Глава 3

ГРУППЫ ТРАНСЛЯЦИЙ

3.1. ТРАНСЛЯЦИИ, РЕШЕТКАИ		ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ
	ПОВТОРЯЕМОСТИ
Трансляцией	называется симметрическая		операция,		представ-
ляющая собой	поступательное перемещение		(сдвиг)н	а	величину

некоторого вектора t. Такая операция содержится в группе сим-

метрии

синусоиды; действительно,пр

и

сдвиген а

величину периода

синусоида совмещается самас

собой. Трансляция

присуща также

всякой идеальной кристаллической структуре.

ы

будем упот-

Векторt

тоже часто называют трансляцией,м

реблять этот

термин в

таком

смысле.

Характерным свойством

вектора t является то, что, перемешая

ег о относительно рассматриваемойфи

-

гуры

параллельно

самому

себе,

мы

всегда

должны

находитьвег

о

концах

эквивалентные точки.

себе

струк

Мысленно

представив

туру NaCl

(рис. 3.1.1)

бесконечной

можно убедиться, что всякий вектор,

соединяющий в этой структуре два од-

ноименных

атома,

есть

трансляция;

сдвигн

а

величину

такого

вектора

приводитк

самосовмещению

структу-

ры. Однако подобная ситуация встре-

чается

редко—

лишьв

некоторых

•

простейших

структурах. Гораздо чаще

далекон

е

всякий вектор, которыйсо

-

единяет

атомы

одного элемента,

ока-

зывается трансляцией. Ниже мы встретимся с многочисленными

примерами такого рода.

Совокупность трансляций, присущих какой-либо фигуре, на-

зывается группой трансляцийЕ . е можно рассматриватьак к группу симметрических операций или как группу векторов (этидве

группы изоморфны). Групповое действие сводитсяк сложению векторов, которое, разумеется, ассоциативно; единичный элемент группы — вектор, равный нулю. Всякому входящему в группу

трансляций	векторуt соответствует равныйп о		величине	проти-
воположный	о	направлению вектор —t, также входящийэт		у
группу. Для		простоты будем считать, что	все содержащиеся

в группе векторы исходят из одной точки (начало координат). Группы трансляций могут быть непрерывнымии дискретными.

Группа векторов называется дискретной, если существует поло-

99

жительное число s, такое,чт о всякий ненулевой вектор группы о

модулю больше s. В дальнейшем нас будут интересовать только

дискретные группы трансляций.

Если все векторы, входящие в группу трансляций, направлены вдоль одной прямой, группа называется одномерной; если они

лежатв

одной плоскости, группа называется двумерной; если

среди векторов найдутся три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости), группа называется трехмерной. Применительно

к кристаллическим структурам для нас будут в первую очередь важны трехмерные группы,н о пока рассмотрим детальней двумерные дискретные группы трансляций, преимуществом которых

является их наглядность.

Основное свойство таких групп определяется следующей теоре-

мой:

всякая дискретная

двумерная

группа

трансляцийТ

содер-

жи двт

а

вектора иtio

t0i,

таких,чт

о

любойе

е

вектор

tmn может

быть

представленв

виде

tmn=

mtio+ ntгд0i,

е

тип—

целые

числа.

группеТ

это

Доказательство. Выберемв

какой-либо ненулевой вектор так,чтобы

был

кратчайший из

векторов, параллельных некоторой прямой. Обозначим

его tio (рис. 3.1.2). В

качестве

вектора

toi выберем один из векторов,

имеющих

минимальную проекциюн

а

направление,

перпендикулярное tio. Очевидно,чт

о

кроме

нуль-вектора

и векторов tio, toi, tio + toi ни один

вектор

группы

Т

не

окан-

чивается

внутриил

ни

а

границе

параллелограмма,

построенного

а

векторах

tio

и

toi. Разложим какой-либо

вектор

tmn

по

векторам

tio

и

toi:

t m n =

=

H-tio + vtoiОбозначим

через Н/

и v'

наибольшие целые числа, не превышаю-

щие (я и v соответственно.

