ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи четыре узла, три независимых контура и два источника тока. Независимые контура и контурные токи выберем так, чтобы два контурных тока были бы равны токам источников тока, а именно: I22=J2=4 А, I33=J1=6 А. Для 1-го контура не содержащего источников тока составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

I11 R11 I22R12 I33 R13 0,где

UИТ1

I3

R11 R4 R5 R6 2 Ом,

J1

R2

R12 R5 10 Ом,

R1 J2

I22

R3

R13 R6 4 Ом.

UИТ2

I33 подставляя числовые данные в

R4

R5

уравнение, записанное по 2-му за-

кону Кирхгофа, получаем:

I4							I5	20 I11 10 4 4 6 0,отсюда най-
			I11
								дем контурный ток I11 0,8А.
			R6
						I6		На основании 1-го закона Кирхго-
								фа определяем токи в ветвях схе-
								мы:
	Рис. 4.2.1							I3 I22 I33 10 А,
								I4 I11 0,8 А,

I5 I22 I11 3,2 А,

I6 I11 I33 6,8 А.

Найдем напряжение на зажимах источниках тока: UИТ1= J1R1+ IR3+ I6R6=157,2 В, UИТ2= J2R2+ I3R3 + I5R5=164 В,

Составим уравнение баланса мощностей:

PИСТ = UИТ1 J1 + UИТ2 J2 = 1599,2 Вт,

PН = J12R1 + J22R2 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 1599,2 Вт.

Баланс сошелся, значит, задача решена верно.

4.2.2 Методом контурных токов рассчитать все токи в цепи, представленной на рис. 4.2.2. Правильность расчета проверить составлением уравнения ба-

ланса мощностей, если: J1=1 А, J2=2 А, R1=100 Ом, R3=200 Ом, R4=100 Ом, R5=50 Ом, R6=100 Ом.

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи четыре узла, три независимых контура и два источника тока. Независимые контура и контурные токи выберем так, чтобы два контурных тока были бы равны токам источников тока, то есть I22=J2=2 А, I33=J1=1 А. Для контура с током I11, не содержащего источников тока составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

I11 R11 I22 R12 I33 R13 0, где

71

R1

I3

R3

R11

R3

R4

R6 400 Ом,

R12

R6

100 Ом,

I4

R13

R4 100 Ом.

UИТ1

I33

R4

I11

Учитывая, что I22=J2=2 А и I33=J1=1 А и

подставляя числовые данные в уравнение

J1

записанное по 2-му закону Кирхгофа, по-

R5

I

5

R6

I6

лучаем:

400 I11

100 2 100 1 0,

I22

Откуда

найдем

контурный

ток

I11 0,25 А. Затем на основании 1-го за-

J2

кона Кирхгофа определяем токи в ветвях

схемы:

	UИТ2	I3 I11		0,25А,	I4 I33	I11	1,25 А,
		I5	I33	I22 3А,	I6 I11	I22	1,75А.

Рис. 4.2.2

Найдем напряжение на зажимах источников тока:

UИТ1 J1 R1 I4 R4 I5 R5 375B, UИТ2 I6 R6 I5 R5 325B.

Составим уравнение баланса мощностей:

PИСТ = UИТ1 J1 + UИТ2 J2 = 1025 Вт,

PН = J12R1 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 1025 Вт.

Баланс сошелся, значит, задача решена верно.

4.3 Примеры расчета электрических цепей методом контурных токов при совместной работе источников ЭДС и источников тока

4.3.1 Требуется рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 4.3.1, методом контурных токов, если: J=2 А, Е1=20 В, Е3=40 В, Е6=40 В, R1=R2=R3= =20 Ом, R4= R5=10 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит шесть ветвей, четыре узла, три источника ЭДС и один источник тока, которые образуют три независимых контура. Определяем структурные параметры цепи: mнез =3. Так как в цепи есть источник тока, то число уравнений, которые составляются по 2-му закону Кирхгофа уменьшится

на одно, а именно: mнез – 1=2.

Задаем контурные токи и их направление в ветвях, при этом учитываем, что

I33 J 2 А.

