трехмерного случая. Естественно, здесь мы имеем дело с двумер-
ным	координатным	крестом,	содержащим	векторыа , Ь,	—а, —Ь,	у.
и двумерной ячейкой, характеризующейся				параметрами	, и Ь
Правила выбора кристаллографических осей остаются прежними
тос	й лишь разницей,чт		о требование минимума объема я
заменяется требованием минимума ее площади. Конечный резуль-
тат представлен в следующей таблице:
	Симметрия решетки	Условия, налагаемые		Название координатной системы
		на параметры ячейки		(решетки, ячейки)
	2/ш		Y -90°	косоугольная
	mmrn			ортогональная
	4/mmm	у = 90°, а~Ь		тетрагональная
	6/mmm	Y - = 120°, а = Ь		гексагональная

Соответствующие ячейки показаны на рис.3.3.9.

3.4. ТИПЫ РЕШЕТОК (ТИПЫ БРАВЭ)

Мы приступаем к изложению очень важного вопроса, правиль-

ное понимание которого необходимолд я		каждого,т о имеет дело
с кристаллическими	структурами. Междуте м здесь нередко встре-
чаются характерные	ошибки (дажев	специальной	литературе).
Существует лишь небольшое число типов решеток, их нетруд-
но перечислить. Это	обстоятельство	представляет	собой точный
математический факт. Вместе с тем		число возможных кристалли-

ческих структур бесконечно, и установление типа решетки, присутствующейто илй и иной кристаллической структуре,— альная задача. Важно помнить, что узел решетки вовсе не адек-

ватен атому (или молекуле)в	структуре,оеч		м	красноречиво
свидетельствует пример, приведенный а				рис. 3.1.6.
В настоящем разделе речь	идет	только	об узлах решетки —
тэо необходимо подчеркнуть, чтобын е		сложилось		неверное	пред-
ставление, которое впоследствии придется преодолевать.					Сначала

мы приводим перечень и описание всех типов двумерных и трехмерных решеток, а затем даем последовательный вывод этих типов, который при желании читатель может пропустить. Основной

с практической точки зрения вопрос — определение типа решетки

в	конкретной структуре—			пока		останется		открытым. Частично
он	будет рассмотренв		следующем			разделе,ндло я		окончательного
его решения нельзя			обойтись		без материала, представленного
в главе 5. Только в разделе 5.5 будут даны полные рекомендации,
позволяющие безошибочно определитьти							п	решеткив		каждом кон-
кретном случае.				трансляций			(илидв	е	узловые	решетки)
Др е		секторные группы
называются однотипными, если они имеют одинаковую голоэдри-
ческую		группу симметрии		К и	если		при этом		одна из	них может

быть преобразована в другую непрерывной деформацией, причем

в процессе деформации симметрия пучка векторов должна быть

не ниже /С Здесь подразумевается, что деформация состоит в изменении численных значений параметров координатного креста. Соответственно тип решетки представляет собой совокупность

однотипных решетокЭт. и определения справедливыдл я решеток любой размерности.

Чтобы охарактеризоватьти п решетки, необходимо достаточно указать два ее признака: а) координатную систему, б) тип «центрировки» ячейки.

Мы уже говорили, что элементарная ячейка может быть как примитивной, так и непримитивной. Но если оси координат выбраны правильно, то дополнительные узлы (т. е узлы, не лежащие

в вершинах ячейки) возникают лишь в некоторых вполне опре-

деленных позициях, и число возможных вариантов невелико. Не-

примитивные ячейки (и соответствующие решетки) называют так-

же центрированными.

Рис.	3.4 1. Типы узловых сеток
В двумерном случае центрированная		ячейка возникает	только
в ортогональной сетке (рис.	3.4.1)В. итоге	существуют лишь5ти	-

пов двумерных решеток: 1) косоугольная примитивная, 2) орто-

гональная примитивная, 3) ортогональная центрированная, 4) тет-

рагональная примитивная, 5) гексагональная примитивная.

114

Рис. 3.4.2. Примитивная и центрированные элементарные ячейки

Т а б л и ц а ^ 7

8

Возможные

способы размещения

узловв

элементарной

ячейке

Ячейка

Обозначение

Описание

Примитивная

Р

узлы только в вершинах ячейки

Объемноцентрированная

I

дополнительный

узелв

центре объема

Базоцентрированная

С (А, В)*

дополнительные

узлы

в* центрах

двух

Гранецентрированная

F

противолежащих граней

дополнительные

узлыв

центрах всех

Дважды

объемноцентрирован-

R

граней

два дополнительных узла на объемной

ная

диагонали, делящие эту диагональ на

три равных отрезка

с

* Обозначение С относится

к ячейке,

у

которой

центрирована

грань аЪ\ ячейки

дополнительными

узламин а гранях beи а с

обозначаютсяА и В

соответственно.

