ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

ца-столбец напряжений ветвей, учитывающая наличие в ветвях источников ЭДС.

I2=9,565 A, I3=2,609 A, I4=0,435 A, I5=7,391 A, I6= –2,174 A.

Напряжение на зажимах источника тока определяем по второму закону Кирхгофа:

UИТ=JR1 + I5R5 + I6R6 + I4R4 =315,22 B.

Мощность PИСТ, развиваемая источниками ЭДС (PE) и тока (PJ):

PИСТ = PE + PJ = E2I2 + UИТJ= 200 9,565 + 315,22 10 = 5065 Вт.

Мощность, потребляемая резисторами – PН: PН = J2R1 + I22R2 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 =

=102 25 + 9,5652 20 + 2,6092 20 + 0,4352 30 + 7,3912 10 + 2,1742 10 = 5065 Вт. PИСТ = PН =5065 Вт.

Баланс мощности сошелся, значит задача решена верно

3.3.2 В цепи постоянного тока, представленной на рис. 3.3.2 известны параметры всех элементов: R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=5 Ом, R4=20 Ом, R5=10 Ом, R6=15 Ом, E=50 В, J1=10 А, J2=5 А. Требуется определить токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей.

R1

b

R4

РЕШЕНИЕ:

В заданной схеме 6 ветвей. Но факти-

чески всего 4 неизвестных тока, т.к.

E

две ветви содержат источники тока J1

UИТ1

UИТ2

J1

J2

и J2 и токи в этих ветвях будут чис-

ленно равны соответствующим токам

R2

I4

источников тока.

Произвольно задаем направление то-

I5

R5

R6

I6

a

d

ков в ветвях. В схеме 4 узла, следова-

тельно, составляем три уравнения по

c

1-му закону Кирхгофа. Кроме того, в

R3

I3

схеме имеется три независимых кон-

тура, два из которых содержат по од-

ному источника тока, поэтому состав-

Рис. 3.3.2

ляем одно уравнение по 2-му закону

Кирхгофа для контура, не содержащего источников тока.

По первому закону Кирхгофа:

для узла"a": J1 I3 I5 0;

для узла"b": J1 J2 I4 0;для узла"c": J2 I5 I6 0,

61

откуда:			I5 I3 J1 I3 10;
				I4 J1 J2 5A;
			I6 I5 J2 I3 J1 J2 I3 5.
По второму закону Кирхгофа для контура ("a–с–d–a"):
			I5 R5 I6 R6 I3 R3 0.
Подставляя в последнее уравнение числовые данные, получим:
10 (10 I3) 15 (5 I3) 5 I3					0, отсюда I3 175				5,833А,
								30
тогда используя уравнения, составленные для узлов, найдем:
			I5 4,167 А,			I6 0,833А.
Найдем напряжение на источниках тока:
			UИТ1 I5 R5	I6 R6		E I4 R4		J1 R1	179,17 B,
			UИТ2 J2 R2	I4 R4		E I6 R6		64,495 B.
Составим баланс мощностей:
			PИСТ = EI4 + UИТ1 J1 + UИТ2 J2 = 2354 Вт,
		PН = J12R1 + J22R2 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 2354 Вт.
			Баланс сошелся, задача решена верно.
3.3.3 В цепи постоянного тока представленной на рис. 3.3.3 известны па-
раметры всех элементов: R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=10 Ом, R4=5 Ом,
R5=20 Ом, R6=20 Ом, E1=80 В, E2=60 В, E4=100 В, J=5 А. Требуется определить
токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей.
I1	R1	2	R4				РЕШЕНИЕ:
					В схеме 6 ветвей, 4 узла, 3 источника
			E2	E4	ЭДС и один источник тока, который
					включен в одну ветвь с источником ЭДС
E1		I2			E4		и тем самым зададим величину тока в
				UИТ	этой ветви. Для нахождения 5 неизвест-
			J		ных токов необходимо составить n–1=3
			R2		уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 2
I5	R5		R6
					уравнения по 2-му закону для независи-
1		3	4		мых контуров, не содержащих источник
			I6
		R3	I3		тока
					По первому закону Кирхгофа:
		Рис. 3.3.3			для узла1:			I1 I3	I5 0;
					для узла 2: I1 I2 J 0;
					для узла 3: I2 I5				I6 0;
		для контура("1 2 3 1"):					E1 E2	I1 R1	I2 R2 I5 R5;
		для контура("3 4 1 3"):					I6 R6 I3 R3 I5 R5 0.
						62

Для расчета токов воспользуемся матричными методами: Найдем

1	0	1	1	0		0
		0	0	0			5
1 1
А 0	1	0	1	1 ,		В 0 ,
	20	0	20	0
10						140
	0	10	20				0
0				20

тогда I AT B. В результате решения матричного уравнения получим: I1=6,67 A, I2=1,67 A, I3=4,67 A, I5=2 A,I6= –0,333 A.

