ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

2 способ:

Преобразуем "звезду" R1, R2, R5 (рис. 2.1.6.а) в

а

эквивалентный "треугольник" (Rab, Rbc, Rca),

Rca

представленный на рис. 2.1.6.в:

c

Rab R1

R2

R1 R2

40 20

40

20

d

Rab

R5

50

76 Oм,

Rcb

R2 R5

20

50

b

Rbc R2

R5

20 50

R1

20

95Oм,

Рис. 2.1.6.в

R1 R5

40 50

Rca R1

R5

40 50

a

R2

20

190Oм.

R3

Rca

После преобразования схема, представленная

на рис. 2.1.6.а принимает вид рис. 2.1.6.г. Ре-

c

Rba

зисторы R3 и Rca соединены параллельно, их

R4

Rbc

общее сопротивление R':

R

R3 Rca

10 190

9,5Oм,

R3 Rca

10 190

b

Рис. 2.1.6.г

Резисторы R4 и Rbc так же включены параллельно, их общее сопротивление R'':

	R	R4 Rbc		30 95	22,8Oм,
		R4 Rbc		30 95

Между собой R' и R'' соединены последовательно. Тогда входное сопротивление цепи

Rвх:

Rвх (R R )Rab (9,5 22,8) 76 22,7 Oм,

R R Rab

9,5 22,8 76

Можно рассчитать входное сопротивление цепи сразу после преобразования "треугольника" в "звезду":

		(	R3 Rca					R4 Rbc			)Rab		(		10 190					30 95		) 76
			R3 Rca					R4
Rвх									Rbc				10			190				30 95			22,7 Oм.
			R3 Rca					R4					10			190				30 95
									Rbc
										Rab												76
		R3 Rca					R4 Rbc						10 190
																			30 95

2 вариант решения несколько сложнее, поэтому в подобных схемах следует проанализировать все возможные преобразования и отдать предпочтение более простому решению.

31

2.1.7 Пусть требуется определить эквивалентное сопротивление цепи,
представленной на рис. 2.1.7 относительно зажимов "a" и "b", если: R1=15 Ом,
R2=20 Ом, R3=60 Ом, R4=50 Ом, R5=20 Ом, R6=4 Ом, R7=80 Ом, R8=15 Ом.
	R3	b	РЕШЕНИЕ:
			В заданной цепи имеются соединения рези-
R2			сторов "треугольником" и "звездой". Напри-
	c	R8	мер, резисторы R1, R2, R3 и R4, R5, R6
d			образуют две "звезды", а резисторы R1, R2,
			R7 или R2, R3, R8 или R4, R5, R7	или R5, R6, R8
R1		R6	–соединения "треугольником".
			Решим задачу, используя преобразования
		R5
R7	c		двух отмеченных соединений	"звездой" в
		e	"треугольник". Для этого заменяем "звезду"
а	R4		R1, R2, R3 "треугольником" R12, R23, R31 и
			звезду R4, R5, R6 "треугольником" R45, R56,
Рис. 2.1.7			R64 и рассчитываем сопротивления "тре-
			угольников" (рис. 2.1.7.а):
	R31		R12 R1 R2 R1 R2 15 20 15		20
			R3	60
			40 Ом,

а

R1

d

R3

b

R23 R2 R3

R2 R3

20 60

20

60

R1

15

160 Ом,

R12

R2

R23

R3 R1

15

60

а

b

R31 R3 R1

R2

60 15

20

а

R7

R8

120 Ом,

c

b

R4 R

50

20

а

R45

R56

R45 R4 R5

5

50 20

R6

4

R4

R5

R6

320 Ом,

R5 R

20

4

6

а

e

b

R56 R5 R6

20 4

R4

50

R46

25,6 Ом,

Рис. 2.1.7.а

R64 R6 R4

R6 R4

4 50

4

50

R5

20

64 Ом.