72

	I5	R1
R5		Е6
	I11	I
		22

I4

R4

I6

R3

J	UИТ	I33
		E2	R2
		Рис. 4.3.1

Составляем систему уравнений I1 для двух независимых контуров,

не содержащих источник тока:

I11 R11	I22 R12	I33 R13	E11	;
E1	I22 R22	I33 R23		,
I11 R21			E22 ,

I3	где
	R11 R4 R5 10 10 20Ом,
	R22 R1 R3 20 20 40Ом –
	собственные сопротивления пер-
	вого и второго контуров;
	R12 = R21 = 0, R13 = R31 = –10 Ом,
	R23 = R32 = R3 =20 Ом – взаимные
	сопротивления смежных конту-
	ров;

E11 = E6 = 40 В, E22 = E1 + E3 = 60 В – контурные ЭДС.

Перепишем систему уравнений с учетом сопротивлений и ЭДС:

20 I11 0 I22 10 I33 40

0 I11 40 I22 20 I33 60.

Учитывая то, что I33 J 2 А, решая систему уравнений определим первый и второй контурные токи:

20 I11 60 I11 3 А,

40 I22 20 I22 0,5 А.

Задаемся направлением токов в ветвях, и определяем их значения согласно принципу наложения:

I1 I22 0,5 А;

I3 I22 I33 2 0,5 2,5 А;

I4 I11 I33 3 2 1 А; I5 I11 3 А;

I6 I11 I22 3,5 А.

Определяем напряжение на зажимах источника тока UИТ:

UИТ E2 JR2 I3 R3 I4 R4 40 2 20 2,5 20 1 10 40 В.

Правильность решения проверяем с помощью баланса мощностей:

PИСТ E1 I1 E2 J E6 I6 UИТ J 20 0,5 40 2 40 3,5 40 2 310 А,

PН I12 R1 J2 R2 I32 R3 I24 R4 I52 R5

0,52 20 22 20 2,52 20 12 10 32 10 310 А.

Баланс сошелся, значит расчеты токов выполнены верно.

73

4.3.2 Электрическая цепь питается от источника ЭДС и источника тока. Методом контурных токов рассчитать все токи, проверить расчет токов с помощью баланса мощностей, если: Е5=1 В, J=1 А, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=4 Ом, R5=0,6 Ом, R6=3 Ом.

a

R2

I2

d

РЕШЕНИЕ:

1) В заданной цепи три не-

I22

I4

зависимых контура.

Вы-

I1

R5

брать контуры следует так,

b

R4

R6

чтобы один из контурных

R1

E5 I5

токов был бы равен току

I11 R3

e

источника тока. Например,

I3

UИТ

J

так,

как указано на схеме

цепи,

на рис. 4.3.2.

Тогда

f

c

I33

ток третьего контура най-

дем как: I33=J=1, А.

Рис. 4.3.2

2) Рассчитаем контурные ЭДС, собственные и взаимные сопротивления

контуров:

Е11 = Е22 = Е5 = 1 В, R11 =R1 + R3 + R5 = 1 + 3 + 0,6 = 4,6 Ом,

R22 =R2 + R4 + R5 = 2 + 4 + 0,6 = 6,6 Ом,

R12 =R21 = R5 = 0,6 Ом,

R23 =R32 = R4 = 4 Ом,

R31 =R13 = – R3 = – 3 Ом.

и запишем систему уравнений для независимых контуров, не содержащих

источник тока:

I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11;

I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22.

Подставляя в систему уравнений контурные ЭДС и сопротивления:

I11 4,6 + I22 0,6 = 4;

I11 0,6 + I22 6,6 = – 3.

3) Решая систему, получим величины контурных токов:

I11 = 0,94 A, I22= – 0,54 A.

4) Реальные токи находим на основании метода или принципа наложения: I1 = I11 = 0,94 A, I2= – I22 = 0,54 A, I3 = I33 – I11 = 0,06 A,

I4 = I22 + I33 = 0,46 A, I5 = I11 + I22 = 0,4 A, I6 =1 A.

