5. На рис.5.3.3 показаны некоторые сочетания оси симметричности второго порядка с плоскостью симметричности. Возникающее расположение элементов симметрии определяется теоремой3 .

6. На рис. 5.3.4 изображены комбинации элементов симметрии,

о которых говорится в теоремах 4 и 5.			возможных ситуа-
	Сказанное е исчерпывает многообразия
ций—м		ы рассмотрели лишь наиболее важные случаи. Общийем -
тод,		который позволяет рассмотреть любое сочетание открытыхи
закрытых элементов симметрии, описанв разделе.5и 6				заключает-
ся в следующем: перемножая операции, входящие в комбинируе-
мы	е	элементы симметрии, можно найти операции,		следовательно,
и	элементы симметрии, к которым приводит		данное сочетание.

Нужно, однако, иметь в виду, что реализуемы отнюдь не любые комбинации и относительные ориентации элементов симметрии.

5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП

Пространственной группой симметрии называется совокупность симметрических операций, присущих той или иной идеальной кри-

сталлическойВструктуре.		принципе пространственную гр
но определить	шире—ак к группу	симметрии всякой фигуры,еп -
риодическойв	трех измерениях. Однако кристаллические структу-
ры, по-видимому, единственныйти		п природных объектов,	симмет-v
рия которых описывается такими группами.
Поскольку для кристалла характерно решетчатое расположение
атомов, всякая	пространственная группа содержитв		качестве по

группы трехмерную группу трансляций, относящуюся к одному из

типов Бравэ. Наряду с этим в нее,вообще говоря, входят и другие закрытые и открытые операции симметрии.

Значительную часть пространственных групп можно получить следующим способом. Пусть симметрия позициидл я некоторой точкиО пространства описывается кристаллографической точечной группой 5; иными словами, в точке О пересекаются элементы симметрии, входящие в группу 5. Эта группа относится к определен-

ной сингонии. Совместимс точкойО начало координат решетки,со - ответствующей данной сингонии, и размножим точку О, а вместе с

нейи элементы симметрии, черезне е проходящие,с помощью группы трансляций. Учтем также те результаты, к которым приводит сочетание элементов симметрии с трансляциями (раздел 5.2). В итоге получится геометрический образ одной из пространственных

групп.

Фактически такая процедура уже была в ряде случаев проделана. Так,размножаяос 3и 4, 6, перпендикулярными трансляциями, мы получили расположения, показанные на рис. 5.2.3, б, в, г.

Если подразумевать наличие трехмерной решетки, то эти рисунки

изображают проекции трех пространственных групп, обозначаемых

РЗ, и4 Р&. Сходные группыс инверсионными осями изображе-

нын а рис. 5.2.5. Особенность пространственных групп, представ-

и

fih- --

t (П

I	i1
	Я				е
	Рис. 5 4 1 . Симморфпые пространственные			группы
a — группа PI; б — группа Р2\ в~г			— группа Р2/т в		двух про-
	екциях;	д — группа Рттт; е — группа Р62т
.ленных	а рис. 5.2.6,	5.2.и7 5.2.8,а , заключаетсяв		том,чт	о здесь	ре-
исходная точечная группа комбинируется с				непримитивной
шеткой. Ячейка, соответствующая			такой решетке, содержит			на-

клонные трансляции; поэтому кроме поворотных осей появляются

чередующиеся ними винтовые( в случае рис.5.2.8,а нарядус зер-

кальными плоскостями — плоскости скользящего отражения). Геометрический образ пространственной группы позволяет по-

лучить полное представление о входящих в нее симметрических операциях. Число этих операций всегда бесконечно,те .вс . е про-

странственные группы имеют бесконечный порядок. Однако если ограничиться одной элементарной ячейкой, то можно для каждой

циклической подгруппы указать операцию, представляющую собой

первую степень; это будет соответствовать перечню элементов симметрии, входящих в данную группу.

Группы, получаемые описанным путем, т. е. добавлением трехмерной решетки к кристаллографическим точечным группам, называются симморфными. Таких групп существует 73. Символ симморфной группы состоит из символа решетки (примитивной или

непримитивной) и символа соответствующей точечной группы. На рис. 5.4.1 приведены дополнительные примеры симморфных групп.

Несимморфные пространственные группы получаютсярп и частичной или полной замене закрытых элементов симметрии, входя-

щи вх симморфные группы,н а сходственные открытые, имеющие ту же ориентацию относительно осей координат. Так,из симморф-

ной группы Р2/т (рис. 5.4.1, гв, ) можно получить несимморфные

группы Р2 1т, Р2/а, Р2 /а (рис.5.4.2).