32

С учетом проведенных преобразований схема будет иметь вид представленный на рис. 2.1.7.б. Резисторы R12, R7, R4 оказываются, соединены параллельно между собой, так же как и резисторы R23, R8, R56: в этом случае проще всего найти сначала проводимости параллельно включенных ветвей Gac и Gcb:

										R31														1						1							1										1							1						1					13
																			Gac
																								R12						R7							R45									40						80								320				320
						R12								R23					0,0407 Cм,
																								1							1							1										1								1					1
																			Gcb
																									R23						R8
						R7								R8																									R56							160								15						25,6
а											c					b					215				0,112 Cм,
																					1920
						R45								R56				а затем их сопротивления (рис. 2.1.7.б):
																																			1									1
																									Rса																											24,6Ом,
										R64																							Gса				0,0407
																									Rсb										1									1					8,93Ом.
																																	Gсb
							Рис. 2.1.7.б																														0,112
							R31								Сопротивления												Rca								и					Rcb									соединены после-
															довательно: R' = Rca + Rcb = 24,6 + 8,93 = 33,53 Ом.
							R'							b	После			проведенных преобразований схема примет
															вид: рис. 2.1.7.в,												для которой удобнее всего рассчи-
															тать эквивалентную проводимость:
							R64									Gab					1			1						1							1									1								1					0,053Cм,
																				R31					R				R64						120									33,53										64

а затем искомое сопротивление Rab:

	Рис. 2.1.7.в	1		1
	Rab				18,9Oм.
		Gab		0,053

2.1.8 Напряжение между зажимами источника постоянной ЭДС измерялось тремя разными вольтметрами. Сопротивление первого вольтметра R1=99900 Ом, сопротивление второго R2=2400 Ом, сопротивление третьего R3=400 Ом. Каковы бы были показания каждого вольтметра:

а) если их поочередно подключить к источнику постоянной ЭДС?

б) если их одновременно параллельно подключить к источнику постоянной ЭДС?

в) если внутренним сопротивлением источника ЭДС можно было бы пренебречь?

Дано: ЭДС батареи Е=80 В; ее внутреннее сопротивление R0=100 Ом, а внутренние сопротивления вольтметров при подключении к батарее являются на-

33

грузкой для источника энергии, поэтому показания вольтметров равны падению напряжения на их сопротивлении.

E	E
	V1	R1 V2	R2 V3 R3
V	R1
R0	R0
Рис. 2.1.8		Рис. 2.1.8.а

РЕШЕНИЕ:

а) Показания первого вольтметра (рис. 2.1.8):

U IR			E	R			80	99900 79,9 В,
			R0 R1				100 99900
1	1				1

аналогично показания второго вольтметра:

U2

IR2

E

R2

80

2400 76,8В,

R0 R2

100 2400

и третьего вольтметра:

E

80

U3 IR3

R3

400 64 В.

R0 R3

100 400

б) При одновременном подключении трех вольтметров на источник ЭДС

имеем цепь: представленную на рис. 2.1.8.а.

Найдем эквивалентное сопротивление трех вольтметров R123:

R123

R1 R2 R3

99900 2400 400

341Ом.

R1 R2

R2

R3 R1 R3

99900 2400 2400 400 400 99900

Показания

всех

трех

вольтметров

в

этом

случае будут

одинаковы:

U1=U2=U3=U123 и равны:

E

80

U123

IR123

R123

341 61,8 В.

R0 R123

100 341

в) Если внутренним сопротивлением источника ЭДС можно пренебречь, то есть считать, что Rо=0, то в этом случае показания любого вольтметра будут равны величине ЭДС Е: U1=U2=U3=Е=80 В.

2.1.9 Установить как будут изменяться показания амперметра в электрической цепи представленной на рис. 2.1.9, если увеличивать сопротивление R3?

34

		I2	R2
I1	R1		A
		2	3
			R3
E
		Рис. 2.1.9

РЕШЕНИЕ:

При любом изменении какого-либо сопротивления в электрической цепи изменяется ее эквивалентное сопротивление, что вызывает изменение распределения токов и напряжений на всех приемниках. В данной задаче при увеличении сопротивления R3 увеличивается Rэкв и уменьшается ток I1 в ветви с ЭДС Е:

I1

E

.