Ясно,

что вектор \mtl = |i't10 + v't01

принадлежит

группеТ . Следовательно, вектор

\тп—

tmn ~

(f1 ~~~ М-') *ю ~l~ (v — v')*oi

также

содержится

в группе Т.

Числа |А—м/

и v—v' меньше

единицы.

Если

хотя бы

одноиниз

н х

е

равно нулю,т

о

вектор

t m n —t'mn

оканчивается

внутриил

н и

а

границе параллелограмма,

построенного а

векторах

иtio

чтtoi,

о

невозможно.

Отсюда вытекает, что |i и v — целые числа.

Доказанная теорема устанавливает решетчатое строение группыТ . Заполним плоскость параллелограммами, стороны каждого

из которых равны tj0	и toi, так, как это показано на	рис. 3.1.3.
Обозначим вершины	параллелограммов символами Атп.	Согласно

Ри с 3К.1.2.	доказательству	Рис. 3.1.3. Взаимно однозначное
теоремы о решетчатом строении		соответствие трансляций и узлов
группы трансляций		решетки

доказанной теореме всякий вектор tmn, принадлежащий Г, должен оканчиваться соответствующей точке Атп. Справедливои обратное утверждение: каждой вершине Атп отвечает некоторый вектор

100

tmrt, входящий в группу Т. Совокупность точек Атп называется решеткой (или узловой сеткой), соответствующей данной группе

а Т,	сами точки—Атп			узлами этой		решетки. Числа тип назы-
ваются индексами трансляций					узловН.	а рис. 3.1.3 приведены
примеры таких			индексов	(если	индекс	отрицателен, знак «минус»
записываютан		д ним).
	Векторы	tioи	toi будем называть основными (или базисными)

векторами группыТ . Пара этих векторов образует репер (или базис) решетки. Выбор базисных векторов можно осуществить по-разномуВ. о всякой двумерной дискретной группе трансляций присутствует бесчисленное множество пар векторов, способных сыграть роль основных (приведенное доказательство указывает возможные способы выбора базисных векторов). Но вид узловой сетки, соответствующей данной группе Т, не зависит от выбора

репера. С другой стороны, каждой узловой сетке соответствует

вполне определенная группаТ : совокупность входящихэт у группу векторов нетрудно получить, приняв некоторый узел а начало координат и соединив его с прочими узлами. Таким образом, между множеством двумерных дискретных групп трансляций и множеством решетчатых узловых сеток существует взаимно однозначное соответствие; узловая сетка является точным геометрическим образом группыТ .

Всякий параллелограмм, построенный на двух трансляциях,

называется параллелограммом повторяемости. Такие параллелограммы делятся на два типа: примитивные и непримитивные. При-

митивным называется параллелограмм повторяемости, построен-

ный а базисных векторах; н содержит узлы решетки только в вершинах. Поскольку выбор базисных векторов можно осущест-

вить множеством способов, примитивный параллелограмм повто-

ряемости данной группыТ может быть разнымН. а рис. 3.1.оп4 -

казано несколько вариантов выбора примитивного параллелограм-

ма, показаны также некоторые непримитивные параллелограммы

повторяемости.

Остановимся на одном из возможных способов выбора при-

митивного

параллелограмма повторяемостидл

я

данной

группыТ

(для

данной узловой

сетки)

заполним

плоскость такими парал-

лелограммами

(рис. 3.1.5). Затем,

оставив

узловую сетку

непод-

вижной, несколько сместим систему параллелограммов. Очевидно,

что внутри каждого параллелограмма окажется лишь один узел.

Точно

такойж

е

результат получитсяпр

и

всяком

другом

выборе

примитивного

параллелограмма

повторяемости. Отсюда

вытекает,

тч о площадьS o

любого

примитивного

параллелограмма

данной

группыТ

одинакова.