Найдем напряжение на зажимах источника тока:

UИТ E2 E4 JR4 I2 R2 I6 R6 8,32B,

Составим уравнение баланса мощностей:

PИСТ E1 I1 E2 I2 E4 J UИ J 1175Bт,

PН = I12R1 + I22R2 + I32R3 + J2R4 + I52R5 + I62R6 = 1175 Вт.

Баланс сошелся, значит, задача решена верно.

3.4 Задачи для самостоятельного решения

									3.4.1 В цепи, представленной на рис. 3.4.1 рас-
		E1,				E2,			считать все токи, проверить их по балансу мощ-
		R01				R02			ностей, если: Е1=20 В, R01=0,2 Ом, Е2=1,1 В,
									R02=0,4 Ом, R1=5 Ом, R3=7 Ом, R2=5 Ом.
		R1				R2			R3

Рис. 3.4.1

R6

R2

E3, R03

R3

E1

R5

E4

R4

R1

3.4.2 Методом составления уравнений по законам Кирхгофа рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 3.4.2, правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если:

Е1=15 В, Е3=5 В, R03=2 Ом, Е4=20 В, R1=5 Ом, R2=4 Ом, R3=8 Ом, R4=6 Ом, R5=10 Ом, R6=15 Ом.

Рис. 3.4.2

63

	E1
	R4
	R6
	E2
	R5
R3	E3
	Рис. 3.4.3

3.4.3 Методом составления уравнений по законам Кирхгофа рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 3.4.3, правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если:

Е1=10 В, Е2=20 В, E3=30 В, R3=5 Ом, R4=8 Ом, R5=10 Ом, R6=15 Ом.

J1

R1

R5

					R3			3.4.4 Методом составления уравнений по законам
								Кирхгофа рассчитать токи в цепи, представленной
				J2				на рис. 3.4.4, правильность расчета проверить с
								помощью баланса мощностей, если:
					R4			J1=2 A, J2=1 A, R1=100 Ом, R3=200 Ом, R4=50 Ом,
								R5=100 Ом, R6=200 Ом.
	R6

Рис. 3.4.4

E1	E2
	R3
R1	R2
R4	J
	R6

3.4.5 Методом составления уравнений по законам Кирхгофа рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 3.4.5, правильность расчета проверить с помощью составления уравнения баланса мощностей, если:

Е1=40 В, Е2=30 В, J=2 A, R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=5 Ом, R4=10 Ом, R5=50 Ом.

Рис. 3.4.5

64

R1
E
R3	J2
J1
R4	R5
R6
Рис. 3.4.6

3.4.6 Методом составления уравнений по законам Кирхгофа рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 3.4.6, правильность расчета проверить с помощью уравнения баланса мощностей, если: Е=200 В, J1=5 A, J2=5 A, R1=40 Ом, R3=50 Ом, R4=20 Ом, R5=30 Ом, R6=40 Ом.

65

4 МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

4.1 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС методом контурных токов

4.1.1 Найти токи в цепи, представленной на рис. 4.1.1, используя метод контурных токов, если: Е1=20 В, Е2=1,1 В, R01=0,2 Ом, R02 =0,4 Ом, R1=5 Ом, R2=5 Ом, R3 =7 Ом.

I1

РЕШЕНИЕ:

E1,

E2,

1) Зададим направление контурных токов

I11 и I22 и запишем систему уравнений по

R01

R02

R3

методу контурных токов

I11

I22

I11R11 + I22R22 = E11

R1

R2

I11R21 + I22R22 = E22.

I3

2) Рассчитаем собственные (R11=R22) и

I2

взаимные (R12=R21) сопротивления смеж-

ных контуров. Взаимное сопротивление

Рис. 4.1.1

берем со знаком "+", так как в нем контур-

ные токи имеют одинаковые направления, тогда:

R11 = R1 + R01 + R2 + R02 = 5 + 0,2 + 5 +0,4 =10,6 Ом,

R22 = R2 + R02 + R3 = 5 + 0,4 +7 =12,4 Ом,

R12 = R21 = R02 + R2 = 5,4 Ом. 3) Рассчитаем контурные ЭДС:

Е11 = Е1 + Е2 = 20 + 1,1 = 21,1 В, Е22 = Е2 = 1,1 В.