В трехмерном случае возможны различные способы центри-

ровки

ячейки

(табл. 8 и рис. 3.4.2). Но для

каждой

голоэдричес-

ок й

группы симметрии

решетки реализуются только некоторыеи з

этих вариантов. Так,триклйнная ячейка всегда примитивна, что

уж

е

отмечалось

выше;

тетра-

гональная

ячейка может

быть

координатная система

Способ центрировки

примитивной

и

объемноцент_______

рированной; дважды объемно- ———————

Р

центрированная

ячейка

возни-

Триклйнная

А (В)

кает только

к

при симметрии ре-

Моноклинная

Р,

F,

шетки

—

к

г

Ортогональная

Р/,

/

,(АСВ),

Зт.

Полный

перечень

Тетрагональная

Р,

ТИПОВ

решетки

(ИЛИ,ТТЧ О О

Гексагональная

Р,

Я

еж ,

типов ячейки) таков:

Кубическая

Р/ ,F ,

115-

Таким образом, существует1 4	типов трехмерных	решеток	(со-
ответствующие ячейки изображенын	а рис. 3.4Эт.3). и типы носят
имя французского кристаллографа	О. Бравэ, который	нашел	их
в 1848 г.

-rx

Рис 3.4.3 14 типов элементарных ячеек (типы Бравэ)

Важной особенностью гексагональной дважды центрированной

решетки является то, что в ней всегда можно выбрать примитив-

ный параллелепипед повторяемости, имеющий форму ромбоэдра

116

(рис. 3.4.4). Поэтому такую решетку часто называют ромбоэдрической', отсюда же происходит и ее обозначение R. Ребро прими-

тивного ромбоэдра иаР	пругол еги о вершинеа р связаныпа	-
раметрами гексагональной ячейки следующими формулами:

Теперь дадим последовательный вывод всевозможных двумерных, а затем и трехмерных решеток.

Рис.	3.4.4.	При-	Рис.	3.4К.5.	выводути	-	Рис. 3.4.6.	Переход от тет-
митивный		ромбо-					рагональной	центрированной
эдв р	гексагональ-		пов	ортогональных		уз-	ячейки к	тетрагональной
ной	дважды объ-			ловых	сеток		примитивной

^емноцентрирован-

ной решетке

Косоугольная двумерная	решетка сохраняет свою симметрию2/прт	и	любых
деформациях. Следовательно,вс	е такие решетки относятсяк одному типу.		Един-

ственное ограничение в выборе осей координат — это требование минимальной

площади ячейки. Поэтому ячейка всегда примитивна.

Чтобы найти возможные типы ортогональной двумерной решетки симметрии mmm, направим в ней базисный вектор ti вдоль одной из осей 2, лежащих в

плоскости узловой сетки,а			второй базисный вектор t2 разложимн а			составляющие
t2 = T' + t", причем т' направлена вдоль другой					оси 2, а т" ей перпендикулярна
(рис	3.4.5). Действиемос		2и	(операцией Си2) з	вектора '12 получается		вектор
C2t2. Очевидно, что вектор t2				—C2t2 параллелен узловому ряду, определяемому
вектором ti,		и, следовательно,		он может быть представлен в виде pti,			гдер р —
целое	числоС.	другой	стороны, t2 — C2t2:=2t". Следовательно,			т"=	—-t^

Нетрудно убедиться в том, что вектор t2 всегда можно выбрать так, что его про-

117

екния на вектор t, будет меньше, чем tj. Тогда можно п р и н я т ь р =0 или 1 В ре-

зультате

получаемдв

с

е

возможности:1

t) =" 2g

)t—"

\l/2.Соответствующие

ячейки

показанынир а

3.41; перваяиин з х

примитивна,

вторая—

центриро-

де-

вана. Невозможно

непрерывной

формацией

координатного

креста без

понижения

его

симметрии

превра*

тить

одну

из

этих

ячеек

в

другую,

так

как

условие

Y —90° должно со-

храняться.

Обратимся теперь к тетрагональ-

ной решетке симметрии 4/mmmоП. -

сколькуи

здесь у^ЭО

0, остаютсяв

силе результаты, полученные для ор-

тогональной

решетки.

Следователь-

но,

достаточно

рассмотретьдв ва а

-

2

•

,

)

ячейка

рианта:1

)

ячейка

к

примитивна.

центрирована. Однако,ка

во

втором

•

это

видно

из рис.3.4.6,

ф

случае

можно выбрать другой инва-

Рис.

3.4.7. Переход от

ортогональной

риантный

координатный кресто

й

же

симметрией,

но

приводящий к

центрированной

узловой сетки

гек-

примитивной, е .

. меньшейп о пло-

сагоыальной примитивной

щади

ячейке. Таким

образом,

тетра-

гональная

двумерная решетка может

быть только примитивной.

симметрии

Нам остается рассмотреть гексагональную двумерную

решетку

6/ттт. Эта точечная

группа содержит в

качестве подгруппы

группу

mmm. Сле-

довательно, задача сводится к тому, чтобы найти частные соотношения параметров а' и Ь' ортогональной ячейки, при которых решетка приобретает симметрию

6/mmm.

