- •Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
- •Тема 1.2. Алгебраические структуры
- •Тема 1.3. Основные свойства групп
- •Тема 1.4. Поля и кольца
- •Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств
- •Тема 2.2. Подмножество, понятие универсального множества
- •Тема 2.3. Операции над множествами
- •Раздел 3. Основные теоремы комбинаторики
- •Тема 3.1. Метод математической индукции
- •Тема 3.2. Основные принципы комбинаторики
- •Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания
- •Тема 4.2. Размещения и перестановки
- •Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
- •Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений
- •Тема 5.3. Метод производящих функций
- •Тема 5.4. Метод траекторий
- •Тема 5.5. Примеры комбинаторных задач
- •Раздел 6. Соответствие, отношение, отображение Тема 6.1. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств
- •Тема 6.2. Определения и свойства
- •Тема 6.3. Типы отношений
- •Пересечение и объединение отношений
- •Композиция отображений и отношений
- •Тема 6.5. Решётки
- •Тема 6.4. Верхняя и нижняя границы множества.
- •Раздел 7. Операции булевой алгебры Тема 7.1.Понятие высказывания, простые и составные высказывания
- •Тема 7.2.Операции на множестве высказываний
- •Отрицание
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •«Исключающее или»
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Раздел 8. Законы и тождества Булевой алгебры Тема 8.1.Формулы Булевой алгебры
- •Тема 8.2.Законы и тождества Булевой алгебры
- •Тема 8.3.Составление формулы по заданной таблице истинности
- •Тема 8.4. Двойственность
- •Тема 8.5.Булева алгебра и теория множеств
- •Тема 8.6.Днф, интервалы и покрытия
- •Раздел 9. Функциональная полнота. Алгебра Жегалкина
- •Тема 9.1.Функционально полные системы
- •Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •Тема 9.3.Замкнутые классы. Монотонные функции
- •Тема 9.4.Теоремы о функциональной полноте
- •Раздел 10. Хорновские формулы
- •Тема 10.1.Задача получения продукции
- •Тема 10.2.Решение задачи о продукции
- •Алгоритм замыкание(X,f)
- •Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,f)
- •Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,f)
- •Раздел 11. Теория релейно-контактных схем Тема 11.1.Основные понятия
- •Тема 11.2.Основные задачи теории релейно-контактных схем
- •Тема 11.3.Построение машины голосования
- •Тема 11.4.Двоичный сумматор
- •Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач
- •Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката
- •Тема 12.2.Логические операции над предикатами
- •Тема 12.3.Кванторы
- •Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов
- •Раздел 13. Теория графов
- •Тема 13.1.Основные определения теории графов
- •Тема 13.2. Способы задания графов
- •Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
- •Тема 13.4. Числовые характеристики графа
- •Тема 13.5.Изоморфизм графов
- •Раздел 14. Проблемы достижимости на графах Тема 14.1.Граф достижимости
- •Тема 14.2.Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа
- •Раздел 15. Некоторые классы графов Тема 15.1.Деревья
- •Тема 15.2. Обход графа
- •Тема 15.3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Раздел 16. Машина Тьюринга
- •Тема 16.1. Формальное описание машины Тьюринга
- •Тема 16.2. Примеры построения машины Тьюринга
- •Тема 16.3. Свойства машины Тьюринга как алгоритма
- •Раздел 17. Машина Поста
- •Тема 17.1. Теоретическая часть. Состав машины Поста
- •Тема 17.2. Применимость программ. Определение результата выполнения программ
- •Раздел 18. Основные понятия теории автоматов Тема 18.1. Общие подходы к описанию устройств, предназначенных для обработки дискретной информации
- •Тема 18.2. Способы задания конечного автомата
- •Тема 18.3. Эквивалентные автоматы
- •Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили
- •Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов
Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
Биноминальная теорема. Для любых чисел и , и для любого натурального справедлива формула
Доказательство:Перемножим последовательно раз. Тогда получим сумму слагаемых видагдеравно либо , либо. Разобьём все слагаемые на подмножествоотнеся к подмножествувсе те произведения, в которыхвстречается множителем раз, а встречается раз.
Ясно, что каждый элемент – множества это перестановка с повторением, содержащая элементов, среди которых раз встречаетсяи раз . Следовательно,
Каждое слагаемое из равно , поэтому
Теорема доказана.
Замечание. Числаназывают биномиальными коэффициентами, а формулу предыдущей теоремы – формулой бинома Ньютона.
Числа обладают рядом важных свойств. Укажем некоторые из них и установим несколько интересных тождеств, которым удовлетворяют биномиальные коэффициенты.
Свойство 5.1:
Равенство легко проверяется вычислением значений и.
Свойство 5.2:
Доказательство:
Следствие. Свойство 5.2 показывает, что биномиальные коэффициенты можно последовательно выписывать в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
5 |
|
10 |
|
10 |
|
5 |
|
1 |
|
В - ой строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома Ньютона, причём каждый коэффициент, кроме двух крайних, которые равны единице, равен сумме двух его «охватывающих» коэффициентов из предыдущей строки.
Свойство 5.3: .
Это равенство было доказано ранее.
Свойство5.4:
Равенство получается из формулы бинома Ньютона, если в ней положить .
Свойство 5.5:
Доказательство:Рассмотрим все- элементные подмножества множестват.е. множество. Представим множествов видегде– подмножество всех тех- элементных подмножеств множества, в которых элемент с наименьшим индексом равенясно, что. Так как каждый элемент изможет быть получен присоединением кнекоторого- элементного подмножества множествато.
Следовательно,
т.е.
Свойство 5.5 доказано.
Свойство 5.6: .
Доказательство:Запишем тождество
Откуда, используя формулу бинома Ньютона, получаем
или
Так как необходимыми и достаточными условиями тождественного равенства двух многочленов являются равенства коэффициентов при одинаковых степенях то, приравнивая коэффициенты прив правой и в левой части последнего тождества, получаем
Свойство 5.6 доказано.
Полиноминальная теорема: Для любых заданных чисел и для любого натурального имеет место равенство
где сумма в правой части распространена на всевозможные разбиения числа нацелых неотрицательных чисел.
Доказательство:Перемножим последовательнораз. Тогда получим суммуслагаемых видагдеравно либо,... либо. Обозначим черезмножество всех тех слагаемых, гдевстречается множителемраз,–раз,…,–раз, причём должно выполнятся равенство. Ясно, что каждый элемент множества– это перестановка с повторением. Следовательно,
Каждое слагаемое из равно, поэтому
или
Теорема доказана.
Замечание:Числаназывают полиномиальными коэффициентами. Полученная формула является обобщением формулы бинома Ньютона.
Замечание:Если числаполучаются из чиселперестановкой, то. Поэтому, например, в разложениикоэффициенты прииодинаковы. Это облегчает выписывание членов разложения: достаточно найти полиномиальные коэффициенты для таких разбиений числачто, а потом переставлять показатели всеми возможными способами.