая часть ложна.
Аналогично доказывается истинность соотношения
Большое значение имеют следующие свойства, которые могут быть доказаны способом, рассмотренным в предыдущем примере.
Отметим некоторые свойства:
Дистрибутивность квантора относительно конъюнкции:
1. .
Дистрибутивность квантора относительно дизъюнкции:
2. .
Если же кванторы ипоменять местами, то получатся соотношения, верные только в одну сторону:
3. ,
4. .
В таких случаях говорят, что левая часть является более сильным утверждением, чем правая, поскольку она требует для своего выполнения более жёстких условий. Так, например, в соотношении 3 в левой части требуется, чтобы оба предиката были истинны для одного и того же значения , тогда как в правой части они могут быть истинны при различных значениях переменной. Пример случая, когда соотношения 3 и 4 в обратную сторону неверны:«чётное число»,«нечётное число».
Пусть – некоторое переменное выражение, не содержащее переменной. Тогда выполняются соотношения:
5. .
6. .
7. .
8. .
Эти соотношения означают, что формулу, не содержащую переменной , можно выносить за область действия квантора, связывающего эту переменную.