ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

2.2Задачи для самостоятельного решения

2.2.1Найти эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов 1

и1', при разомкнутом и замкнутом рубильнике.

R R K

R	K
	R
	R
1	1'
	Рис. 2.2.1.a

1

3R	R
	K
3R	R

1'

Рис. 2.2.1.в

1

K

3R	3R	3R
		Рис. 2.2.1.д

R	2R
R	R
	2R

1	Рис. 2.2.1.б	1'
1	K
	2R
	2R
	R	R
1'
	Рис. 2.2.1.г

1'

1

1'

R R

3R

K

2R 2R

Рис. 2.2.1.е

51

1

2 R1

E, R0

R4

3

4

2.2.2 Вычислить экви-

R3

R4

5

валентное

сопротив-

ление

цепи

представ-

R2

R5

ленной

на

рис. 2.2.2

относительно зажимов

R6

6

1–2, 2–3,

3–4, 4–5, 3–

6, 2–5, если цепь со-

7

стоит из семи одина-

Рис. 2.2.2

ковых

резисторов с

сопротивлением:

R1=R2=R3=R4=R5=

=R6=R7=1Ом.

R1

2.2.3 Найти ЭДС E источника в цепи представ-

ленной на рис. 2.2.3, если амперметр показывает

R2

ток IA=0,2 А. Сопротивлением амперметра мож-

но пренебречь. Внутреннее сопротивление ис-

точника ЭДС R0=1 Ом, сопротивления резисто-

R3

ров: R1=50 Ом, R2=60 Ом, R3=40 Ом, R4=50 Ом.

A

Рис. 2.2.3

R5

2.2.4 Для схемы на рис. 2.2.4 определить по-

R1 E

казания амперметров А1 и А2, если амперметр

R2

А3 показывает ток I=12 мА. Сопротивлением

амперметров следует пренебречь. Сопротив-

A1

A2

ления резисторов: R1=3 кОм, R2=6 кОм, R3=3

R4

R3

кОм, R4=6 кОм, R5 – неизвестно.

A3

Рис. 2.2.4

2.2.5Для схемы на рис. 2.2.3, в задаче 2.2.3 определить мощности потребителей и источников, если сопротивления приемников равны между собой и равны: R=400 Ом, а внутреннее сопротивление источника R0=600 Ом.

2.2.6Определить напряжение U12 для схем представленных на рис. 2.2.6.а

–2.2.6.е.

52

1 4 Ом 15 В	3 А
	5 Ом 15 В	3 А

2 А

3 Ом

Рис. 2.2.6.а					2
	3 А

1	5 Ом	15 В	3 Ом		11 В 4 Ом	2
	1 А		Рис. 2.2.6.б
1	6 Ом	8 В	4 А	5 В	2 А	2
			2 Ом		4 Ом
	3 А		Рис. 2.2.6.в
	3 Ом 4 В		2 А		4 А
1			2 Ом 8 В		6 Ом 2
1 А
			Рис. 2.2.6.г
	2 Ом 6 В		4 А	5 В	3 А
1			4 Ом		3 Ом 2
	2 А
			Рис. 2.2.6.д
		8 В	1 А	17 В	4 А
1	2 Ом		1 Ом		3 Ом	2
2 А
			Рис. 2.2.6.е

53

			I2	R2	2.2.7 Что произойдет с показаниями
	R1=0			A
I1		2		3	амперметра в задаче 2.1.9, если уве-
				R3	личивать сопротивление R3 при
E					R1 = 0?
			Рис. 2.2.7
R1			R2	2.2.8 Найти показания амперметра в схеме пред-
	A			ставленной на рис. 2.2.8 для случая, когда внутрен-
				нее сопротивление источника ЭДС Rо=5 Ом
R4			R3
	E, R0		I
	Рис. 2.2.8

54

3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА. МЕТОД РАСЧЕТА, ОСНОВАННЫЙ НА ЗАКОНАХ КИРХГОФА

3.1 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС

3.1.1 Для схемы, представленной на рис. 3.1.1, определить токи в ветвях, напряжение на резисторе R3, мощность источников, мощность, потребляемую резисторами и мощность, теряемую на внутренних сопротивлениях источников ЭДС, если: E1=120 В, E2=100 В, R01=1 Ом, R02=0,5 Ом, R1=5 Ом, R2=3,5 Ом, R3=12 Ом.

