3.2. СИММЕТРИЯ РЕШЕТКИ

Представим совокупность трансляций, составляющих некотору ю трехмерную группу вТ, виде пучка векторов, исходящих з

начала координат. Поскольку такая фигура имеет особенную неповторяющуюся точку, ее симметрия может быть описана точеч-

ной группой. Будем считать,чт это			а группа выражает «симметрию
решетки», и назовем ее		группой	/С.	К. Для	решения	этого1
	Выясним, какой может быть группа
исключительно важного вопроса			потребуется ряд теорем.
и з	Теорема \. Группа К содержит центр			инверсии. Это вытекает
	того,чт о нарядус о	всяким векторомt		группаТ	содержит	век-
от р	—t.

Теорема 2. Группа К не содержит осей симметрии (поворотных

и инверсионных) пятого, седьмого и более высоких порядков и

может содержать оси второго, третьего, четвертого и Щестого порядков.

Доказательство.	ЕслиК	содержитос	пь	(или гдп), е я>2,т о	хотяб ы	одна
трансляция группыТ	перпендикулярна		этой	оси. Действительно,	пусть	вектор

ti, входящий в Т, не параллелен п (или п). Под действием операции п (или п)

ti преобразуетсяв			t2. ^Очевидно,			вектор ti—12 (или+ti	t2) принадлежитТ и		пер-
пендикуляренп		(или п).			з	трансляций, принадлежащихТ и		перпендикуляр-
Пусть—t0		кратчайшаяи
ныхос пи ;	будем		считать,чт	о	/0	исходит з узла Ль	лежащегоноса	и пи(\)
определяет	узловойяр д AiA2			(рис. 3.2.1,а; подразумевается,чсо о ь n(i) перпен-

а

	Рис.	3.2 1. К	доказательству теоремы		о порядках осей, до-
	а —		пустимых для группы		/<":
		случай поворотных осей, б — случай инверсионных
				осей
дикулярна плоскости чертежа). Через узел Л					я(2) узел AI		преобразуетсяв
ri(i)и	параллельная Поей		д	действием операции
узел Л/; под действием операции, обратной по отношению к щ^, узел Л
разуетсяв Аг. Очевидно,чт			о	отрезок Л/Л/ параллелен		отрезку	Л
вательно, узловой ряд Л/Л/ идентичен узловому ряду Л1Л								ясно, что
Ai'Az'^mto, где т — целое число. С другой стороны, из рис. 3.2.1, а
У41	/Л2/ = 10—2t0cos ф. Следовательно, mto = t0—2t0cos иф					—1 т		Поэтому
						cos ф =—-—•

104

m может		принимать лишь следующие значения: — 1, О, 1, 2, 3.					Тогда	ср = 0°, 60°,
90°,	120°,	180°,	и порядок		поворотной оси соответственно может		быть	равен 1, 6,
4, 3	или 2.			А\и
	Если	через	узлы		Л2 проходят инверсионные и я,от ,	используя		-
строение,		показанноен а		рис. 3.2.1,6, аналогичным способом		получим соотноше-
ния	mto=				га— 1			+2t
					t

Теорема3.

Если

группаК

содержит подгруппу

Сл, егд

п^

= 3,4,6, то она содержит и подгруппу Cnv

Доказательство. Пусть

ось

п проходит через узел О,

а

ОА

—

кратчайшая

из трансляций, перпендикулярных к этой

оси (рис.

3.2.2). Размножим

ОА

дей-

ствиемос п и и

построим

соответствующую

узловую

сетку (совокупность

узлов,

обозначенных кружками, на

рис.

3.2.2). При п — 4 эта

сетка

состоит

из квадратов,

-о

-о

О

-о

-О

Рис.

3.2.2К.

доказательству

теоремыо

наличии

вертикальных

пло-

скостей симметрии в решетках

с осями высшего порядка:

—

а случай

/г=б—4,

случай

п =6ли 3и

при

п = 3 или 6 — из

равносторонних

треугольников. Пространственная

узловая

решетка

представляет

собой совокупность

идентичных параллельныхи

равноот-

стоящих

сеток, и группа симметрии каждой из этих сеток должна

включать в

себя

исходнуюос

пь .