5) Для проверки правильности расчета токов необходимо составить урав-

6

нение баланса мощностей: PИСТ = PE + PJ , PH I2kRk ,

1

здесь PE = E5I5 = 0,4 Вт, PJ= UИТJ, где UИТ рассчитываем по второму закону Кирхгофа для контура содержащего источник тока: UИТ – JR6 – I4R4 – I3R3 = 0,

отсюда UИТ = JR6 + I4R4 + I3R3 = 1 3 + 0,46 4 + 0,06 3 = 5,02 B, тогда PJ = 5,02 Вт, а PИСТ = 5,42 Вт.

Мощность, потребляемая нагрузкой: PH I12R1 I22R2 I32R3 I24R4 I52R5

J2R6 0,942 1 0,542 2 0,062 3 0,462 4 0,42 0,6 12 3 5,43Вт.

Баланс мощностей сошелся, значит, токи рассчитаны верно.

74

4.3.3 Электрическая цепь питается двумя источниками ЭДС и источником тока. Методом контурных токов необходимо рассчитать токи во всех ветвях цепи, представленной на рис. 4.3.3, проверить расчет токов с помощью ба-

ланса мощностей, если: E1=6 B,

E2=12 B,

J=9

A, R1=1 Ом, R2=R3=2 Ом,

R4=R6==5 Ом, R5=6 Ом, R7=R8=R9=3 Ом.

РЕШЕНИЕ:

I9

R9

1) В заданной цепи восемь уз-

лов, пять независимых конту-

I7

R7

b

R8

I8

ров,

что

для

решения задачи

a

c

представляет

существенную

I6

сложность. Цепь можно упро-

I4

E2

стить, если заменить источник

тока источником ЭДС (рис.

R6

R4

4.3.3.а и

4.3.3.б) и преобразо-

R1

вать "треугольник" сопротивле-

E2

ний R7, R8, R9

в эквивалентную

I1

R2

f

R5

I5

"звезду" Ra, Rb, Rc (рис. 4.3.3.в).

d

g

Найдем

ЭДС

эквивалентного

I2

источника: E = JR3 = 9 2 = 18 B.

R3

I'3

I3

При этом внутреннее сопротив-

ление источника E будет равно

UИТ

R3. Преобразуя "треугольник" в

"звезду" учтем, что сопротивле-

ния

"сторон"

"треугольника"

J

равны R7=R8=R9=3 Ом.

Рис. 4.3.3

В этом случае сопротивления "сторон" в преобразованной "звезде" тоже будут равны Ra = Rb = Rc =1 Ом, так как:

Rа

R7 R9

; Rb

R7 R8

; Rc

R7 R8

.

R7 R8 R9

R7 R8 R9

R7 R8 R9

d

d

J

R3

E

R3

g

Рис. 4.3.3.а

g

Рис. 4.3.3.б

75

I9 R9

I1

I7 a

a

E1

R1

I1

d

I2

Rа o Rc I6

R7	Rb R8

b

Рис. 4.3.3.в

	Rа	o	Rс
		Rb
	b	I6	I22
	I11
	E2	R6
		f	R5
	R2

I33

E

R3

Рис. 4.3.3.г

I4

I8

c

c I4

R4

g

I5

I3

В результате преобразований получаем эквивалентную схему с тремя независимыми контурами, представленную на рис. 4.3.3.г.

2) Задавая направления контурных токов I11, I22, I33 в схеме на рис. 4.3.3.г и запишем для них по 2-му закону Кирхгофа систему уравнений:

I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11; I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22; I11R31 + I22R32 + I33R33 = E33,

где собственные и взаимные сопротивления найдем как:

R11 = R1 + Ra + Rb + R6 + R2 = 1+1 +1+ +5+2 = 10 Ом,

R22 = R4 + Rc + Rb + R6 + R5 = 5+1+ +1+5+6 = 18 Ом,

R33 = R3 + R5 + R2 = 2 + 6 +2 = 10 Ом,

R12 = R21 = Rb + R6 = 1 + 5 = 6 Ом,

R23 = R32 = – R5 = – 6 Ом,

R31 = R13 = R2 = 2 Ом.

