Ось 4 включает в себя ось 2. Поэтому, переходя к точечной группе 4, до-

статочно рассмотреть только те модули, которые не_обратились					в нуль	в	груп-
пе2 . Закон	преобразования осей	координат	осью4	таков	A"i->-—X	2,	X2-+Xi,
Х3~*—Хз. (К	аналогичным выводам	приведет	схема	Х\-*-Х2, Х2-*—Xi, Хз-*-—Хз,
которая получится, если изменить направление			вращения.) Следовательно,

Схема матрицы имеетви д

Здесь соединены кружки, соответствующие одинаковым по абсолютной величине модулям; значки © обозначают модули противоположного знака.

Описанный метод прямой проверки неудобен для кристаллов гексагональной

•сингонии. Более		общий	метод	анализа приводитк	следующим	соотношениям:
дл ося		и	третьего порядка
^111=	—— di22—	—— ^212, d,222=		——^112 = — &Ч 1 1 »
для	оси шестого порядка
dm =dn2= di22		=d2n =d2\2 =^222= О,
кроме того,дл я		осей	третьегои	шестого порядков
diss =d233 = ds\2 = ds is =ds23 = 0.					матрицыдл я	любой точечной
С помощью этих равенств можно изобразить схему
группы	гексагональной		сингонии. Например,дл я группы 6т2			матрица выглядит

следующим образом (осьXi перпендикулярна плоскости т):

Здесь двойной кружок обозначает модуль с удвоенной величиной и противоположным знаком.

Анализ матриц пьезоэффекта3 2 точечных кристаллографических групп показывает, что пьезоэффект невозможен лишь в центросимметричных кристаллах и в кристаллах симметрии 432.Следует иметь в виду, что пьезоэффект возникает как по полярным на-

правлениям, так и по направлениям, которые в исходном ненапря-

женном кристаллен е являются полярными: "при деформациин - полярное направление может стать полярным.

4.3. ДВУПРЕЛОМЛЕНИЕ, ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ И ЭНАНТИОМОРФИЗМ КРИСТАЛЛОВ

Явление двупреломления заключаетсяв	следующем. Неполяри-
зованный луч света, входя в кристалл,	распадается на два луча,

поляризованных о взаимно перпендикулярных плоскостяхи	имею-
щих различную скорость (рис.4.3.1). Поскольку показатель	пре-

148

ломленияп равенгдcfvt се— скорость света вакууме,v— ско-

рость света в данной среде, показатели преломления этих двух лучей также различны.

Поместим внутрь кристалла светящуюся точку О и рассмотрим

произвольную световую нормальО 1 М (рис. 4.3.2). Вдоль этой нормали, вообще говоря, распространяютсявд е световые волны, име-

а

а а а

, /

а а а

Рис. 4.3.1. Двупреломление и поляризация света в кристалле: а — естественный неполяризованный свет (отрезки аа, bb,

ее. показывают направление световых колебаний); б — плоскополяризованный свет; в — неполяризованный луч АВ, дву-

преломляясь, порождает лучи СЕ и DF, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях

ющие скорости v\ и v2 и показатели преломления п\ и п%. Пусть направление отрезка А\А\ совпадает направлением колебаний первой волны,аег о длина равна( в некотором произвольном масштабе) показателю п\. Отрезок В\В\, перпендикулярный А\А\,

аналогично характеризует вторую волну. Можно доказать,тч о мно-

жество точек А\ и BI, соответствующих разнообразным нормалям

ОМ, представляет собой эллипсоид, называемый оптической ипди^

катрисой. Значения я, соответствующие координатным осям ин-

Световой нормалью на

149

дикатрисы, называются главными показателями преломления. Максимальный из них обозначают Ns, второй по величине — Nmj ми-

нимальный — Np 1. В некоторых случаях оптическая индикатриса

имеетви д эллипсоида вращенияил и шара.

Формаи	ориентация оптической индикатрисыв					кристалле опре-
деляется	принципом Неймана	(см. раздел		4.1).		Согласно		этому
		принципу			оптическая		индика-
		триса кристалла высшей							ка-
		тегории		(кубическая				синго-
		ния) представляет собой							шар.
		Менее симметричный					эллипсо-
		идн е	может включитьв					себя
		всю	совокупность элементов
		симметрии			кубических			точеч-
		ных	групп.		Следовательно,
		кубическом				кристалле		свето-
		вы е	волны		распространяются
Рис. 4.3.2. Построение оптическойин -		по всем направлениям с оди-
		наковой		скоростьюИ			имеют
	дикатрисы	одинаковые				показатели			пре-
		ломления				(Ng = Nm = Np = N)r

т. е. двупреломление не наблюдается. Это значит, что такие кристаллы оптически изотропны.

Кристаллам средней категории (тетрагональная и гексагональная сингонии) соответствует индикатриса в форме эллипсоида вращения, причем круговое сечение последнего располагается перпен-

дикулярно оси высшего порядка. Здесь			возможны	два	случая:
1) Ng>Nm = Np	(вытянутый	эллипсоид),	2) Ng = Nm>Np		(сжатый
эллипсоид) (рис. 4.3.3). В		первом случае кристаллы		называются

оптически положительными, во втором — оптически отрицательны-

ми. Световой луч, который идет вдоль оси высшего порядка, не поляризуетсян е раздваивается. Любой радиус кругового сече-

ния, перпендикулярного этой оси, является возможным направлением колебаний.