Следовательно,пр

и я=4

сетка, ближайшаяк

исходной,мо

-

жет занимать лишь одно из двух положений: а)

она

будет

точно

проектировать-

сян

а

исходную

сетку,чт

о

приводитк

решетке,

состоящейи

з

прямых

квадра

r0ных призм,бон ) а займет положение, показанное а

рис.

3.2.2,а

штриховыми

линиями;

поскольку вектор

0В

— это -трансляция, следующая (третья) сетка

бу-

де т

опять-таки

проектироватьсян

а

исходную

снова получится

решетка, сло-

женная из прямых квадратных призм, но с дополнительными узлами в их цент-

Прах.

даст

ип

6 —

соседняя сетка обязательно должна про

что

решетку, образованную правильными трехгранными призмами

(парал-

лелепипед

повторяемости можно выбрать

виде прямой призмы,в

основанийко

-

105

торой лежит ромб с углом 120°). Наконец, при п= 3 смежная сетка расположится так, как это показано на рис.3.2.2,6 штриховыми линиями, следующая (третья) сетка займет положение, изображенное штрих-пунктирными линиями, лишь четвертая сетка будет проектироваться на исходную. Возникновение описанной

узловой решетки обусловлено тем, что	вектор	0В — это трансляция, порождаю-
ща я узловойря д ОВС. Здесь присутствуют	такиеж е	параллелепипеды повторяе-

мости, как и в предыдущем случае, но с двумя дополнительными узлами на объемной диагонали. Все построенные решетки имеют п вертикальных плоскостей

симметрии, проходящихпо	д соответствующими			углами	через исходныеос и /г,
что и требовалось доказать.				упростить, опустив		детальное
Приведенное доказательство можно было ы
описание возникающих	решеток,	однакоэт о	описание будет		полезнодлна я вс
дальнейшем.
И з множества точечных		групп	лишь	семь удовлетворяют тре-
бованиям всех трех	сформулированных теорем,а				именно	группы:

1, 2/m, mmm, 4/mmm, Зга, 6/гагага, гаЗт. Только такую симметрию может иметь пучок трансляций Т. Соответственно только эти груп-

пы, называемые голоэдрическими, могут	описывать симметрию
трехмерной узловой решетки (если одини з	узлов этой решетки—
—началокоординат	считать особенной точкой).

3.3. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В настоящем разделе нам предстоит познакомиться с так на-

зываемыми кристаллографическими координатными системами,

которые имеют существенные	преимущества	и описании	строе-
ни я свойств кристаллов. Такиеос	и координат	направляютп	о

узловым рядам с учетом симметрии решетки, причем каждой из голоэдрических группК удается приписать специфическую естественную систему координат. Но прежде чем перейти к описанию таких систем, нам будет необходимо ввести некоторые важные

понятия.

Направление в трехмерной решетке, по которому проходит ось

п или	/Г с порядком я>1, называется особым. Такие направления
обладают двумя важными свойствами:
1)	вдоль особого направления всегда проходит узловой ряд,
2)	перпендикулярно особому направлению всегда располага-

ется узловая сетка.

Действительно, выберем на поворотной оси п начало координат (узел Ai) и рассмотрим произвольную трансляцию AiA2 (рис. 3.3.1). Размножив эту трансляцию действием оси, получим трансляции А\.А^ А^А^ ..., AiAn+i. Очевидно, что

сумма этих равных по длине и равнонаклонных по отношению к оси п векторов

есть	трансляция, направленная вдольос		и	порождающая	узловой рядПо.		-
скольку инверсионныеос 3 и 4 ,и б		содержатв	себе поворотныеос 3и 2 ,и 3со		-
ответственно, остается рассмотреть случай 2, т. е. установить, что в решетке всег-
да	найдется узловой ряд,перпендикулярный			плоскостиН .	о	всякая узпара	-
лов,	связанных отражением	в плоскости, дает		трансляцию, которая		перпендику-

лярна к этой плоскости, а следовательно, и искомый узловой ряд. Итак, первое свойство особых направлений доказано.