Определим контурные ЭДС: E11 = E1 – E2 = 6 – 12 = – 6 B, E22=0,

E33 = E – E2 = 18 – 12 = 6 B.

Тогда уравнения для контурных токов с учетом контурных ЭДС и сопротивлений:

I11 10 + I22 6 + I33 2 = – 6;

I11 6 + I22 18 – I33 6 = 0;

I11 2 – I22 6 + I33 10 = 6.

3)Решая последнюю систему уравнений любым методом элементарной или высшей алгебры, находим контурные токи: I11 = – 1,5 A, I22 = 1 A, I33 = 1,5 A.

4)Токи в ветвях эквивалентной схемы находим на основании метода или принципа наложения:

I1 = – I11 = 1,5 A, I2 = I11 + I33 = – 1,5 + 1,5 = 0, I3 = I33 = 1,5 A,

I4 = I22 = 1 A, I5 = I33 – I22 = 1,5 – 1 = 0,5 A, I6 = – I11 – I22 = 1,5 – 1 = 0,5 A.

76

5) Для расчета токов в ветвях исходного, заданного "треугольника" R7, R8, R9 вначале рассчитываем в "звезде" сопротивлений Ra, Rb, Rc падение напряже-

ния между узлами "a", "b", "c" (рис. 4.3.3.в)

Uba = I6Rb + I1Ra = 0,5 1 + 1,5 1 = 2 B,

Ucb = I4Rc – I6Rb = 1 1 – 0,5 1 = 0,5 B,

Uca = I4 Rc + I1 Ra = 1 1 + 1,5 1 = 2,5 B,

По найденным напряжениям рассчитываем токи I7, I8, I9

в "треугольнике" (рис.

4.3.3 и рис. 4.3.3.в):

I7

Uba

2

0,667 A;

I8

Ucb

0,5

0,167 A;

I9

Uca

2,5

0,834 A.

R7

3

R8

3

R9

3

6) Найдем ток I'3

в ветви с резистором R3 в исходной схеме рис. 4.3.3:

I'3 = J– I3 = 9 – 1,5 = 7,5 A.

7) Для проверки правильности расчета токов составим уравнение баланса

мощностей:

PИСТ PН P,

где

PИСТ PE PJ , здесь

PE E1I1 E2I2 6 1,5 9 Bт,

PJ UИТJ UgdJ I3R3J 7,5 2 9 135 Bт,

где UИТ Ugd I'3 R3 15 В– напряжение на зажимах генератора тока,

таким образом суммарная мощность развиваемая всеми источниками:

PИСТ PE PJ 9 135 126 Bт.

Первый генератор напряжения работает в режиме потребителя, второй генератор напряжения работает в режиме холостого хода, генератор тока работает в режиме источника.

Найдем мощность, потребляемую приемником:

PH I12 R1 I22 R2 I3 2 R3 I24 R4 I52 R5 I62 R6

I72 R7 I82 R8 I92 R9 126 Bт,

Суммарные потери мощности внутри источников в данной задаче равны нулю. Таким образом: PИСТ PH.

Баланс сошелся, что подтверждает правильность расчета токов.

4.4 Задачи для самостоятельного решения

R1	R2	R5
R3		R4
E1		E5
A3		A4

4.4.1 Найти показания амперметров в цепи, собранной по схеме

(рис. 4.4.1), если: E1=8 В, E5=12 В, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=1 Ом, R4=2 Ом, R5=3 Ом.

Рис. 4.4.1

77

	R2
	R5	R6
		R3
R1		E5
	R4	J
		Рис. 4.4.2

4.4.2 Определить токи в ветвях цепи (рис. 4.4.2) методом контурных токов. Проверить баланс мощности, если: J=1 A, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=4 Ом, R5=0,6 Ом, R6=3 Ом, E5=1 В.