Напряжение U23 между узлами 2 и 3:

Rэкв

U23 = Е – I1R1

увеличивается с уменьшением тока I1; следовательно, ток в амперметре

I2

U23

увеличивается с увеличением напряжения U23.

R2

2.1.10. Рассчитать показание вольтметра для схемы, представленной на

рис. 2.1.10, если: R1 = R5 = 12 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 60 Ом, показание

амперметра I = 1 А, RА= 0, RV = .

РЕШЕНИЕ:

+

R1

R3

Показание вольтметра

–

U

это

величина входного

V

R2

R4

R5

напряжения цепи U,

а

−

показание амперметра

–

A

величина тока в нераз-

Рис. 2.1.10

ветвленной части цепи,

то есть в резисторе R1.

Для определения показания вольтметра необходимо рассчитать входное сопротивление этой цепи; сворачивая схему от конца к началу, находим Rвх:

		(	R	4 R5		R3)R2				(		60 12		10) 30
												60 12
Rвх			R4 R5					R1							12 24 Ом.
			R4	R5								60 12
					R3		R2							10 30
		R4 R5									60 12

Тогда показание вольтметра UV = U = IRвх = 24 В.

2.1.11 Пусть требуется определить напряжение между точками "а" и "b" Uab для схемы представленной на рис. 2.1.11, если: E1 =120 В, E2 =40 В, R1 =12 Ом, R2 = 8 Ом. Внутренними сопротивлениями источников ЭДС можно пренебречь.

35

a	I
E1	E2
	Uab
R1	R2

b Рис. 2.1.11

РЕШЕНИЕ:

При встречном включении источников ЭДС направляем ток I по направлению большей ЭДС E1, тогда по 2-му закону Кирхгофа составляем уравнение баланса ЭДС и напряжений:

E1 – E2 = I·R1 + I·R2,

откуда

I E1 E2 120 40 4 А.

R1 R2

12 8

Напряжение между точками "а" и "b" Uаb найдем как

Uab E1 IR1 120 4 12 72 В,иначе Uab E2 IR2 40 4 8 72 В.

2.1.12Найти показания амперметра IA в цепи представленной на рис.

2.1.12.Пусть E = 160 В, R1 = 100 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 120 Ом, R4 = 300 Ом,

R5 = 60 Ом, RA = 0. Внутреннее сопротивление источника ЭДС Rо = 0.

+	E	–
R2	R1	R5
A	R3	R4
Рис. 2.1.12

+	E	–
I	R1
I2
R2	R3	R4	R5
A
	Рис. 2.1.12.а

РЕШЕНИЕ:

Показание амперметра – это величина тока I2 в ветви с резистором R2. Представим схему цепи несколько иначе (рис. 2.1.12.а). Учитывая, что внутреннее сопротивление амперметра равно нулю, рассчитаем эквивалентное сопротивление параллельных ветвей составленных из резисторов: R2, R3 и R4, R5, включенных между собой последовательно:

	R2 5		R2 R3					R4 R5
			R2 R3					R4		R5
		40 120			300		60			80Ом.
		40 120			300 60

По закону Ома рассчитаем ток I:

I	E		160	2 А.
	R2 5
		80

36

+

E

–

Ток амперметра или ток I2 определим по форму-

ле:

R3

120

I

R1

IA I2

I

2

1,5A.

R2 R3

40 120

Резистор R1

не влияет на величину тока I и I2, так

как он включен параллельно ЭДС и R2-5.

R2-5

Рис. 2.1.12.б

2.1.13 Пусть требуется найти показание амперметра IА в цепи (рис. 2.1.13) и величину ЭДС E, если показание вольтметра UV=80 В, R3=40 Ом, R4=60 Ом, R5 = 40 Ом, RA = 0, RV = , R1 и R2 не известны.