106

Существование узловой сетки, перпендикулярной оси п с /О=3, вытекает из

доказательства теоремы3		предыдущего	разделаДл. я	анализа случая	п =2об	-
ратимсяк	рис. 3.3.2,а .	Пустьос 2ь и	произвольно	выбранный узелA	i	лежатв

плоскости чертежа, а Аз — какой-либо из узлов, не лежащих в плоскости чер-

тежа. Действиеос			и2	порождает				узлыиА2	иЛсо4		-
ответственно		трансляции		А\А2		и Л3Л4, перпендику-
лярные	этой оси; отложив ох				т	общего началако -
ординат, можно построить искомую узловую сетку.											-
Ка икпр	и	доказательстве			первого			свойства,иинз
версионных		осей	подлежит			рассмотрению			только
2осьт ,е . .	требуется		доказать,чт		о	параллельно
плоскости т проходит некоторая узловая сетка. Вы-
берем	начало	координат		(узел			AI)	на плоскости		т
(рис. 3.3.2,6). Рассмотрим две						любые не лежащие				в
плоскости m трансляции А\Аи 2							A\AZ. После отра-
жения в плоскости вектор А\А2							перейдет в A\A^t			a
вектор	А\А$ в—		А\А$.	Суммы			связанных		зеркаль-
ным отражением			векторов — это				две	трансляции, ле-
жащиев	плоскостион ; и			позволяют				построить

нужную узловую сетку.

Рис. 3.3.1. К доказательству существования узлового

ряда, проходящего вдоль особого направления

Рис 3.3.2К. доказательству существования узловой сетки, перпендикулярной особому направлению:^

а — случай оси 2? б — случай оси 2

Теперь	обратимся	непосредственнок	кристаллографическим
системам	координат.	Их выбирают в	соответствии с правилами,

которые приведены ниже. Базис такой системы составляет тройка некомпланарных векторова , сЬ, , представляющих собой кратчайшие трансляции по соответствующим осям. Совокупность векторов

а, Ь, с и противоположных им векторов —а, —Ь, —с образует

107

координатный крест *, который характеризуется шестью парамет-

рами; это отрезки а, Ь, с и три угла а = Ь, с,	р = а, с, Y = a> Ь. Па-
раллелепипед повторяемости, построенный а	кратчайших транс-

ляциях по кристаллографическим осям координат, т. е. на коор-

динатных векторах , сЬ, , называется		элементарной ячейкойПа .			-
раметры координатного креставт	жо	е время являются парамет-
рами ячейки.	заключаетсяв		чттом,	о	коор
Существенное обстоятельство
натные векторы а, Ь, с часто не являются базисными				векторами
решетки; тогда элементарная ячейка		оказывается	непримитивным

параллелепипедом повторяемостии содержит узлы решеткин е только в своих вершинах.

Кристаллографические оси координат выбирают в соответствии со следующими правилами.

1. Координатный крест должен быть инвариантен относитель-

но группы т/С, е. .		всеми операциями этой группы должен преобра-
зовыватьсяасв м	себятЭ. о главноеи обязательное		условие,		обес-
печивающее основные преимущества кристаллографических коор-
динатных систем.			к	однозначному		выбору
2. Если первое правило не приводит							-
координатной	системы, предпочтительным		следует		считатьто	ват
риант,пр и которомос и координат проходят			о	особым	направ-
лениям (при наличии таковых).				однозначному
3. Еслижи е	второе	правилон е приводитк

решению, оси координат выбирают так,чтобы элементарная ячейка имела минимальный объем (разумеется, при одновременном соблюдении предыдущих правил).

Опираясьн а сформулированные положения, рассмотримв д

координатного креста и соответственно элементарной ячейки для каждого из семи случаев симметрии решетки.

^В решетке, имеющей симметриюГ , особых направлений нет,и

любой узловойяр д может стать кристаллографической координатной осью. Любыетр и некомпланарные трансляции дают инвариантный крест. Единственное ограничение — минимальный объ-

ем элементарной ячейки, которая, следовательно, должна быть примитивной (рис.3.3.3). Такая координатная система называется

триклинной. Название связано тем,чт о углыа(3 , ,вv этом слу-

чае, вообще говоря, непрямые. Соответственно, решетка с симмет-

риейи ячейка, обычно представляющая соб

параллелепипед, тоже называются триклинными.