R5	R5
R4
E1		E2
E3
R1		R2
Рис. 4.4.3
R4
R5	R6
E2		E3
E1
R2		R3

4.4.3 Методом контурных токов рассчитать токи в цепи (рис. 4.4.3), правильность расчета проверить с помощью баланса мощно-

стей, если: Е1=25 В, Е2=30 В, E3=20 В, R1=5 Ом, R2=5 Ом, R4=10 Ом, R5=15 Ом, R6=15 Ом.

4.4.4 Методом контурных токов рассчитать токи в цепи (рис. 4.4.4), правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если:

Е1=20 В, Е2=45 В, E3=30 В, R2=10 Ом, R3=5 Ом, R4= 15 Ом, R5=10 Ом,

R6=5 Ом.

Рис. 4.4.4

78

5 МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

5.1 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС методом узловых потенциалов

5.1.1 Пусть требуется рассчитать токи в цепи представленной на рис. 5.1.1), проверить расчет токов составлением уравнения баланса мощностей, ес-

ли: E1=8 В, E5=12 В, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=1 Ом, R4=2 Ом, R5=3 Ом.

	R1	1 I2	R2	2			R5

I1

R3

R4

E1

E5

I3

I4

I5

3

Рис. 5.1.1

РЕШЕНИЕ:

При расчете цепи методом узловых потенциалов в качестве неизвестных вводятся потенциалы узлов, при этом один из узлов выбирается как опорный (базисный), и его потенциал принимается равным нулю. Как правило, это наиболее емкий узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.

Поэтому число уравнений в решении снижается до (n–1) независимого узла.

1)Примем потенциал третьего узла равным нулю: φ3=0

2)Запишем систему уравнений по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

для узла 1: –I1 + I2 + I3 = 0;

для узла 2: – I2 + I4 + I5 = 0.

Выразим токи ветвей через потенциалы узлов, при этом учтем, что в первом уравнении основным или опорным узлом является узел 1, с потенциалом φ1, а во втором уравнении основным или опорным узлом является узел 2 с потенциалом φ2. Соответственно в первом уравнении потенциал второго узла φ2 будет вспомогательным, а во втором уравнении вспомогательным потенциалом будет φ1. Потенциал основного узла всегда положительный и умножается на сумму проводимостей всех ветвей, подключенных к этому узлу, а потенциал вспомогательного узла всегда отрицательный и умножается на сумму проводимостей между основным и вспомогательными узлами.

1 G11 2 G12							E G,
							1
	21 2 G				22 E G,
1 G
							2
где:G11 G1 G2 G3		1		1				1	1 0,5 1 2,5Cм,
				R2
		R1						R3

79

		G22 G2				G4 G5	1		1		1	0,5 0,5	1		1,33Cм,
									R4		R5
							R2					3
G11,G22 – собственные проводимости узлов 1 и 2,
G12	G21		1		1	0,5Cм– взаимная проводимость между узлами 1 и 2.
			R2
				2

В правой части основной системы уравнений указывается сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые подключены к основному или опорному узлу.

				1
	EG E1 G1		E1			8 1 8A,
				R1
	1
						1		1
	EG E5 G5 E5						12		4 A,
		2				G5	3

где E G – узловой ток.

k

Записываем систему уравнений с числовыми значениями проводимостей и узловых токов:

													1	2,5 2 0,5 8,
													1 0,5 2 1,33 4,
и решаем ее с помощью определителей:
													8	0.5
1		1											4	1,33										10,64 2			8,64	2,81 ,
								2.5						0,5										3,32 0,25			3,07
								0,5						1,33
											2,5			8
2			2									0,5		4									10 4		1,95 .
																								3,07
					3,07

3) Зная потенциалы узлов, рассчитываем токи по закону Ома:

I1 E1	1 G1				E1	1						8 2,81		5,19 A,
					R1
									1
I2 1	2 G2				1	2							2,81 1,95		2,38A,
					R2
									2
I3 1	3 G3			1			2,81				2,81A,
					R3			1

I4 3 2 G4 2 1,95 0,975 A,

R4 2

I5 E5 2	3 G5		E5 2		12 1,95	3,35A.
			R5
				3

80