ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

2.1.18 На схеме представленной на рис. 2.1.18 изображена часть электрической цепи. Величины ЭДС, токов и сопротивлений указаны на схеме. Требуется найти напряжение между точками "1" и "2" U12.

	5 A		10 В 5 Ом 2
1 1 Ом	4 Ом	b
3 A	a
2 В	3 В	4 A
	I'		I''
	Рис. 2.1.18

1 Ом

2 В

РЕШЕНИЕ:

1 3 A

5 A

Искомое напряжение U12 рассчитаем,

2 A

используя второй закон Кирхгофа, для

контура на рис. 2.1.18. Для расчета U12

4 Ом

надо найти токи в резисторах с сопро-

тивлением 4 и 5 Ом. Определив их по

U12

первому закону Кирхгофа:

3 В

Для узла "а": + 3 – 5 + I' = 0, откуда

I' = 2 А.

5 Ом

2

2 A

Для узла "b": –I '+ 4 – I'' = 0, откуда

I'' = 2 А.

10 В

4 A

Рис. 2.1.18

Теперь для определения U12 составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа; для чего выразим потенциал точки "2" через потенциал точки "1":

2 = 1 – 3(А)·1(Ом) – 2(В) + 2(А)·4(Ом) + 3(В) – 10(В) – 2(А)·5(Ом), откуда

U12 = 1 – 2 = 3·1 + 2 – 2·4 – 3 + 10 + 2·5 = 14 В.

2.1.19 В цепи представленной на рис. 2.1.19 рассчитать все токи и напряжения. Найти отношение напряжения на выходе Uвых к напряжению на входе

Uвх при Uвх = 160 В, R1 = 5 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 15 Ом, R4 =16 Ом, R5=10 Ом, R6 = 30 Ом, R7 = 10 Ом, R8 = 6 Ом.

41

a

d

I2

R2

R6

I6

I4

R4

Uвх

R1

R7

b

c

I1

R3

R5

I5

R8

e

I

РЕШЕНИЕ:

Резисторы R1 и R3 соединены между собой последовательно:

R13=R1+ R3 =5+15 = 20 Ом,

Последовательно соединены и резисторы R6 и R7: R67=R6+ R7 =30+10 = 40 Ом.

Uвых С учетом отмеченного, исходную схему можно преобразовать к виду на рис. 2.1.19.а.

Рис. 2.1.19

Здесь R2 и R13, R67 и R5 включены параллельно, а с резисторами R4 и R8 параллельные ветви включены последовательно, поэтому входное сопротивление найдем как:

Rвх	R2 R13		R67 R5	R4	R8		20 20		40 10	16 6 40 Oм.
	R2 R13		R67 R5				20 20
									40 10

Рассчитаем токи и напряжения в соответствии с указанными на схеме узлами и обозначенными токами:

I2

R2

I6

R67

I

I

R4

a

4

c

e

b

Uвх

I1

R13

I

R8

I5

R5

Рис. 2.1.19.а

Uвх

160

R2

20

I4

I

4 А, I1

I

4

2 A, I2 I I1 4 2 2 A,

Rвх

R2 R13

40

40

Uab U2 U13 I2 R2 I1 R13 2 20 40 В, U1 I1 R1 2 5 10 В, U3 I1 R3 2 15 30 В, U4 I4 R4 IR4 4 16 64 В,

I5	I	R67	4	40	3,2 A,	I6 I I5 4 3,2 0,8A,
		R67 R5
				40 10

42

Uce U5

I5 R5

3,2 10 32 B, U6

I6 R6 0,8 10 8B,

Uвых I6 R7

0,8 30 24 B, U8

IR8 4 6 24 B.

Тогда отношение Uвых/Uвх = 0,05.

2.1.20 Определить показание амперметра в цепи, представленной на рис.

2.1.20, и направление тока в нем, если ЭДС источника E = 15 В, его внутреннее

сопротивление Rо=1 Ом, Rab = 2 Ом, Rbc = 3 Ом, Rca = 5 Ом, Rcd = 4 Ом.

