ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

		1	2						2	3
J												0;
			R6						R5
	2 3					3				3	1		E2
														0.
	R5				R4						R2

Перепишем последнюю систему уравнений следующим образом:

			1						1					1						1
2											3						J						;
																				R6
	R5							R6				R5
			1								1			1			1							1		E2
2									3																		.
															R4											R2
			R5								R2								R5 R2

Подставляя числовые значения сопротивлений и токов, получим:

		1				1						1			2				60		;
2									3
		25										25							25
						25
		1							1					1			1					60		30
2							3																		.
		25							20			40					25					20		20

Откуда, после вычислений приведем систему уравнений к виду:

0,08 2 0,04 3 4,4,

0,04 2 0,115 3 1,5.

Найдем главный определитель (Δ) и алгебраические дополнения (Δ1) и

(Δ2):

		0,08			0,04			7,6 10	3 , 1		4,4	0,04	0,566,
		0,04			0,115						1,5	0,115
2				0,08	4,4		0,296 .
				0,04	1,5

Используя главный определитель и алгебраические дополнения рассчитываем потенциалы 2-го и 3-го узлов:

	2	1	74,47 В,	3	2	38,947 В.

На основании закона Ома определяем токи в ветвях:

I2				3 1				E2					38,947 60 300			0,447 А,
					R2
												20
I4				3		38,947						0,947 А,
				R4				40
I5			2 3							74,47 38,947					1,421А,
				R5								25
I6			1 2						60 74,47					0,579 А,
				R6								25

I3 I4 J 0,947 2 1,026 А.

91

Вычисляем напряжение на зажимах источника тока:

UИТ JR1 I4 R4 I5 R5 2 40 0,947 40 1,421 25 154,47 В.

Правильность расчета цепи проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего находим мощности, развиваемые источниками и мощности, потребляемые приемниками:

PИСТ UИТ J E2 I2 E3 I3 154,47 2 30 0,447 60 1,026 260,789Вт,

PН J2 R1 I22R2 I24 R4 I52 R5 I62 R6

22 40 0,4472 20 0,9742 40 1,4212 25 0,5762 25 260,789Вт.

Баланс сошелся.

5.3.3 Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи и составить уравнение баланса мощностей для схемы, представленной на рис. 5.3.3, если: J=2 А, E1=20 В, E2=40 В, E6=40 В, R1=R2=R3=20 Ом, R1=R2=10 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Определяем структурные параметры цепи: число ветвей p=6 число узлов y=4 число независимых контуров mнез=3. В цепи есть идеальный источник ЭДС, поэтому за опорный принимают тот узел, который соединен с отрицательным полюсом этого источника ЭДС, т.е. 0=0, тогда 1=Е6=40 В. Особенность схемы состоит в том, что в ветви "2–3" включены последовательно источник тока (J) и источник ЭДС (Е2). Это означает, что ток в этой ветви будет равен току источника тока J=2 А.

	I5	0
	R5	E6
2	R4
	I4	1
	UИТ
J	E2
		Рис. 5.3.3

			Для узлов	2 и 3 составляем уравнения
	R1	I1	по 1-му закону Кирхгофа:
			J I4 I5 0;
				(*)
			J I1 I3 0.
		E1	Выразим токи в ветви, не содержащих
			источника тока, по закону Ома:

R3	I3	3	I1	3 E1 ,	I3	1 3 ,
				R1		R3

I4

1 2

,

I5

2

.

R2

R4

R5

Подставим полученные выражения для

токов в систему уравнений (*), состав-

ленную по 1-му закону Кирхгофа:

1 2

2

J

0;

R4

R5

1

3

3

E1

J 0.

R3

R1

92

Преобразуем полученную систему относительно неизвестных потенциалов 2-го и 3-го узлов 2 и 3:

			1					1						1
2												J				;
								R5						R4
	R4
					1			1							E1			1
3													J				1		.
															R1
			R1						R3								R1

Подставляя числовые значения сопротивлений и токов, получим:

				1			1				2			40		6;
2
		10					10							10
				1						1					20			40
													2						1.
3
					20										20			20
							20

Решая последнюю систему уравнений, найдем потенциалы 2 и 3:

2 30 В, 3 10 В.

Зная потенциалы 2 и 3, определим токи в ветвях:

I1		3 E1				10 20			0,5А,	I3		1 3					40 10	2,5А,
			R1										R3
				20												20
I4			1 2				40 30	1 А, I5			2			30	3 А.
			R4	10							R5 10

Ток I6 в ветви с идеальным источником ЭДС найдем по 1-му закону Кирхгофа:

I6 I1 I5 0,5 3 3,5А.