Если решетка имеет симметрию 2/т, координатный крест бу-

дет инвариантен в том и только том случае, когда одна из кристаллографических осей совмещена с единственным особым направле-

нием, т. е. с осью 2, а две другие расположены в перпендикулярной узловой сетке. Обычно с осью 2 совмещают координатную

Несколько иначе в

Зт-и 6/ттга. Подробней б этом сказано ниже.

108

осZь	(илиос У)ь	. Тогдан а параметры	координатного	креста
(рис.	3.3.4)	накладывается условие	а = (3 90= ° (или	а ==у 90°).

Требование минимума объема ячейки приводит к тому, что парал-

лелограмм, построенный а векторахи b (илиа и с) , должен

быть примитивным, но ячейка в целом, как будет показано в сле-

дующем	разделе,	может оказаться неиримитивной. Поскольку
один из	углов между		осями, вообще говоря, непрямой, эта коор-
динатная система		(а	также соответствующая ячейка и решетка
с симметрией 2/m)		называется моноклинной 1.

(лоскость

Ри с

333

Триклинная система

коорди-

Рис.

3.3.4.

Моноклинная

системако

-

нат и триклинная

ячейка

ординат

и моноклинная ячейка

В решетке симметрии ттт присутствуют три особых направ-

ления—

взаимно

перпендикулярныеос 2 и П .ни о

им направляют

координатный

кристаллографическиечтоси,

о

дает

инвариантный

крестса

= р = ? =90°

(рис.

3.3.5). Такая система координат

назы-

вается ортогональной12.

Решетка симметрии 4/ramm содержит пять особых направле-

нийось 4 и четыре попарно эквивалентные оси 2 в перпендику-

лярной

к ней плоскости

(рис.

1.3.3). Вдоль оси

4 направляют

ко-

ординатнуюос ZВь .

качестве осей

А'иУ

нужно

выбратьт у пару

-

эквивалентных осей2 , которая обеспечивает примитивностьпа

райлелограмма,

построенного а

векторахи

b

(рис.

3.По3.6).

-

скольку эти оси 2 связаны осью 4, параметры

а и b равны,

что

в

сочетаниис условием

a^p^v^9 00 определяет

форму

элемен-

тарной ячейки. Координатная система называется тетрагональной.

Особая ситуация

возникает

решеткес

симметрией Зт. Здесь

есть четыре особых

направления:ос

3ь и тр

и

перпендикулярные

ен к й

эквивалентныесо2 и

(рис.

1.3.7,6). Инвариантный коорди-

натный крест можно получить лишь при видоизменении его стан-

дартной формы,

причемв

координатную

систему войдут четыре

* Заметим, что и в последующих случаях название координатной системы

переносится на соответствующие ей решетку и ячейку.

2 Эту координатную систему без достаточных оснований часто называют «ромбической».

оси (рис.3.3.7, а):УX, ,			(/,иZ, з		которыхтр	и первые	направлены
вдоль осей2а ,	последняя—		вдольос 3 и .		Однакодл я	описания	поэтому
положения точкив		пространстве		достаточно		трех осей;
ось U практически		не используют, а элементарную ячейку строят,
ак к обычно, а	координатных осях			X,У	Z , . Параметры ячейки

Рис.	3.3 5. Ортогональная	(ромбиче-	Рис. 3.3.6. Тетрагональная система
ская)	система координат	ортого-	координат и тетрагональная ячей-
	нальная ячейка

	Рис. 3.37. Гексагональная система координат	и гексагоняльпня ячейка-
а	— координатный крест, б — расположение ячеек в решетке (проекция ндоль
	Z оси	)

подчиняются			условиям:		а=р = 90°, у-120°, а =Ь. Эта координат-
ная	система		называется		гексагональной. Название				обусловлено
тем,чт	о	в узловой		сетке,	параллельной		плоскости	XY, можновы -
делить		систему		правильных		шестиугольников			(гексагонов)
(рис. 3.3.7,6). Модели кристаллических структур									такой коорди-
натной		системой удобно			представлять		в форме	гексагональных
призм		(примерысвм		разделе 3.5).