Rac

РЕШЕНИЕ:

A

Решаем задачу методом трансфигура-

ции, так как в этой цепи имеются соеди-

Rab

b

Rbc

нения "треугольником" и "звездой": со-

a

c

противления Rab, Rbc, Rca образуют "тре-

угольник". Сопротивления Rad, Rab, Rca,

Rad

E, R0

Rcd

соединенные в узле "а", и сопротивления

Rcd, Rbc, Rca, соединенные в узле "с", об-

разуют соединения "звездой" (рис.

d

2.1.20.а). Преобразуем треугольник со-

Рис. 2.1.20

противлений Rab, Rbc, Rca в эквивалент-

ную звезду (Ra, Rb, Rc), пользуясь фор-

Rca

мулами преобразования:

a

c

Rab Rbc Rca R 2 3 5 10Ом,

Ra

Rc

Ra

Rab Rca

2 5

o

Rab Rbc Rca 10 1Ом,

Rab Rbc

2 3

0,6Ом,

Rb

I1

Rab

Rb

Rbc

I2

R

10

Rca Rbc

5 3

1,5Ом.

Rc

Rad

b

Rcd

R

10

Заменив "треугольник" на "звезду" по-

E, R0

лучим,

что в ветви с источником ЭДС

будет последовательно включены R0 и

I0

Rab, а с ветвью, содержащей источник,

d

будут параллельно соединяться Ra + Rad

и Rc + Rcd, тогда сопротивление всей це-

Рис. 2.1.20.а

пи:

(Ra Rad)(Rc

Rcd)

(1 2) (1,5 4)

R R0 Rb

1 0,6

3,54 Ом.

Ra Rad Rc Rcd

1 2 4 1,5

Ток в генераторе I0:

E

15 4,24 A.

I

0

R

3,54

43

Ток I1:

I1 I0	Rс Ra	4,24	5,5	2,74 A.
	Ra R1 Rc R2		8,5

Ток I2:

I2 I0 I1 4,24 2,74 1,5A.

Для определения величины и направления тока в амперметре (ветвь с резистором Rас), необходимо найти напряжение между точками "c" и "a". Для этого: рассчитываем падение напряжения на резисторах Ra и Rc:

Uao I1 Ra 2,74 1 2,74B,

Uco I2 Rc 1,5 1,5 2,25B.

Врезультате получим что, потенциал точки "а" меньше потенциала точки "0" на 2,25 В, а потенциал точки "с" меньше потенциала точки "0" на 2,74 В, следовательно, потенциал точки "с" больше потенциала точки "а" на:

Uса = Uco – Uao = –2,25 – (–2,74) = 0,49 В.

Возвращаясь к исходной схеме, найдем ток в амперметре:

Ia Uca 0,49 0,098 A. Rca 5

При этом ток в ветви и амперметре направлен справа налево.

2.1.21 Найти ЭДС E источника в цепи представленной на рис. 2.1.21, если амперметр показывает ток IA=0,125 А. Сопротивление амперметра исчезающее мало, а сопротивления резисторов имеют следующие значения: R=0,4 Ом, R1=16 Ом, R2=24 Ом, R3=24 Ом, R4=40 Ом.

IA

A

R1

R2

c

I1 a I2

d

I

R3

E

R4

R

I3

I4

Рис. 2.1.21

РЕШЕНИЕ:

Зададим направления токов в ветвях и отметим, что такое включение амперметра ("в узле") определяет параллельное соединение резисторов R1 с R2 и R3 с R4. Ток в амперметре направим произвольно. Отметим, что данную задачу можно решить двумя способами.

1 способ:

Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнения токов для узлов "c" и "d":

узел "c": IA = I3 – I1; узел "d": IA = I2 – I4.

Найдем связь между токами I1, I3 и ЭДС E (или между токами I2, I4 и E). Для этого представим цепь в более удобном виде рис. 2.1.21.а.