E1

a

E2

	R1 I1	РЕШЕНИЕ:
		1) Зададим направление токов во всех ветвях;

2)Для определения 3-х неизвестных токов не-

Ιобходимо составить три уравнения. Так как в

			цепи два узла (n=2), то составляем одно уравне-
R3	I3		ние по 1-му закону Кирхгофа (n–1), и два урав-
			нения по 2-му закону Кирхгофа для 2-х незави-
		b	симых контуров.
			Согласно первому закону Кирхгофа для узла

ΙΙ"b": – I1 – I2 + I3= 0.

	R2		I2	Для составления уравнений по 2-му закону
				Кирхгофа выберем контуры обхода и отметим
				стрелками направление обхода первого и второ-
Рис. 3.1.1				го контура.

В контуре I направление обхода совпадает с направлением токов I1 и I3 и с направлением ЭДС E1, поэтому уравнение в правой и левой части содержит слагаемые со знаком "+":

I1 (R1 + R01) + I3R3 = E1.

Аналогично в контуре II направление обхода совпадает с направлениями

токов I2 и I3 и ЭДС E2, поэтому I2 (R2 + R02) + I3 R3 = E2.

3) Система уравнений для расчета токов будет иметь вид:

I1 I2 I3 0

I1 I2 I3 0

I

R

2

R

01

I

3

R

3

E

1

или

I

6 I

3

12 120

1

1

R2

R02

I3R3

E2

4 I3

12 100

I2

I2

Решаем систему уравнений способом подстановки: для этого из уравнения составленного по первому закону Кирхгофа найдем ток I3:

I3 = I1 + I2 и подставим его во второе уравнение:

I1 6 + (I1 + I2) 12 = 120.

Раскрывая скобки и группируя составляющие получим:

I1 18 + I2 12 = 120, откуда I2 = 10 – 1,5 I1.

55

Вычтем из второго уравнения системы третье уравнение и подставим в

полученную разность I2: 12 I1=60, откуда I1 = 5 A, тогда I2 = 2,5 A, I3 = 7,5 A,
4)	Определим напряжение на резисторе R3: UR3 = I3R3 = 7,5 12=90 В.
5)	Найдем мощности, развиваемые источниками ЭДС – Pист:

Pист = PE1 + PE2 = E1I1 + E2I2 = 120 5 + 100 2,5 = 850 Вт.

6) Рассчитаем мощность, потребляемую резисторами – Pн:

Pн P1 P2 P3 I12R1 I22R2 I32R3 52 5 2,52 3,5 7,52 12

125 21,875 675 821,875 Вт.

7) Найдем мощность, теряемая на внутренних сопротивлениях источников ЭДС P:

P I22R02 I12R01 2,52 0,5 52 1 3,125 25 28,125 Вт.

8) Для проверки истинности расчета схемы составим уравнение баланса мощности:

Pист Pн P,

850 = 821,875 + 28,125=850 Вт.

Баланс сошелся, следовательно, схема рассчитана, верно.

3.1.2 Определить токи во всех ветвях цепи представленной на рис. 3.1.2,

если: E4=20 В, E5=16 В, R04=1 Ом, R05=1 Ом, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=4

Ом, R5=5 Ом, R6=6 Ом.

РЕШЕНИЕ:

R1

a I2

R2

b

R3

При расчете схемы воспользуемся

обобщением 1-го закона Кирхгофа

I4

I5

для части цепи. Так для части цепи,

отмеченной

штриховой линией на

R4

R5

рис. 3.1.2, алгебраическая сумма то-

ков, сходящихся в этой части, долж-

E4,

E5,

на быть равна нулю, из чего следует,

что I2=I6.

Поэтому схему на рис.

R04

R05

3.1.2. для расчета токов заменим

I1

I6

R6

I3

схемой рис. 3.1.2.а. Сопротивление

R26 = R2 + R6.

c

d

Схема замещения на рис 3.1.2.а со-

Рис. 3.1.2

держит три узла, так как между уз-

лами "c" и "d" нет разности потен-

циалов, и они сливаются в один

узел "cd".

В схеме замещения пять ветвей, следовательно, будет пять неизвестных токов. Для расчета следует составить пять уравнений: два по первому закону Кирхгофа и три по второму закону. Направления обхода независимых контуров показаны на схеме.