Определяем напряжение на зажимах источника тока UИТ :

UИТ E2 JR2 I3 R3 I4 R4 40 2 20 2,5 20 1 10 40 В.

Правильность расчета цепи проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего находим мощности, развиваемые источниками и мощности, потребляемые приемниками:

PИCТ E1 I1 E2 J E6 I6 UИТ J 20 0,5 40 2 40 3,5 40 2 310 Вт,

PН I12 R1 J2 R2 I32 R3 I24 R4 I52 R5

0,52 20 22 20 2,52 20 12 10 32 10 310 Вт.

Баланс сошелся.

5.4 Задачи для самостоятельного расчета цепей методом узловых потенциалов

93

E1, R01

R1

5.4.1 Для цепи, изображенной на рис.

5.4.1., определить токи, пользуясь

R5

методом узловых потенциалов, если:

E1=30 В, E2=10 В, E3=56 В, E4=200 В,

E3,

R01=2 Ом, R03=1 Ом, R1=28 Ом, R2=30

E2

Ом, R3=7 Ом,

R03

R6

R4

R4=6 Ом, R5=15 Ом, R6=40 Ом.

R3

R2

E4

Рис. 5.4.1

R3

5.4.2 Определить токи в цепи, изо-

E2, браженной на рис. 5.4.2., пользуясь

E1,

R02

методом узловых потенциалов, если:

R4

R5

E1=120 В,

E2=88

В, R01=R02=2

Ом,

R01

R2

R2=6 Ом,

R3=4

Ом, R6=2

Ом,

R6

R4=R5=12 Ом.

Рис. 5.4.2

R1

R2

5.4.3 Определить токи в цепи, пред-

ставленной на рис. 5.4.3 методом уз-

ловых потенциалов, если: E1=0,4 В,

E1

R3

J

E2

E2=1 В, J=0,03 A, R1=10 Ом, R2=40

Ом, R3=20 Ом.

Рис. 5.4.3

5.4.4 Решить задачу 5.4.3 при условии, что R2=0.

94

E1

5.4.5 Методом узловых потенциалов

рассчитать токи в цепи, представлен-

R4

ной на рис. 5.4.5, правильность расчета

E2

проверить с помощью баланса мощно-

R2

R6

стей, если: Е1=15 В, Е2=30 В, E3=40 В,

R2=15 Ом, R3=15 Ом, R4= 10 Ом, R5=5

Ом, R6=10 Ом.

E3

R5

Рис. 5.4.5

R5

5.4.6 Методом узловых потенциалов рас-

R4

R6

считать токи в цепи, представленной на

рис. 5.4.6, правильность расчета прове-

рить с помощью баланса мощностей, ес-

R2

ли:

E1

E3

Е1=20 В, Е2=35 В, E3=30 В, R2=5 Ом,

E2

R4= 10 Ом, R5=5 Ом, R6=5 Ом.

Рис. 5.4.6

E3

5.4.7 Методом узловых потенциалов

рассчитать токи в цепи, представ-

ленной на рис. 5.4.7, правильность

E2

E1

расчета проверить с помощью ба-

R2

R1

ланса мощностей, если:

Е1=25 В, Е2=30 В, E3=20 В, R1=10

Ом, R2=10 Ом, R4=15 Ом, R5=10

R6

R5

R4

Ом, R6=10 Ом.

Рис. 5.4.7

95

6 МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

6.1 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС методом наложения

6.1.1 Методом наложения определить напряжение на приемнике R и мощность, развиваемую каждым из источников ЭДС в цепи, представленной на рис. 6.1.1, если: E1=120 В, E2=100 В, R01=6 Ом, R02=4 Ом, R=12 Ом.

I1				I3				РЕШЕНИЕ:
			I2					Электрическая цепь содержит два реальных ис-
								точника ЭДС Е01 и Е02 с внутренними сопротивле-
E01,				E02,			R
								ниями R01 и R02, которые необходимо учитывать
R01				R02
								при расчете методом наложения. Т.к. схема со-
								держит два источника ЭДС, то для ее расчета не-
								обходимо строить две частичные схемы замеще-
Рис. 6.1.1								ния, для которых следует рассчитывать отдельно
								частичные токи, создаваемые каждой ЭДС в от-
								дельности.