Контурные ЭДС со знаком "+", так как направления ЭДС совпадает с направлением контурных токов. Система уравнений запишется следующим образом:

4) Составим систему уравнений для схемы на рис.4.1.1 для контурных ЭДС, токов и сопротивлений, тогда контурные токи найдем как:

			E11	R12				21,1	5,4							R11	E11					10,6	21,1
I11			E22	R22				1,1	12,4		2,5 A,	I22				R21	E22					5,4	1,1		1A.
			R11	R12				10,6	5,4							R11	R12					10,6	5,4
			R21	R22				5,4	12,4							R21	R22					5,4	12,4

5) Определив контурные токи, найдем реальные токи в ветвях методом наложения:

I1 = I11 = 2,5 A, I2 = I1 + I22 = 2,5 – 1 = 1,5 A, I3 = – I22 = 1 A.

6) Проверим расчет токов, для чего составим уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

66

I1(R1 + R01) + I3R3 = E1.

Подставляя в записанное уравнение числовые данные, получим тождество: 2,5 (5 + 0,2) + 1 7 = 20.

Следовательно, задача решена верно.

4.1.2 Методом контурных токов рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 4.1.2, проверить расчет токов по балансу мощностей, если: Е1=15 В, R01=R02=1 Ом, R03=2 Ом, Е2=70 В, R1=5 Ом, R2=4 Ом, Е3=5 В, R3=8 Ом,

R4=2,5 Ом, R5=15 Ом.

R1

R2

РЕШЕНИЕ:

1) Схема содержит 6 ветвей

I3

и три узла образующих три

I1

I5

I33

независимых

контура. За-

R3

E2,

дадим направления контур-

R5

E1,

I11

ных токов I

, I , I

по ча-

R02

11

22

33

R01

E3,

совой стрелке.

R03

I22

I2

2) Рассчитаем собственные

I4

R4

и взаимные сопротивления

независимых контуров:

Рис. 4.1.2

R11 = R1 + R01 + R3 + R03 = 5 + 1 + 8 + 2 = 16 Ом,

R22 = R3 + R03 + R4 + R5 = 8 + 2 + 2,5 + 15 = 27,5 Ом, R33 = R2 + R02 + R5 = 4 + 1 + 15 = 20 Ом,

R12 = R21 = – (R3 + R03) = – (8 + 2 ) = – 10 Ом, R23 = R32 = – R5 = – 15 Ом,

R31 = R13 = 0.

Собственные контурные сопротивления всегда положительны, а взаимные имеют знак плюс, когда контурные токи в них совпадают по направлению. Если токи смежных контуров во взаимных сопротивлениях противоположны, то они имеют знак минус. Особенность заданной схемы в том, что I и III контур не имеют взаимного сопротивления, по которому протекают I11 и I33.

3) Рассчитаем контурные ЭДС:

Е11 = Е1 + Е3 = 15 + 5 = 20 В, Е22 = – Е3 = – 5 В, Е33 = Е2 = 70 В.

Контурная ЭДС II контура Е22 имеет знак "–", так как ее направление противоположно направлению контурного тока I22.

4) Составляем уравнения для контурных ЭДС, токов и сопротивлений

E11=R11I11+R12I22+0;

E22=R21I11+R22I22+ R23I33; E33=0+R32I22+ R33I33,

и находим контурные токи с помощью определителей:

67

										E11							R12	R13									20					10	0
										E22							R22	R23											5			27,5	15
I11		1								E33							R32	R33									70					15	20							16000				5 A,
										R11							R12	R13								16						10	0							3200
										R21							R22	R23								10						27,5	15
										R31							R32	R33								0						50	20
																R11	E11	R13													16	20	0
																R21	E22	R23													10	5	15
I22					2											R31	E33	R33													0	70	20						19200					6 A,
																																3200								3200
															R11		R12	E11										16				10	20
														R21			R22	E22											10			27,5	5
I33			3											R31			R32	E33										0				15	70							25600				8 A.
																																3200								3200

5) Определив контурные токи, найдем реальные токи в ветвях методом наложения: I1 = I11 = 5 A, I2 = I33 = 8 A, I3 = I22 – I11 = 6 – 5 = 1 A,

I4 = I22 = 6 A, I5 = I33 – I22 = 8 – 6 = 2 A.

6)Проверим расчет токов с помощью уравнения составленного по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

I1 (R1 + R01) + I2 (R2 + R02) + I4R4 = E1 + E2.

Подставляя в записанное уравнение числовые данные, получим: 5 (5 + 1) + 8 (4 + 1) + 6,25 = 30 + 40 + 15 = 85 B, или

E1 + E2 = 15 + 70 = 85 B.

7)Уравнение баланса мощности включает мощности всех источников ( РИСТ ), потери мощности в источниках ( Р) и мощности всех

приемников.