56

R1

a I2

R2

b

R3

I1 + I2 – I4 = 0;

(узел "а")

– I2 + I3 – I5 = 0; (узел "в")

I4

I5

I1R1 + I4 (R4 + R04) = E4 (контур I)

I2R26 + I4 (R4 + R04) – I5 (R5 +R05) = E4– E5

Ι

R4

R5

(контур II)

ΙΙ

ΙΙΙ

I3R3 + I5 (R5 + R05) = E5 (контур III)

Решая эту систему уравнений любым

E4,

E5,

методом элементарной или высшей ал-

гебры, определяем токи в ветвях:

R04

R05

I1 = 3,49 A, I2 = – 1,65 A, I3 = 1,65 A,

I3

I1

I4 = 3,3 A, I5 = 1,84 A.

Так как ток I2 получился с отрицатель-

c

d

ным знаком, то это значит, что направ-

Рис. 3.1.2.а

ление тока I2

имеет направление, про-

тивоположное выбранному.

3.1.3 Для расчета токов в цепи представленной на рис. 3.1.3 составить систему уравнений по законам Кирхгофа.

E1

E5

РЕШЕНИЕ:

c

1) Произвольно направим токи в

ветвях.

I2

I1

I4

2) Всего в цепи пять ветвей, следова-

тельно, система будет состоять из 5

ΙΙΙ

R1

Ι

E2

R4

R5

уравнений: в цепи 3 узла, значит, по

первому закону Кирхгофа составим

ΙΙ

два уравнения (выбираем узлы, где

R2

I5

сходится наименьшее число ветвей),

I3

R3

и три уравнения по второму закону

a

b

Кирхгофа для наиболее простых не-

зависимых контуров. Стрелками

Рис. 3.1.3	обозначим направления обхода кон-
	туров I, II, III.

Тогда по первому закону Кирхгофа для узлов "a" и "b" получим: I1 – I2 – I3 = 0 (узел "а");

I3 + I4 – I5 = 0 (узел "b"),

а по второму закону Кирхгофа: I1 (R1 + R01) + I2R2 = E1 + E2 (контур I);

I2R2 – I3R3 + I4R4 = E2	(контур II);
I4 R4 + I5 R5 = E5	(контур III).

57

3.2 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока

3.2.1 Электрическая цепь, представленная на рис. 3.2.1 содержит два источника тока. Требуется определить напряжения на зажимах каждого источника, если их токи соответственно равны: J1=20 мА и J2=10 мА, а сопротивления резисторов: R1=5 кОм, R3=4 кОм, R4=6 кОм, R5=2 кОм, R6=4 кОм.

UИТ1

R1

РЕШЕНИЕ:

В заданной схеме 6 ветвей (m) и 4 узла (n)

которые образуют 3 независимых контура.

J1

Произвольно выберем положительные на-

R3

c

R4

правления токов в ветвях и составим три

a

b

уравнения по первому закону Кирхгофа

(n–1). Так как в схеме три независимых

I3

I4

контура и два источника тока в разных

R5

J2

UИТ2

R6

ветвях, то здесь можно составить только

одно уравнение по второму закону Кирх-

I5

I6

гофа для контура, не содержащего источ-

ников тока. Это связано с тем, что напря-

d

жения на зажимах источников тока неиз-

Рис. 3.2.1

вестны. Тогда:

J1 + I3 + I5 = 0 (узел "а");

–J1 + I4 + I6 = 0 (узел "b");

–J2 – I3 – I4 = 0 (узел "с");

+I3 R3– I4 R4 – I5 R5 + I6 R6 = 0 (контур "a – c – b – d – a").

Подставляя числовые данные в систему, получим:

20 I3 I5 0

20 I4 I6 0

10 I3 I4 0

4 I3 6 I4 2 I5 4 I6 0.

Для решения системы составим определители последней системы " " и

" 1":

	1	0	1	0			20	0	1	0
	0	1	0	1	;	1	20	1	0	1	.
	1	1	0	0			10 1		0	0
	4	6	2 4				0	6	2 4
						.

Найдем, например, ток I3:

58

I3 1 13,75мA.

Аналогично рассчитываем остальные токи: I4 = 3,75 мА, I5 = – 6,25 мА, I6

= 16,25 мА.