1) Пусть работает ЭДС E10, тогда первая частичная схема замещения будет иметь вид, представленный на рис. 6.1.1.а. Методом "свертки" найдем экви-

валентное сопротивление:

Rэкв R01

R02 R

6

4 12

9

Ом.

R02 R

4 12

Зная R'экв,найдем ток первой частичной ЭДС:

I'1

I'3

I'2

E1

120

E01,

I1

13,33

А.

R02

R

Rэкв

49

R01

Возвращаясь обратно к 1-ой частичной схеме за-

мещения, найдем частичные токи в ветвях:

I

I1

R

13,33

12

10 A,

Рис. 6.1.1.а

2

R02 R

4 12

I3

I1 I2

3,33A.

2) Пусть работает ЭДС E20, тогда вторая частичная схема замещения будет иметь вид, представленный на рис. 6.1.1.б. Методом свертки найдем эквивалентное сопротивление:

		R01 R		6 12
			4		8Ом.
Rэкв R02
		R01 R		6 12

96

I''1

I2

I''3

Зная Rэкв,найдем ток второй частичной ЭДС:

''

E

2

100

E ,

I2

12,5А.

R01

R

8

02

Rэкв

R02

Возвращаясь обратно к 2-ой частичной схеме заме-

щения, найдем частичные токи в ветвях:

''

''

R

12

I1

I2

12,5

8,33A,

6 12

Рис. 6.1.1.б

R01 R

I3'' I'2'

I1'' 4,17 A.

3) Истинные токи в ветвях находим методом наложения, путем алгебраического сложения соответствующих частичных токов в ветвях с учетом их направления в частичных схемах замещения. При это, если направление частичного тока совпадает с направлением тока в исходной схеме, то он берется со знаком плюс, а если не совпадает, то со знаком минус.

I1 I1 I1 13,33 8,33 5 A,

I2 I2 I2 12,5 10 2,5A,

I3 I3 I3 3,33 4,17 7,5A.

4)Напряжение на приемнике находим после определения в нем реально-

го тока I3: U = I3 R=7,5 12= 90 В.

5)Токи в ветвях с ЭДС совпадают по направлению с ЭДС, поэтому оба источника отдают мощность в приемник:

PE1 E1 I1 120 5 600Вт;

PE2 E2 I2 100 2,5 250Вт.

6.1.2 Методом наложения определить токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей для схемы, представленной на рис. 6.1.2, если: E1=100

В, E2=50 В, E3=100 В, R1=R4=R5=30 Ом, R3=10 Ом, R6=20 Ом.

I1

РЕШЕНИЕ:

Так как исходная цепь содержит 3 источ-

E1

ника ЭДС, то для ее расчета необходимо

R5

R6

рассчитывать 3 частичные схемы замеще-

ния.

I5

R1

I6

1) Пусть работает ЭДС E1, тогда первая

E2

частичная схема будет иметь вид, пред-

R4

I4

I2

ставленный на рис. 6.1.2.а. Рассчитаем для

E3 I3

этой схемы методом свертки сопротивле-

R3

ния ветвей:

Рис. 6.1.2

97

R34

R3 R4

10 30

7,5Oм;

R3 R4

10 30

R345 R34 R5

7,5 30 37,5Oм;

R3456

R6 R345

20 37,5

13,043Oм;

R6 R345

20 37,5

Зная Rэкв

Rэкв R1 R3456

30 13,043 43,043Oм.

частичный ток в первой частичной ЭДС и токи в остальных ветвях

первой частичной схемы замещения:

E1

100

1

I1

2,323 A;

Rэкв

43,043

I'1

R345

U13

I6

I1

E1

R6

R345 R6

R5

R6

2,323

37,5

1,515 A;

R1

37,5 20

R6

I'5

3

I'6

I5

U13

I1

I1 I6

2

R4

I'4

R345

R345 R6

2,323 1,515 0,808 A;

R3

U23

R3

10

I4

I5

0,808

I'3

R4

R3 R4

10 30

0,202 A;

Рис. 6.1.2.а

U23

R4

I3

I

5

0,808 0,202

R5

R3 R4

0,606 A.

1

2) Пусть работает только ЭДС Е2. Вторая

частичная схема представлена на рис.

