Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции

Определение:Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операцияминазываетсяалгеброй Жегалкина.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:

;

;

;

.

Кроме того, выполняются соотношения, ранее сформулированные булевой алгебры, относящиеся к конъюнкции и константам. Отрицание и дизъюнкция выражаются так:

;

;

.

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все упрощения по вышеуказанным соотношениям, то получится формула, имеющая вид суммы произведений, то есть полином (многочлен) по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкинадля данной функции.

От булевой формулы всегда можно перейти к формуле алгебры Жегалкина.

Пример 9.2:Составить полиномы Жегалкина для данных функций:

а) ,

б) .

Заметим, что если в полученных полиномах Жегалкина произвести обратную замену функций, то получим упрощённые формулы булевой алгебры.

Теорема:Для всякой логической функции существует полином Жегалкина и притом единственный.

Доказательство:Существование такого многочлена следует из того, что для любой ДНФ или КНФ можно с помощью указанных эквивалентностей найти эквивалентный многочлен Жегалкина: приведённые формулы позволяют заменять все вхожденияи отрицания наи, и перемножать получившиеся после такой замены многочлены.

Для доказательства единственности представления подсчитаем число различных многочленов Жегалкина от переменных. Каждая положительная элементарная конъюнкция имеет вид, где. Таких конъюнкций столько же, сколько подмножеств множества, т.е.. (Конъюнкция, соответствующая пустому подмножеству переменных равна 1). Упорядочим их произвольным образом (например, лексикографически):. Тогда каждый многочлен Жегалкина единственным образом можно представить как сумму

где каждый из коэффициентов равен 0 или 1. Следовательно, число многочленов Жегалкина равно, т.е. числу всех булевых функций отпеременных. Поэтому каждая функция задаётся в точности одним многочленом Жегалкина.

Если функция задана таблично, то для построения реализующего её многочлена Жегалкина можно применить метод неопределённых коэффициентов. Сопоставим-ому набору значений переменныхв таблице положительную конъюнкциюпеременных, равных 1 в этом наборе. Тогда для получения нужного многочлена Жегалкина достаточно определить все коэффициенты,в выражении

Подставляя в это равенство значения переменных из набора ,, мы получимлинейных уравнений относительнонеизвестных коэффициентов. Решив эту систему, получим требуемый многочлен Жегалкина. Эта система треугольная и легко решается «сверху – вниз»: каждоеопределяется по значениямиз уравнения, соответствующего набору.

Пример 9.3:Рассмотрим в качестве примера функцию, заданную следующей таблицей.

0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1.	1	1

Многочлен Жегалкина для неё (как и для любой функции от 3-х переменных) представляется в виде:

(Для сокращения записи в формуле опущены конъюнкции).

В этом представлении в индексах у коэффициентов перечислены переменные, входящие в соответствующие конъюнкции.

Последовательно подставляя значения переменных и функции из таблицы, получаем:

Следовательно, функция представляется многочленом Жегалкина:

Определение. Функция, у которой полином Жегалкина имеет вид, где параметрыравны нулю или единице, называетсялинейной.

Все функции от одной переменной линейны. Также линейными являются функции эквивалентность и исключающее или.