44

				I1		R1
		I a				R2
				I2
		E
						R3
				I3
		R
		b		I4		R4

Для нахождения выражений токов I1 и I3, рассчитаем цепь: из анализа упрощенной c схемы следует, что резисторы R1 и R2, а

d

также R3 и R4 включены параллельно, а между собой параллельные ветви включены последовательно, что позволяет достаточно просто определить эквивалентное сопротивление схемы (Rэкв):

R12

R1 R2

16 24

9,6Oм,

c

R1 R2

16 24

d

R34

R3 R4

40 24

15Oм,

R3 R4

40 24

Рис. 2.1.21.а

Rэ R R12 R34 0,4 9,6 15 25Ом,

Тогда ток источника ЭДС: I E E , а токи в отдельных ветвях найдем, как:

Rэ

25

I1

I

R2

E

24

3

E,

I3

I

R4

E

40

E

.

R1 R2

25

R3 R4

25 40

25 64 40

Представим эти выражения в первый закон Кирхгофа для узла "с":

		E			3E			1		3					25 24
	0,125						E							E		,
		40		125				40		125					1000

отсюда E=125 В.

2 способ:

Зададим произвольное значение ЭДС E и рассчитаем ток в амперметре. Так как цепь линейная, то истинное значение ЭДС будет относится к выбранному так, как известное значение тока в амперметре к полученному в расчете.

Предположим, что E=100 В, тогда:

	I	E				100	4 A,
		Rэ
				25
	I1 I				R2			4			24	2,4 A,
			R1 R2							16 24
	I3 I				R4				4		40		2,5A,
				R3 R4							40 24

IA I3 I4 2,5 2,4 0,1A,

E 0,125, 100 0,1

отсюда E=125 В.

45

2.1.22 Источник постоянной ЭДС E=120 В с внутренним сопротивлением R0=400 Ом замкнут на нагрузку с сопротивлением R=600 Ом. Затем генератор напряжения заменен на эквивалентный генератор тока. Требуется определить мощность, расходуемую в нагрузке, и мощности, развиваемые генераторами напряжения и тока при одной и той же нагрузке. Определить коэффициент полезного действия (КПД) генератора напряжения и КПД генератора тока.

E

I

U

R

R0

Рис. 2.1.22

J

I

I0

J Uит

R0 R

Рис. 2.1.22.а

РЕШЕНИЕ:

Эквивалентность генератора напряжения и генератора тока будет определяться одинаковым током в нагрузке и одинаковой мощностью, потребляемой нагрузкой. При этом мощности, развиваемые эквивалентными генераторами напряжения и тока потери мощности на их внутренних сопротивлениях различны.

В случае генератора напряжения (рис. 2.1.22) его ток найдем как:

I	E		120	0,12,A.
	R R0		600 400
Мощность, расходуемая в нагрузке – Pн:
P	I2 R 0,122 600 8,64Вт.
н

Мощность, развиваемая источником напряжения –

PE:

PE EI 120 0,12 14,4 Вт.

В случае генератора тока (рис. 2.1.22.а)

		J	E			120	0,3 A.
			R0
					400
Напряжение на зажимах генератора Uит:
U	ит J	RR0			0,3		600 400	72 B.
		R R0					600 400

Мощность, расходуемая в нагрузке – Pн: Pн U2 722 8,64Вт. R 600

Мощность, развиваемая генератором тока – PJ: PJ Uит J 72 0,3 21,6Вт.

КПД генератора напряжения ( E ) и генератора тока ( J ):

PH

I2R

R

600

0,6,

E

PE

I2 R R2

R R0

600 400

PH

U2

J

RR0

R0

400

R R0

R

0,4.

J

PJ

UJ

JR

R R0

600 400

46

2.1.23 Используя законы Ома и Кирхгофа определить токи в ветвях и показание вольтметра, если: R1 = 5 Ом, R2 = 7 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 4 Ом,

R5 = R5 =12 Ом, а ток амперметра IA = 1 А.