1

г

Рис. 542. Моноклинные несимморфные	пространственные группы:
а — группа P2i/m; б — группа Р2/а;	в — группа P2i/a

Всего существует32 0 пространственных групп симметрии. Впер-

вые их вывел в 1890г. Е. С. Федоров (несколько позже к'тому же результату пришел А. Шенфлис). По имени великого русского кристаллографа эти группы часто называют федоровскими. Полный

перечень пространственных	группси х	характеристиками	изо-
бражениями имеется в так	называемых	Интернациональных таб-

лицах, описание которых дано в разделе 5.5, а также в книге ГБ. . Бокия (см. список рекомендованной литературы).

172

рП и изображении пространственных

групп

чаще

всего

ис-

пользуется

расположение

координатных

осей,

показанное а

рис. 5.4.1,дв,и

рис. 5.Н4.2.

а

плоскости

чертежаос

Yь

располаг

ется горизонтально, ось X — вертикально, если решетка ортого-

нальна,ил пои

д

соответствующим

угломкос

и

вУ

случае косо-

угольной решетки. Ось Z считается направленной перпендикулярно

к плоскости

чертежа

(естественно,

за

исключением

триклинной

сингонии,дг е

ось,н е лежащаяв

плоскости

чертежа,

образуетсоп -

следней непрямой

угол,

рис. 5.а)4.1, .

Еслин

а

рисунке простран-

ственной группыос

и

координат

е обозначены,т о предполагается,

что они расположены именно таким

способом. Вместе с тем,

разу-

меется, допустимы и при необходимости используются и другие ориентации осей координат (см., например, рис. 5.4.1, г, где ось

У расположена наклонно по отношению к плоскости чертежа). Для гексагональной сингонии типично размещение координатных осей, показанное а рис. 5.4.е1, .

Каждая кристаллографическая точечная группа характеризуется определенной симметрией решетки (см. табл. 9) и соответствующей кристаллографической системой координатЭт. у координатную систему,а следовательно,и принадлежностьк соответст-

вующей сингонии сохраняети пространственная группа, генетически связанная с данной точечной группой. Что же касается правил,

определяющих взаимосвязь координатных осей и символа пространственной группы, то они вполне аналогичны правилам, дейст-

вующимлд я		точечных групп.
Например, несимморфную группу Стса можно получитьд -
бавлением		базоцентрированной		решеткиС к			точечной	группе
ттт с заменой части плоскостей зеркального отражения на плос-
кости	скользящего		отраженияЭ. а		группа,к к		и * группа ттт,		-
относитсяк		ортогональной сингонии				ортогональной системойко
ординатТр. и		позициив	символетт и т	в	соответствующей части
символа пространственной группы тса						отвечают осям X,		У, Z. Со-
гласно	этомун а		рис. 5.4.гд3,б,		е	изображена проекция			групп
Cftica,	перпендикулярноос Xи			располагается плоскость				т, пер-

пендикулярно оси У — плоскость с, перпендикулярно оси Z— плоскость а. Кроме того, благодаря непримитивности решетки здесь

присутствуют плоскости 6, чередующиесяс плоскостямиаг и , плоскости п, чередующиесяс плоскостямис . Наличие трансляции, центрирующей грань ХУ, вызывает еще,одно примечательное следствие: плоскость а, перпендикулярная оси Z, здесь в то же время является плоскостью Ь.

Приведенный пример указывает на неоднозначность той симво-

лики пространственных групп, которая была использована выше (подобно соответствующей символике точечных группэт а симво-

лика называется международной). Так, группу Стса можно обо-

значить Cbca, Cmna) Cmnb, Cbna и другими способами. Нсодно-

•'значность подобных обозначений увеличивается, если /допустить возможность переименования осей координат. Например, если поменять местами наименования осей X и Z, то рассматриваемую

173

группу можно обозначить символами Abam, Acnb и т. д. Важно, однако, подчеркнуть, что международный символ, как бы он ни

бы л записан, вполне определенно	описывает характери	относи-
тельное расположение элементов симметрии, входящих в данную
пространственную группу. Именноэт	о обстоятельство	обусловли-
вает широкое употребление международной символики. Стандарт-
ным считается тот способ обозначения и выбора осей координат,
который использованв Интернациональных таблицах.

{4 .

1

~1

<+ ,

»

1

t

4-

-f-

i

-9" 'IЛ

$

|—— f i

t

r

7 ^ _

~

1

<t

+-t

Ч

- —F6—•—0—

-I—I

*1-

:*

1

1

'1

1 -

1-

1

Рис. 5.4.З. Ортогональные несимморфные пространственные группы.