Направление, о которому светн е испытывает двупреломления, называется оптической осью. Кристаллы средней категории одноосныВ. кристалле высшей категории всякое направление представ-

ляет собой оптическую ось.

Индикатриса кристалла низшей категории ввиду отсутствия

осей симметрии высшего порядка имеет форму эллипсоида с тремя неравными осями Ng>Nm>Np (собственная симметрия такогоэл -

липсоида mmm). В этом эллипсоиде есть два круговых сечения с

диаметром Nm и соответственно две оптические оси		(А\А\ и А2А^
на рис. 4.3.4), лежащиев	плоскости NgNp. Острый угол междуоп		-
тическими осями принято обозначать 2V. Еслис биссектрисой это-
го угла совпадает направление показателя этNg (как		о	имеет

1 Индексы g, m, p происходят от французских слов «grand» — большой, «moyen» — средний, «petit» — маленький.

150

на рис.4.3.4), кристалл считается оптически положительным; если

жеп о биссектрисе угла2 V идет направление Np, кристалл оптически отрицателен.

Для ортогонального кристалла ориентация оптической индикатрисы жестко фиксирована: согласно принципу Неймана ее полу-

оси должны быть совмещеныс тремя взаимно перпендикулярными

особыми	направлениями( с осямил2 2)и				В.	кристаллах моно-
клинной	сингонии особое направление только одно (ось 2 или 2).
С ним должна совпадать одна из осей
индикатрисы,			соответствующая	одно-	А1
муи з трех		главных показателей		пре-
ломленияДл.		я	полного описания ори-

ентации индикатрисы относительнос -

Н„-

Рис. 4.3.3. Оптические		индикатри-	Рис.	4.3.4.	Оптическая
сы	кристаллов средней	категории:	индикатриса		кристалла
—а	положительный кристалл,б—		низшей категории (слу-
	отрицательный кристалл		чай	оптически	положи-

			тельного кристалла)
стемы координат кристалла необходим один угловой параметр, ко-
торый на рис. 4.3.5 обозначен буквой	а. Наконец, в			триклинной син-
гонии особых направлений нет. Поэтому			ориентация индикатрисы
может быть в принципе любой. Нетрудно видеть, что вид и ориента-							д
ция оптической индикатрисы зависято		т	симметриита жек		ка,	вик
и ориентация характеристической	поверхности,			соответствующей
тензору второго ранга (см. табл. 11).			низшей	категории опти-
Таким образом, кристаллы среднейи
чески анизотропны, т. е. обладают разными оптическими свойства-
ми по разным направлениям. Важно отметить, что форма опти-
ческой индикатрисы, а следовательно, и численные значения оп-
тических констант заметно меняютсяв		зависимостио т длины све-
товой волны. Это явление называется дисперсией оптической инди-
катрисы.		некоторых		кристаллахн		-
Помимо эффекта двупреломленияв
блюдается оптическая активность:рп и прохождении монохромати-
ческого плоскополяризованного луча		через кристаллическоев				-
щество плоскость поляризации поворачиваетсян а				угола ,	пропор-
циональный пути света кристалле.

151

Оптической активностью в первую очередь могут обладать кри-

сталлы, точечная группа симметрии которыхн е содержит центра инверсии, плоскостей симметрии и других инверсионных осей более высокого порядка. Кристаллические многогранники в этом случае

хиральны,

кристаллы проявляют энантиоморфизм, е. . способ-

Рис. 4.3 5. Ориентация оптической индикатрисы в моноклинном кри-

сталле

-cf

-cf

Рис. 4.3.6. Энантиоморфные кристал-		Рис. 5.1.1. Фигуры с винтовой
лы	кварца	осью 2А

ность существовать в виде двух зеркально равных форм. Так, кристаллы кварца бывают левыми и правыми (рис. 4.3.6); они прояв-

ляют оптическую активность,	причем левые кристаллы		вращают
плоскость поляризации света	одну сторону,а	правые		кристал-
лы — в другую.			и	распро-
Особенно ярко оптическая активность проявляется

странении света вдоль оптической оси, где нет двупреломления. В

кубических оптически активных кристаллах каждое направление

есть оптическая ось и удельное вращение (поворот плоскости по-

ляризациин а единицу пути света) о всех направлениях одина-

ково. Специфическая картина наблюдается в кристаллах низшей категории, где имеются две оптические оси. В случае симметрии

222 эти оси симметрически эквивалентны; поэтому вращение вокруг обеих осей происходит в одном направлении и на одинаковый угол. В кристаллах симметрии1 оптическиеос и независимыи удельные

152

вращения для этих направлений могут различаться и по величи-
ине п о	знаку. Еслиж е	кристаллы имеют симметрию2 , возможна
как	первая, так	и вторая ситуация в зависимости от того, лежит
осли	ь симметриив	плоскости оптических осейил и перпендикуляр-
на к этой плоскости.
	Детальный теоретический анализ явления оптической активно-

сти показывает *, что этим свойством могут обладать не только кристаллы без инверсионных осей, но и кристаллы, относящиеся к

точечным группам4 , 42m, ш, тт2. Однако вращение плоскостипо - ляризации света, распространяющегося вдоль оптической оси, допустимо тольков двух последних з этих групппр и условии,чт о

оптические оси не лежат в плоскости симметрии. В этом случав

вдоль обеих осей величина вращения одинакова,ег	о направление
противоположно.

1 Принципы и результаты такого анализа описаны в книге Ю. И. Сиротина и М. П. Шаскольской (см. список рекомендованной литературы).