		V	IV = 0
R2	I2	1	R4	I	2
				4
			I1	2	I6 = IA
R3			E	R5	R6
	I2		R1	I5	A
		3	Рис. 2.1.23	3

РЕШЕНИЕ: 1)Зададим направление токов в ветвях, так чтобы они совпадали по направлению с направлением ЭДС источника. 2) Зная ток амперметра, найдем напряжение U23 между узлами "2" и "3". U23 I6 R6 1 12 12В,

Тогда ток в параллельной ветви: I5 U23 12 1 А. R5 12

На основании первого закона Кирхгофа находим ток I4 :

I4 I5 I6 1 1 2 А.

По второму закону Кирхгофа найдем напряжение U13: U13 I4 R4 I5 R5 2 4 12 20В.

По закону Ома находим ток I2 : I2		U13		20	2А.
		R2 R3
				7 3

По первому закону Кирхгофа для узла 1 находим ток I1:

I1 I2 I4 2 2 4А.

Обходя контур, "1–2–3–1" найдем значение E по второму закону Кирхгофа: E I1 R1 I4 R4 I5 R5 5 4 2 4 1 12 40В.

Проверим правильность расчета с помощью баланса мощностей:

EI1 I12 R1 I22 (R2 R3) I24 R4 I52 R5 I62 R6

40 4 42 5 22 10 22 4 12 12 12 12 160 160 Вт.

Баланс сошелся, значит ЭДС и токи в ветвях найдены верно. Показания вольтметра найдем по второму закону Кирхгофа:

UV I2 R3 I4 R4 2 7 2 4 14 8 6 В.

2.1.24 Определить токи в цепи, питаемой источником тока, в схеме, представленной на рис. 2.1.24. Ток, создаваемый источником тока J=120 мА, сопротивления резисторов: R1=10 кОм, R2=20 кОм, R3=3 кОм, R4=0,5 кОм, R5=2 кОм, R6=1,5 кОм, R7=1 кОм. Внутреннюю проводимость источника считать равной нулю.

47

a	I	4	R4	c	I	5	R5

J	R1	R2
I1	I6 R6	I2 R7
	b	d

РЕШЕНИЕ:

Задачу можно решить двумя способами: методом "свертки" цепи или заменой источника тока на источник ЭДС

R3

1 способ:

Находим эквивалентное сопротивление всей цепи:

Рис. 2.1.24

[

R

2 (R

5 R3

R7)

R4

R6]R1

12 (2 3 1)

[

0,5 1,5] 10

R2 R5 R

3 R7

'

12 2 3 1

Rэкв

3,75кОм,

R2

(R5

R3 R7)

12 (2 3 1)

R4

R6 R1

0,5 1,5 10

12 2 3 1

R2 R5 R3 R7

Напряжение на зажимах генератора тока: Uab JRэкв 120 3,75 450 B,

(если ток измеряется в мА, сопротивление в кОм, то напряжение будет измеряться в В).

Ток в резисторе R1: I1 Uab 450 45мА, R1 10

Токи в резисторах R4 и R6 (I4=I6):

I4 = I6 = J– I1 = 120 – 45 = 75 мА.

Остальные токи определяем по известным соотношениям:

I3 I4	R2	75	12		50мА,
	R2 R5 R3 R7		12 3 2 1

I3 I4 I3 75 50 25мА.

a R4 I4 I3 R5

c

Е I2

R2

R0

R6 R7

b d

Рис. 2.1.24.а

2 способ:

Источник тока с шунтирующим его резистором R1 заменяем источником ЭДС. ЭДС такого источника:

R3 E = JR1 = 0,12 10000=1200 В, а его

внутреннее сопротивление Rо:

R0 = R1 = 10 кОм

Изобразим цепь с источником ЭДС (рис. 2.1.24.а). Сопротивление относительно зажимов "a" и "b":

R'экв R4	R6		R2 (R5 R3 R7)	0,5 1,5	12 (2 3 1)	6 кОм,
			R2 R5 R3 R7
					12 2 3 1

Тогда ток в ветви с ЭДС будет равен току в резисторах R4 и R6:

48

I4	E		1200	75мА.
	R0 Rэкв'		10 6

Расчет токов I2 и I3 аналогичен 1-му способу расчета схемы.