Мощность, развиваемая источниками в сложной цепи, равна алгебраической сумме мощностей, развиваемых каждым источником. Знак "–" у мощности третьего источника определяется тем, что ток I3 в ветви с источником Е3 направлен против направления ЭДС, то есть он работает в режиме потребителя:

EI E1I1 E2 I2 E3 I3 15 5 70 8 5 1 75 560 5 630Вт.

Мощности, потребляемые приемниками, зависят от сопротивлений и токов:

PH I12 R1 I22 R2 I32 R3 I24 R4 I52 R5

52 5 82 4 12 8 62 2,5 22 15 125 256 8 90 60 630Вт.

Потери мощности в источниках зависят от их внутренних сопротивлений и токов:

68

P I12 R01 I32 R03 52 1 82 1 12 2 91Вт.

PИСТ PH P=630=539+91.

Баланс мощности подтверждает правильность решения задачи.

4.1.3 Методом контурных токов рассчитать все токи в цепи, представлен-

ной на рис. 4.1.3, если: Е1=8 В, Е2=6 В, Е4=4 В, R1=6 Ом, R2=10 Ом, R3=6 Ом, R5=10 Ом, R6=4 Ом.

R1

E2

РЕШЕНИЕ:

b

c

d

1) Направим контурные токи I11, I22, I33

по часовой стрелке.

2) Рассчитаем собственные и взаимные

I1

R5 I22

R2

сопротивления смежных контуров:

R11 = R1 + R5 + R6 = 6 + 10 + 4 = 20 Ом,

E4

I5

I

R22 = R2 + R5 = 10 + 10 = 20 Ом,

I4

2

R33 = R3 + R6 = 6 + 4 = 10 Ом,

E1

f

e

R12 = R21 = – R5 = – 10 Ом,

I11

R6

R3

R23 = R32 = 0,

R31 = R13 = – R6 = – 4 Ом.

I33

3) Рассчитаем контурные ЭДС:

I6

I3

Е11 = Е1 = 8 В,

Е22 = Е2 – Е4 = 6 – 4 = 2 В,

a

Е33 = Е4 = 4 В.

Рис. 4.1.3

4) Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных ЭДС, токов и сопротивлений:

E11=R11I11+R12I22+ R13I33;

E22=R21I11+R22I22+ 0;

E33= R31I11+0+ R33I33, и находим контурные токи:

							E11	R12	R13									8	10	4
							E22	R22	R23									2	20	0
I11		1					E33	R32	R33									4	0	10						2120	0,791A,
							R11	R12	R13							20			10	4						2680
							R21	R22	R23							10			20	0
							R31	R32	R33							4			0	10

69

											R11	E11	R13								20	8	4
											R21	E22	R23								10	2	0
I22				2							R31	E33	R33								4	4	10					1328		0,496 A,
																												2680
																2680
										R11		R12	E11								20	10 8
									R21			R22	E22								10	20	2
I33		3							R31			R32	E33								4	0	4					1920			0,716 A.
																						3200
																												2680

5) Определив контурные токи, найдем реальные токи в ветвях методом наложения:

I1 = I11 = 0,791 A;

I2 = I22 = 0,496 A;

I3 = I33 = 0,716 A;

I4 = I33 – I22 = 0,716 – 0,496 = 0,22 A;

I5 = I11 – I22 = 0,791 – 0,496 = 0,295 A;

I6 = I11 – I33 = 0,791 – 0,716 = 0,075 A.

6) Сделаем проверку расчета токов, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура "a – b – c – f – e – a":

I1R1 + I5R5 + I3R3 = E1 + E4.

Подставляя в записанное уравнение числовые данные, получим: 0,791 6 + 0,295 10 + 0,716 6 = 4,75 + 2,95 + 4,3 = 12 B,

где E1 + E4 = 8 + 4 = 12 B.

7) Составим уравнение баланса мощностей:

PИСТ PH.

Суммарная мощность развиваемая источниками:

EI E1 I1 E2 I2 E4 I4 8 0,791 6 0,496 4 0,22 10,184 Вт.

Суммарная мощность потребляемая приемниками:

PH I12 R1 I22 R2 I32 R3 I52 R5 I62 R6

0,7912 6 0,4962 10 0,716 2 6 0,295 2 10 0,075 2 4 10,183Вт.

Баланс сошелся, значит, токи определены правильно.

4.2 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока методом контурных токов

4.2.1 Требуется рассчитать методом контурных токов токи в цепи, представленной на рис. 4.2.1 и проверить правильность расчета токов составлением уравнения баланса мощностей, если: J1=6 А, J2=4 А, R1=5 Ом, R2=8 Ом, R3=10

Ом, R4=6 Ом, R5=10 Ом, R6=4 Ом.

70