110

Точно такаяж е система координат соответствует решетке

с симметрией б/mmm, в которой присутствует семь особых направлений: ось 6 и шесть перпендикулярных к ней осей 2, составляющих две тройки эквивалентных осей. Вдоль оси 6 направляют ко-

ординатнуюос	ь Z;в	качестве осей УX,	, U	выбирают	однуи з
троек осей	второго	порядка. Элементарная ячейка			имеет ту же
форму, что и для решетки симметрии Зт.				инвариантный коорди-
Наконец,в	решеткес симметрией		m3m

натный крест получается в том и только том случае, когда крис-

таллографическиео

и

совмещеныс

тремя взаимно

перпендику-

лярными

осями

четвертогопо

-

^7

рядка (рис. 3.3.8). Посколькуэт и

~ ь

троси

и4

эквивалентны

(они свя-

заны

осями

третьего

порядка),

,

/

Xй

ячейка

имеет

форму

куба,т е . .

№0°

«^p^Y^QO0 ,

a = b = c.

Такая

кристаллографическая

система

г

&6

,1

называется кубической.

А—— -«—

Таким образом, семи голоэд-

рическим

группам, описывающим

симметрию

различных

решеток,

отвечает шесть координатных си-

стем,

которые

перечислены

в

табл7. .

Отметим,чт дло

я

реше-

ток с симметрией mmm, 3m,

Рис. 3.3.8. Кубическая система коор-

4/mmm

и

m3m

кристаллографи-

динат кубическая ячейка

ческая система координат выби-

рается однозначно. В решетке симметрии б/mmm возможны два эквивалентных способа выбора координатных осей. В решетках,

описываемых группами1 и				2/т, кристаллографическиеос		и коор-
динат можно выбрать многими способами.
					Т а б л и ц а 7
		Координатные системы кристаллов
Симметрия	Условия, налагаемыен а			параметры ячейки	Название координатной системы
решетки					(решетки,	ячейки)
Г	а = р = 90°		—		триклинная
2/т					моноклинная
tntntn	а р===	Y90=	°		ортогональная
4/ mmm	a =p = Y=90°, a=b				тетрагональная
Зт	\ а ^р^90°,		у=	120°, a =b	гексагональная
6/ттт
тЗт	а =р= у=	90° , a=^b ^c			кубическая

111

В следующем разделе нам потребуются данные о координат-

ных системах двумерных решеток (потребностьвин х вообще

возникает достаточно часто). Поэтому проведем аналогичный анализилд я двумерных группТ .

о-

а

-О

о—

Рис. 3.3.9. Координатные системы и ячейки узловых сеток

Сначала рассмотрим симметрию узловых сеток. Здесь можно было ы воспользоваться двумерными точечными группами, однако, коль скоро они не фигурировали в нашем изложении, будем

по-прежнему пользоваться		трехмерными группами,		считая,чт	о
с узловой сеткой всегда совмещена плоскость .
Очевидно, что для двумерного пучка трансляций справедливы
теоремы, сформулированные			разделе 3.Н2. о еслив	трехмерном
случае эти	теоремы приводят		к семи голоэдрическим точечным
группам,	то применительно	к	двумерным узловым	сеткам	неко-

торые из этих групп следует исключить. Прежде всего нужно от-

бросить группу 1^ как не содержащую плоскости т. Кроме тогог отпадает группа Зт. Действительно, ось 3 может быть ориентиро-

вана только перпендикулярно узловой сеткеН. во группене3/п т

плоскости т, перпендикулярной оси 3. Очевидно, что к узловой

сетке неприменима		и группа гаЗт. Таким		образом,	симметрия
двумерной	решетки	описывается	только	группами	2/т, тгага,
А/ттт и 6/ттт (голоэдрические			группы	/С для двумерного слу-
чая) .	выберем	двумерных	решетках кристаллографические
Теперь

координатные системы подобно тому, как это было сделано для

112