параллелограммы

повторяемости

содержат

Непримитивные

узлын

е

тольков

своих вершинах,

площадь такого

параллело-

грамма всегда равна &So, где k — число узлов, приходящихся на один параллелограмм. Таким образом, площадь непримитивного параллелограмма кратна площади примитивного параллелограм- м а повторяемости.

101

Обратимсяк конкретному примеруН. а рис. 3.1.6 показано строение молекулярных слоев, присутствующих в кристаллах внут-

рикомплексного соединения—		димстилглиоксимата никеля, струк-
турная формула которого имеет вид
	он.. .		О'
•у'		Ni	СI
			N ^СН,
н/%*			>' X
		С" ., НО
Молекулы этого вещества	имеют		плоское строение (из плоскости
выходят лишь некоторые атомы Н			метильных групп, для простоты

\ r \ \ \ ~ ~ v ~ \ r \

Рис. 3.1.4. Примитивные и непримитивные параллелограммы повторяемости

V Л т

Рис. 3.1Н.5. а	любой примитивныйпа -	Рис 3.1.6. Строение плоских молеку-
раллелограмм	повторяемости прихо-	лярных слоевв кристаллах диметил-
дится один узел решетки		глиоксимата никеля

102

этим можно пренебречь). В кристаллах плоскости молекул совпадаютс плоскостями изображенных а рисунке слоев. Группа сим-

метрии такого слоя включает

себя определенную двумерную

группу трансляций— решетку, которая выделена а рисунке.

Отметим особо два обстоятельства. Во-первых, в принципе начало координат (узел 00) можно выбрать где угодно. Это зна-

чтчит, о система узлов может смещаться относительно рассматриваемого расположения, но лишь как жестко фиксированное целое.

Во-вторых, если выбрать начало координат в одном из атомов

Ni (такой выбор наиболее удобен), то лишь половина атомов Ni окажетсяв узлах решеткиЭт. о связанос тем,чт во слое присутствуют молекулыс разной ориентацией.

Приведенный пример позволяет почувствовать принципиальную разницу между понятиями «кристаллической структуры» и «кристаллической решетки». Первое отвечает конкретному расположению атомовв веществе, второе— математическая абстракция, определяемая совокупностью присутствующих трансляций. Если из рассматриваемого слоя мысленно удалить половину молекул, оставив лишь молекулы с одинаковой ориентацией, решетка останется прежней, хотя структура слоя, конечно, будетжу е другой.

Сделанные выше выводы нетрудно распространить и на трехмерные дискретные группы трансляций. Для таких групп будет справедлива теорема: всякая дискретная трехмерная группа

трансляцийТ		содержиттр	и	вектора tioo,	toioи	tooi, таких,чтлюо	-
бой ее	вектор tmnp может			быть представлен		в виде tmnp = mtioo +
+ fttoio + ptooi, где m, п и р — целые числа.							можно
Н а	трех	векторах, удовлетворяющих условию теоремы,
построить		примитивный	параллелепипед		повторяемости.		Выбор

базиса, т. е. тройки основных векторов, и соответственно примитивного параллелепипеда неоднозначен, однако объем такого па-

раллелепипеда не зависит от способа выбора базисных векторов. Вершины примитивных параллелепипедов, заполняющих трехмерное пространство, образуют решетчатую систему узлов Лтпр (с ин-

дексами тпр). В каждом узле Атпр заканчивается вектор tmwp, исходящий из начала координат — узла 000.Всякое трехмерное периодическое расположение (например, идеальная кристалли-

ческая структура) характеризуется некоторой группой трансляций

и соответствующей ей решеткой, инвариантной относительно выбора трехмерного репера.

Тесная связь — взаимно однозначное соответствие — между совокупностью трансляций системой узлов позволяетна м употреблять термин «решетка»в двояком смысле, обозначаяи м первое и второе.

На каждый примитивный параллелепипед приходится один

узел решетки. Непримитивные параллелепипеды повторяемости

содержат узлы не только в своих вершинах. На такой параллеле-

пипед приходится k узлов (&>1), и его объем в k раз больше

объема примитивного параллелепипеда.

103