+

E

−

РЕШЕНИЕ:

R2

R1

R5

Так как вольтметр с сопротивлением

RV= включен последовательно с ре-

зистором R2, то в этой ветви ток I2=0,

V

R3

R4

A

поэтому напряжение на резисторе R2

U2 = 0 при любом конечном значении

R2. Это значит, что вольтметр изме-

ряет напряжение на резисторе R3.

Рис. 2.1.13

Преобразуем исходную схему к виду

на рис. 2.1.13.а. После чего рассчита-

+

E

−

ем ток I3 в резисторе R3

по закону

Ома:

I0

R1

R5

Uv

80

I3

R3

40

2Ом,

R3

R4

Зная ток I3, найдем показание ампер-

V

A

метра IA:

I3

I3

I4

I5

R4

60

IA I5 I3

2

R4 R5

Рис. 2.1.13.а

60 40

1,2 A,

Величину ЭДС E определим по второму закону Кирхгофа:

E I3 R3 I5 R5 80 1,2 40 128В.Величина ЭДС E и показания амперметра и вольтметра в этой цепи не зависят от резистора R1, так как он включен параллельно ЭДС и цепи с резисторами R3, R4 и R5.

2.1.14 Определить показание вольтметра в цепи представленной на рис. 2.1.14, где E = 24 В, Rо = 3 Ом, R1 = 11 Ом, R2 = 14 Ом, R3 = 16 Ом, R4 = 9 Ом.

Сопротивление вольтметра весьма велико по сравнению с сопротивлением резисторов (теоретически RV=∞).

37

R2

I2

b

РЕШЕНИЕ:

Показание вольтметра определяется падени-

E, R0

I2

ем напряжения на резисторах R3

и R4 (или R1

R1

и R2); направим токи в цепи: I0 в ветви с ЭДС

R3

I0

E, I1

в ветви с последовательным соединени-

I1

ем резисторов R1

и R4, I2 в ветви с последова-

I1

R4

тельным соединением резисторов R2 и R3.

a

Определим

эквивалентное

сопротивление

V

цепи:

Рис. 2.1.14

Rэкв R0

(R1 R4)(R2 R3) 3 (11 9) (14 16) 15Ом,

R1 R2 R3 R4

11 9 16 14

E

24 1,6 А,

зная R

экв

находим ток источника ЭДС I по закону Ома: I

0

R1 R4

0

20

Rэкв

15

Рассчитаем ток I2:

I2

I0

1,6

0,64 A,

R1 R2 R3 R4

20 30

Ток I1 находим по первому закону Кирхгофа: I1 I0

I2

1,6 0,64 0,96 A,

В соответствии с направлением токов I1

и I2

в резисторах R3

и R4 показа-

ние вольтметра найдем как разность падений напряжения на этих резисторах в

соответствии со вторым законом Кирхгофа:

UV Uab I1 R4

I2 R3 0,96 9 0,64 16 1,62 B.

Вольтметр покажет UV = 1,62 В, где знак минус говорит о направлении

напряжения между узлами "a" и "b": оно направлено от узла "b" к узлу "a".

2.1.15 Найти показания амперметра в цепи представленной на рис. 2.1.15,

если: E=60 В, R1=60 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом; R4=10 Ом. Внутренним сопро-

тивлением источника R0 и амперметра RA можно пренебречь по сравнению с

сопротивлениями резисторов (теоретически R0=0, RA=0).