R5

I''1

R6

6.1.2.б. Для нахождения эквивалентного

сопротивления цепи осуществим транс-

R1

фигурацию

сопротивлений

R1, R5, R4

I''5

E

I''6

(рис.6.1.2.в):

R1 R5

30

30

R4

I''4

I''2

2

Ra

10Oм,

2

3

R1 R4 R5

30 30 30

R3

I''3

Rb

R4 R5

30 30

10Oм,

R1 R4 R5

30 30 30

Rc

R1 R4

30 30

10Oм,

Рис. 6.1.2.б

R1 R4 R5

30 30 30

(Ra R6)(Rb

R3)

(10 20) (10 10)

Rэкв Rс

22Oм.

Ra R6 Rb R3

10 20 10 10

98

Определив Rэкв, найдем ток второй частичной ЭДС Е2 и токи в ветвях второй частичной схемы:

E2

50

I2

2,273 A;

22

Rэкв

Ra R6

10 20

I3

Uod

I2

2,273

1,364 A;

Rb R3

Ra Rb R6 R3

10 20 10 10

Rb R3

Ra

с

I''

E2

I6

Uod

I2

2

Ra R6

Ra Rb R6 R3

R

Uab

R6

I2 I3 2,273 1,364 0,909 A;

а

I''6

U

E

I R

50 0,909 20 31,81В;

о

b

d

сa

2

6

6

I1

Uсa

31,81

1,06 A;

Rc

b

R3

I''3

R1

30

I5 I1 I6

1,06 0,909 0,151A;

Рис. 6.1.2.в

I4 I2 I1

2,273 1,06 1,213 A.

3) Пусть работает только ЭДС E3. Третья частичная схема представлена на рис. 6.1.2.г. Методом свертки найдем эквивалентное сопротивление:

1

R165 R5

R1 R6

30

30 20

42Oм,

R1 R6

30 20

I'''1

R4 R165

30 42

10

Rэкв R3

R5

R1

R6

27,5Oм.

R4 R165

30 42

, найдем частичной ток третьего

Зная Rэкв

I'''5

I'''6 источника ЭДС Е2 , а также частичные то-

2

R4

I'''4

3

ки во всех ветвях третьей частичной схе-

мы замещения:

E3

100

3,636 A;

R3

E

3

I3

27,5

I'''3

RЭКВ

I4

U32

I3 R1654 I3

R165

R4

Рис. 6.1.2.в

R4 R165

3,636

42

2,121A;

R4

30 42

U32

R165

R165

I5

I3 R4

I3

I4 3,636 2,121 1,515 A;

99

R1

30

I6

U31

I5

1,515

0,909 A;

R1 R6

R6

30 20

R6

1,515 0,909 0,606 A.

I1

I5

R1

I5

I6

R6

4) Истинные токи в ветвях находим методом наложения путем алгебраического сложения соответствующих частичных токов с учетом их величин и направлений в частичных схемах замещения:

I1 I1 I1 I1 2,323 1,06 0,606 3,989 A;

I3 I3 I3 I3 0,606 1,364 3,636 5,606 A;

I4 I4 I4 I4 0,202 1,213 2,121 3,132 A;

I5 I5 I5 I5 0,808 0,151 1,515 2,474 A;

I6 I6 I6 I6 1,515 0,909 0,909 1,515 A.

Ток I2 в ветви с идеальным источником ЭДС Е2 определяем по первому закону Кирхгофа: I2 I3 I6 5,606 1,515 7,121 A.

5) Правильность расчета токов проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего определяем мощности, развиваемые всеми источниками ЭДС и мощности потребляемые приемниками.

PИСТ E1 I1 E2 I2 E3 I3 100 3,989 50 7,121 100 5,606 1315,55 Вт;

PН I12 R1 I32 R3 I24 R4 I52 R5 I62 R6

3,9892 30 5,6062 10 3,1322 30 2,4742 30 1,5152 20 1315,55Вт.

6.2 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока методом наложения

6.2.1 Для схемы, представленной на рис. 6.2.1 методом наложения определить токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей, если: J1=50 мA,

J2=60 мA, R2=4 кОм, R3=6 кОм, R4=2 кОм, R5=R6=5 кОм.

J2

РЕШЕНИЕ:

Особенность расчета цепи с источ-

I3

UИТ2

никами тока методом наложения со-

R2

стоит в том, что

здесь частичные

R3

схемы замещения оказываются про-

I4

R4

ще, так как ветви с источниками тока

UИТ1

J1

обрываются из-за

их

бесконечно

большого внутреннего

сопротивле-

R5

R6

ния.

I5

I6

Рис. 6.2.1

100