5.4. Проводники

К проводникам относятся среды, в которых токи проводимости много больше токов смещения. В первую очередь это металлы. Для большинства металлов не существует радиочастот, на которых токи смещения хотя бы сравнялись с токами проводимости.

Из формулы для tgδ видно, что при прочих равных условиях, чем ниже частота, тем среда с электропроводностью ближе к идеальному проводнику. На достаточно низких радиочастотах многие, на первый взгляд диэлектрические среды становятся металлоподобными. Так, например, ведет себя сухая почва на частотах в несколько МГц. Это свойство в ряде случаев значительно упрощает решение практических задач.

В хороших проводниках токи смещения пренебрежимо малы. Согласно этому допущению комплексную диэлектрическую проницаемость металлоподобной среды можно считать чисто мнимой:

(5.23)

Нижним индексом «м» отмечена принадлежность параметра проводнику.

Найдем комплексное волновое число плоских электромагнитных волн в такой среде. По общему правилу действий с комплексными числами для него можно записать следующее соотношение:

(5.24)

При извлечении корня квадратного из –jиспользована следующая формула:

(5.25)

Из формулы (5.24) легко получить выражения для коэффициента фазы, коэффициента затухания и фазовой скорости электромагнитной волны в проводнике:

	(5.26)
	(5.27)

Отличительной особенностью фазовой скорости электромагнитных волн в проводнике является ее зависимость от частоты. Значит, в проводниках имеет место быть частотная дисперсия фазовой скорости. Кроме того, скорость электромагнитных волн в проводниках невелика.

Фазовая скорость электромагнитных волн в проводнике значительно меньше скорости света в вакууме

Для определения волнового сопротивления металла обратимся к формуле (4.12) и подставим в нее выражение для комплексной абсолютной диэлектрической проницаемости (5.23). Получим:

(5.28)

Формула (5.28) весьма показательна: волновое сопротивление металла весьма мало.

Волновое сопротивление проводников гораздо меньше волнового сопротивления вакуума

Амплитуда электромагнитных волн в среде с потерями уменьшается по закону еxp(-αz), но в проводниках коэффициент затухания очень велик и его применение не наглядно. Поэтому для характеристики металлов вводится понятиеглубины проникновения- расстояние, на котором волна затухает в е раз.

Глубиной проникновения называется расстояние, на котором амплитуда электромагнитных волн уменьшается в е раз

Величина глубины проникновения должна удовлетворять очевидному соотношению:

(5.29)

Отсюда легко получить формулу для расчета глубины проникновения:

(5.30)

Из этой формулы видно, что глубина проникновения электромагнитных волн уменьшается с ростом частоты и электропроводности металла.

Глубина проникновения является важной характеристикой металлов. Напряженность поля в проводнике с глубиной уменьшается по экспоненте. Так же уменьшается и ток проводимости. Если определить суммарный ток, протекающий во всей толще металла, то окажется, что он будет равен току на поверхности, умноженному на глубину проникновения. То есть ток в проводнике на высоких частотах можно полагать протекающим только в пределах слоя в одну глубину проникновения, равномерно распределенным по глубине и равным току на поверхности.

Ток в проводнике можно полагать протекающим только в пределах слоя в одну глубину проникновения, равномерно распределенным по глубине и равным току на поверхности

Поэтому сопротивление металла, вычисляемое по формуле (5.28), часто называют поверхностным сопротивлением.

Расчет по формуле (5.30) показывает, что для металлов на частотах СВЧ диапазона глубина проникновения оказывается весьма малой. Так, для меди на частоте 10 ГГц глубина проникновения составляет 0,6 мкм. Следовательно, можно легко улучшить проводящие свойства конструкций из металлов с низкой электропроводностью. Для этого на поверхность конструкции наносится слой хорошо проводящего металла, чаще всего - серебра. Толщина слоя порядка одной сотой миллиметра позволяет просто и сравнительно дешево снизить тепловые потери в устройствах СВЧ.

В идеальном проводнике, при σ → ∞, глубина проникновения устремляется к нулю. Следовательно, электромагнитное поле не проникает внутрь идеально проводника.

Электромагнитные волны не проникают внутрь идеального проводника

Найдем пределы применимости приближенных формул для проводников. Из-за зависимости параметров волны от частоты проанализировать ситуацию так же, как для несовершенного диэлектрика, не удастся. Поэтому ограничимся определением величины tg δ, при которой погрешность вычисления относительной диэлектрической проницаемости станет приемлемой (таблица 5.2).

Таблица 5.2

Относительная погрешность вычисления модуля относительной диэлектрической проницаемости по формуле для проводника

tg δ	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Δε, %	0.496	0.125	0.056	0.031	0.020	0.014	0.010	0.008	0.006	0.005

Видно, что при увеличении tg δ от 10 до 100 относительная погрешность расчета относительной диэлектрической проницаемости уменьшается примерно в 100 раз.