R1

a

R2

РЕШЕНИЕ:

Так как внутреннее сопротивление амперметра

(RA=0), то четыре резистора R1

и R4, а также R2

A

и R3 оказываются соединены между собой па-

IA

раллельно:

R4 I4

R3

R14

R1 R4

60 10

8,58Ом,

b

I3

R1 R4

70

I

R2 R3

30

20

E

R23

12Ом,

R2 R3

50

Рис. 2.1.15

38

Между собой R14 и R23 соединены последовательно, тогда эквивалентное сопротивление цепи: Rэ=R14+R23=8,58+12=20,58 Ом,

Определим ток I в цепи источника по закону Ома:

I	E		60	2,92 A,
			20,58
	Rэ

Для нахождения показания амперметра следует воспользоваться первым законом Кирхгофа для любого узла ("a" или "b"), куда подключен прибор. В узле "b" сходятся токи I3, I4, IА. Рассчитываем токи I3 и I4, зная ток источника ЭДС:

	I3 I	R2		2,92	30			1,75 A,
		R2 R3				30 20
	I4 I	R1		2,92	60			2,5 A,
		R1 R4			60 10

Направим ток амперметра IА, как указано на схеме и запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

IA I3 I4 0 или IA I4 I3 2,5-0,75 1,75A.

2.1.16Пусть требуется найти показания вольтметра V1 и амперметров A1

иA2 (рис. 2.1.16), если показание вольтметра V2: U2=30 В, R1=18 Ом, R2=20 Ом, R3=15 Ом, R4=30 Ом. Сопротивлением амперметров можно пренебречь, а сопротивления вольтметров считать весьма большими по сравнению с сопротивлением резисторов.

+

I3

R3

РЕШЕНИЕ:

Так как внутреннее сопротивление ам-

I1

перметра А2 равно нулю, то резисторы

V1

A1

R2 и R4 оказывается соединены парал-

R1

лельно и для расчета схемы предста-

I4

R4

вим цепь несколько иначе (см. рис.

2.1.16.а). Так как показания вольтмет-

ра V2 известно, находим токи I2 и I4 по

V2

R2

IA2

закону Ома:

U2

30

I2

I2

1,5A,

−

R2

20

A2

U2

30

I4

1A,

R4

Рис. 2.1.16

30

Зная I2 и I4

найдем ток I1

по первому закону Кирхгофа:

I1 = I2 + I4 = 1,5 + 1 = 2,5 А, определив ток I1, найдем показание вольтметра V1:

U1 I1R1 2,5 18 45 B.

39

+		I3		Для определения показания амперметра A1
				следует найти ток I3. Для этого рассчитаем
	I1			напряжение на R3				по второму закону
V1				Кирхгофа:
		R1				U3 = U1 + U2 = 45 + 30 = 75 В,
				Тогда ток I3:
			R3				U3	75
	I2	I4					I3 R3	15 5A,
V2	R2	R4		Амперметр A1 покажет 5 А.
				Для определения показаний амперметра A2
−				составим			уравнение	по первому закону
				Кирхгофа для узла "a" в исходной схеме:
	Рис. 2.1.16.a						IA2 = I3 + I4 = 5 + 1 = 6 А.
				Амперметр A2 покажет 6 А.
2.1.17 Четыре одинаковых резистора R1 = R2 = R3 = R4 = 15 Ом включены,
как указано на схеме представленной на рис. 2.1.17. Вольтметр V1 показывает
100 В. Что покажет вольтметр V2, если сопротивление вольтметров весьма вели-
ко по сравнению с сопротивлением резисторов?
+	R1						РЕШЕНИЕ:
							В заданной цепи резисторы R2,
							R3, R4 включены параллельно
V1		R2	R3		R4	V2	между собой и последовательно
−							с резистором R1. Таким обра-
							зом, вольтметр V1 показывает
		Рис. 2.1.17					напряжение, приложенное к це-
							пи, а вольтметр V2 – напряже-
							ние на
параллельном соединении резисторов. Найдем общее сопротивление параллель-
но включенных резисторов R234. Так как сопротивления их равны, то:
			R234		R2	15 5Oм,
					3	3
Эквивалентное сопротивление цепи Rэ:
Находим ток I1:		Rэ = R1 + R234 = 15 + 5 = 20 Ом.
				U1	100 5A.
			I1
				Rэ	20
Показание вольтметра V2			будет равно напряжению на R234 – U234:
			U234 IR234 5 5 25B.
					40