Знак "–" у токов I3 и I5 говорит о том, что истинные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

Для определения напряжений на зажимах источников тока составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров, в которые включены эти источники, например, для контура "a – b – c – a" получим:

UИТ1 +J1R1 – I3R3+ I4R4 = 0;

UИТ1 = J1R1 – I3R3+ I4R4 = 20 5 + 13,75 6+3,75 4 = 177,5 В,

а для контура "d – c – a – d":

– UИТ2 – I3R3 + I5R5 = 0;

UИТ2 = –I3R3 + I5R5 = 13,75 4 – 6,25 2 = 42,5 В

3.2.2 Электрическая цепь, представленная на рис. 3.2.2 содержит два источника тока. Требуется определить токи в ветвях, а правильность расчета проверить составлением уравнения баланса мощностей, если: J1=2 А, J2=4 А, R1=10

Ом, R2=20 Ом, R3=10 Ом, R4=30 Ом, R5=20 Ом, R6=30 Ом.

UИТ1

РЕШЕНИЕ:

направление токов в

1

Произвольно задаем

ветвях. Т.к. в схеме 4 узла, то необходимо

I4

J1

I6

составить (n–1) – три уравнения по 1-му за-

R4

R1

кону Кирхгофа. В схеме имеется три незави-

R3

симых контура и два источника тока, в силу

R6

2

I3

3

чего составляем одно уравнение по 2-му за-

кону Кирхгофа для контура, не содержащего

R5

R2

источника тока:

По 1-му закону Кирхгофа:

I5

J2

для узла1: J1 I4 I6 0

4

для узла 2:

I4

I5

0

I3

UИТ2

для узла 3:

J2

I3

0,

J1

Рис. 3.2.2

Откуда выражаем токи:

I6 J1 I4; I5 I3 I4; I3 J1 J2 6 A.

По второму закону Кирхгофа:

I5 R5 I6 R6 I4 R4 0,откуда заменяя токиI5 и I6 ,получим: R5 (I3 I4) R6 (J1 I4) R4 I4 0.

Подставляя числовые данные, получаем систему:

180

20 (6 I4) 30 (2 I4) 30 I4 0, отсюда I4 80 2,25 А, I5 I3 I4 3,75 А, I6 J1 I4 J1 J2 I4 0,25 А.

59

Найдем напряжение на зажимах источников тока: UИТ1 I4R4 I3R3 J1R1 147,5B,

UИТ2 I5R5 I3R3 J2R2 215B.

Составим уравнение баланса мощностей:

1)мощности источников: PИСТ = UИТ1 J1 + UИТ2 J2 = 1155 Вт,

2)мощности, потребляемые приемниками (нагрузкой):

PН = J12R1 + J22R2 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 1155 Вт.

Баланс сошелся, задача решена верно.

3.3 Примеры расчета электрических цепей при совместной работе источников ЭДС и источников тока

3.3.1 В цепи постоянного тока, представленной на рис. 3.3.1 известны параметры всех элементов: R1=25 Ом, R2=20 Ом, R3=20 Ом, R4=30 Ом, R5=10 Ом, R6=10 Ом, E2=200 В, J=10 А. Требуется определить токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей.

		R1	a						R4
									E2
	J	UИТ
							I2			I4
								R2
	I5	R5							R6	I6

d c R3 b I3

Рис. 3.3.1

РЕШЕНИЕ:

В схеме 6 ветвей, но фактически неизвестными будут 5 токов, так как в ветви с источником тока ток будет численно равен току источника тока. Произвольно задаем положительные направления токов в ветвях и составляем три уравнения по 1-му закону Кирхгофа. Так как в схеме имеется три независимых контура и один источника тока, составляем два уравнения по 2-му закону Кирхгофа для контуров, не содержащих источники тока:

для узла "а": J – I2 – I4 = 0; для узла "b": I2– I5 + I6 = 0;

I2R2 – I4R4 + I6R6 = Е2– (контур "a–b–с–a")

–I3R3 + I5R5+ I6R6= 0– (контур "d–b–с–d")

Подставляя числовые данные, получаем систему вида: I2 + I4 = 10, I2– I5 + I6 = 0, I3 – I4 + I6 = 0,

I2 20– I4 30+ I6 10= Е2, –I3 20+ I5 10+ I6 10= 0.

Решая приведенную систему уравнений, определяем токи в ветвях.

При использовании ЭВМ целесообразно использовать матричную форму записи законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа в матричной форме: [A][Ik] = 0. Второй закон Кирхгофа в матричной форме: [В][Uk] = 0,

где [A] – матрица узловых соединений; [Ik] – матрица-столбец токов ветвей, учитывающая наличие источников тока; [В] – матрица контуров; [Uk] – матри-

60