—а

группа P2i2i2б—t;

группа Стса

Гораздо реже для обозначения пространственных групп применяется символика Шенфлиса. Здесь к символу точечной группы в качестве верхнего индекса добавляется порядковый номер обозначаемой группы в списке пространственных групп, выводимых из

данной точечной. Например, группа Стса записывается как D^.

Такой символ вполне однозначен, ов	явном	виден е дает ника
кой информации пространственной группеин е		может быть рас-

шифрован без использования справочных таблиц.

Рассмотрим особо один важный пример неоднозначности описания пространственных групп с помощью международных символов. Речь пойдет о группе Р2\/а (рис. 5.4.2, в), но Шенфлису

обозначаемой C\Эт h. а группа чаще всего, намного чаще других встречается в кристаллических структурах. Прежде всего, если поменять местами названия осей X и F, то группу нужно будет обозначить Р2\/Ь. Затем,соУ ь можно направить о диагонали ячейки, показанной на рисунке, что не противоречит правилам выбора кристаллографических осей. Тогда в новой ячейке скольжение, присутствующеев плоскости симметричности, будет иметь

диагональное направление		группа обозначится Р2\/п. Кромето	-
го, хотяв	соответствии	Интернациональными таблицамивмо	-

ноклинной сингонии стандартным считается выбор осей координат,рп и которомсо Z ь перпендикулярна косоугольной грани

174

v/ К, /К./

•ЛЧ .МА,i1 Cx* v •~Т

•т^Л. .^

: / У'Л>>

^л<*\-А

-/\;/v-Vj\^4^

л^_>^л{1\ т

Рис. 5.4.4. Несимморфные пространственные группы средней категории

—а группа Р4 /тпт,б— группа Рб^/ттс

2

ячейки,в	сложившейся	кристаллографической			практике	очень
частов	качестве такойос	и	выбираютос Уь	(тогда	непрямой	угол
координатного креста		—	угол моноклинности —		обозначается р).

Втаком случае помимо фигурировавших выше обозначений Р2\/а

иР2\/п возможно обозначение Р2\/с, если скольжение направлено вдоль оси Z. Последний способ обозначения рассматриваемой

группы, пожалуй, чаще всего встречается литературе

В

символах

тетрагональныхи

гексагональных

пространствен-

ных групп, как и в символах точечных групп средней категории,

первая позиция (после обозначения типа решетки) соответствует

ос Zи

,

вторая—ос

и

X, третья—

направлению,

образующе

осьюX

угол а=180°М- Так,в группе

Р—пт

(рис.5.4.4,а

)

вдольос Zи

проходит

винтоваяос ь

4и2

нормальк

плоскостит

,

перпендикулярноос

Xи

располагается

плоскость ап,

перпендику-

лярно

диагонали

основания

ячейки

(а = 45°) --

плоскость

т; по-

скольку

трансляция а

наклонна

по

отношению

к

диагональным

плоскостямга

,

последние

чередуются

плоскостями

скользящего

отраженияН.

а

примере

группы

Р—тс

(рис 5.44,б

)

можно

т

сопоставить

изображение

группыс

ее

символомд

я

случая

гек-

сагональной

сингонии.

Мы опускаем рассмотрение достаточно громоздких пространственных групп высшей категории, отсылая читателя к рекомендованной литературе (Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. Геометрическая микрокристаллография; Белов Н. В. и др. Атлас пространственных групп кубической системы).

Остановимся

еще на орто-

гональной

группе

Fdd2

(рис.

5.4.5).

Здесь

присутствуют

плоскости

скользящего

отра-

женияd , которые встречаются

тольков

пространственных

группах с гранецентрированной

решеткой,гд оне

и

располага-

ются

параллельно

координат-

ным плоскостям,ив

группах

с

объемноцентрированнойре

-

Рис.

545. Пространственная

шеткой,гд оне

и

располагаются»

группа

параллельно

диагональным

Fdd2

плоскостям.

Отразившись в

плоскости d,

точка

сдвигается

трансляции,

т. е. на

1/4

на

половину

диагональной

соответствующей

диагонали

плос-

кой

ячейки. Это видно

из

рис. 5.4.5,

где

показаны

точки,

размно-

женные

плоскостямиd .

Высоты точек, е. и.

х

координаты z,

при-

веденыв

относительных

единицах( в

долях

трансляции

рсп ) ,

и

этом

буква

z опущена.

Например,

обозначение

+

соответствует

176