2.1.25 Источник тока создает в цепи, представленной на рис. 2.1.25 ток J=10 мА. Внутренняя проводимость источника G0=0,01·10–3 Cм. Требуется определить токи в цепи, если: R1=20 кОм, R2=12 кОм, R3=10 кОм, R4=20 кОм, R5=16 кОм.

J

a

Iн

I3

R3

РЕШЕНИЕ:

Задачу можно решить, применив

I1

преобразование "звезды" соеди-

I0

R1

нений R3, R4, R5

в эквивалент-

ный "треугольник" R34, R45, R56.

I4

R4

Преобразованная

схема пред-

c

ставлена на рис. 2.1.25.а.

J

G0

R34 R3 R4

R3 R4

R2

I5

R5

10 20

R5

10 20

42,5 кОм,

b

Рис. 2.1.25

16

R4R5

16 20

R45 R4 R5

16 20

68кОм,

R3

10

R53 R5

R3

R3R5

16 10

16 10

34 кОм.

R4

20

Зададим ток в нагрузке Iн и ток Iо в ветви с внутренней проводимостью Gо. Найдем эквивалентное сопротивление параллельно соединенных резисторов R1 и R34:

R'	R1 R34			20 42,5			13,6 кОм,
	R1 R34
				20 42,5
и аналогично для R2 и R45:
R''		R2 R45				12 68		10,2кОм.
		R2 R45
					12 68

После чего схема примет вид, представленный на рис. 2.1.25.б. Определим общее сопротивление последовательно соединенных резисто-

ров R' и R'':

R''' = R' + R'' = 13,6 + 10,2 = 23,8 кОм,

и эквивалентное сопротивление всей цепи, подключенной к зажимам "a" и "b"

	источника тока: Rэкв	R'''R53		23,8 34	14кОм,
		R''' R53		23,8 34

49

J	a	I	I1
		н
	I0		R1
J	G0		c
			I2
			R2
	b	Рис. 2.1.25.а
J	a	Iн
			I'''1
	I0		R'
J	G0		c

R'

Перейдем

к

проводимости:

Gэ=

1

1

0,0714 10 3 См

Rэ

R34

14 103

и

упростим

схему

R53

(рис.2.1.25.в).

Определим токи в нагрузке Iн

и

R45

ток отбора в источнике тока Iо:

I

н

J

Gэ

10

0,0714

G0 Gэ

0,0714 0,01

8,78мА,

I0 = J – Iн = 10 – 8,78 = 1,22 мА.

Найдем напряжение на зажимах источника тока "a" и "b" Uab:

Iн

I0

1

8,78

Uab

J

122В

Gэ

G0

G0

Gэ

0,0714

R53 Ток I'''в ветви "a–c–b" с R'''= R' + R'':

Uab

122

3

I

R

23,8 103 5,12 10

A

b

5,12мА.

Рис. 2.1.25.б

a

Токи I1 и I2

рассчитаем по схеме на рис. 2.1.25.а:

I

Uaс

I'''R'

I'''

R34

5,12

42,5

3,48мА;

J

Iн

R1 R34

1

R1

R1

20 42,5

I0

I2

Uсb

I'''R''

I'''

R45

J

G0

Gэ

R2

R2

R2 R45

68 103

5,12 10 3

4,35мА.

12 103

68 103

b

Токи I3, I4, I5 рассчитаем по схеме рис. 2.1.25, ис-

Рис. 2.1.25.в

пользуя первый закон Кирхгофа:

I3 = Iн– I1=8,78 – 3,48 = 5,3 мА;

I4 = I2 – I1 = 4,35 – 3,48 = 0,87 мА;

I5 = Iн – I2 = 8,78 – 4,35 = 4,43 мА.

50