Ясно,чт

о

примитивная

ортогональная

решеткан

е

может

иметь

такую

симметриюнпри

и

каких

значениях иа'

Ъг. Ортогональная центрированнаяре

-

шетка имеет симметрию 6/mmm тогдаи

только тогда, когда Ь' У= а' 3

.(рис3

47 )

Здесь можно выбрать примитивную ячейку,дл я которойа =иЬ

y=\2Q°. Следова-

тельно, все гексагональные двумерные решетки примитивны, т. е. относятся к од-

ному типу.

итогем

ы

пришлик

пяти

типам

(рис.3.

4

1),

которыми исчерпы-

В конечном

вается

многообразие

двумерных решеток.

Перейдемк

трехмерным

системам

узлов

__

Симметрия

решетки1

(триклинная

система). Посколькупр и

любых

дефор-

мациях такой решетки ее симметрия не меняется, все триклинные решетки отно-

сятсяк одному типу (ячейка примитивна).

Симметрия решетки 2/т (моноклинная система). В узловой сетке, совпадаю-

щей с плоскостью т, выберем два базисных вектора tt и t2. Разложим третий базисный вектор t3 на составляющую т', параллельную оси 2, и составляющую ",т лежащуюв плоскостит (1

костит . Поэтомуег о можно представитьв			виде2т	" = pti+	#t2. Следовательно,
Р	—— t 2 .	Q		том,ч о всегда найдется такой
t3= t'+—ti+		Нетрудно убедитьсяв
способ выбора вектора 1					пр ,	и ко
или внутри	параллелограмма,л построенного			на векторах ti и to. Тогда можно
принять рил--=0	1и и	<7 =0 "1и В.	итоге	получим	четыре возможности.
		2) t8=

3)t.-T'4T U. 4)t, =-

Соответствующие ячейкк изображены на рис. 3.4 8.

118

в	При ближайшем рассмотрении			оказывается, что	третий		и четвертый случаи
	моноклинной системе, по существу, не отличаются				от	второго Действительно,
еслив		качестве первого базисного		вектора принять аt2,в			качестве второго—
тti,	о	третий случай превратится	о	второй. Еслиж ве		качестве первого, основно-
го, вектора взять сумму ti + b,к о			второму варианту сведетсяи				четвертый случай.

y\^ s* i

Рис. 3.4.8. К выводу типов моноклинной решетки

В первом случае ячейка примитивна (Р),во втором— ячейка базоцентри-

рованная (В). Координатные векторы связаныс базисными следующими соотношениями:

Р) a=ti, =& t2> c=t3;

В) a=ti, b =t2, c=2ts—ti.

При деформации моноклинного координатного креста без понижения его симметрии условие а=р =90° должно сохраняться. Поэтому невозможно путем не- прерывной деформациис сохранением голоэдрической симметрии К=2/т превра-

тить одну из двух выделенных ячеек в другую. Следовательно, существует два(

типа решеток симметрии 2/т: моноклинная примитивная и моноклинная базо-

центрированная.

Симметрия решетки ттт (ортогональная система). Поскольку группа ттт

содержит2/ вт качестве подгруппы, остаетсяв силе результат, полученныйдл я

моноклинной решетки: четыре возможных способа выбора					вектора ts.	,	Узловая
сетка, содержащая векторы tiи	izи	совпадающая		однойи з	плоскостейт
может быть: а) примитивной, б) центрированной.
Рассмотрим сначала случай, когда в основании ячейки лежит примитивный
прямоугольник, построенный а	векторах иti		t2. Первый способ выбора				вектора
13 дает примитивную ортогональную ячейку Р, второй и					третий —	приводят к
базоцентрированным ортогональным		ячейкам	В и	Л, что	соответствует		одному

типу решетки (этиячейки преобразуются друг в друга при переименовании векторов ti и t2),четвертый способ порождает объемноцентрированную ортогональную ячейку/ (рис. 3.4.9)В . ортогональной системе( в отличие т моноклинной)

119

решетки Р,Ви / представляют собойтр и разных типа. Дсйствиюльно,пр дои -

формации координатного креста без понижения его симметрии ттт можно

менять только линейные параметры , Ь,нс, о такая деформациян е позволяе совместить какие-либо две из трех названных решеток.

Обратимся теперь к узловой сетке с центрированной прямоугольной ячейкой.

Выберемвне

й

векторы

tiи

t2 так,каэтк о показанонриа

с

3.4Та.9

жм

е

пред-

варианта

выбо

ставлены

четыре

ра

вектора

t3

Первыйиин з ад х

-

ет

базоцентрированную

ячейку С.

Такая

решетка

не

отличается

принципиальноо

т

решетокА и

—В вс

эте

три

и

решетки

превра-

t,

щаются

другв

другапр

и

соответ-

ствующем

переименовании

коор-

динатных векторов. Третий вари-

ант

приводитк

гранецентрирован-

ной

ячейке

F,

котораяв

ортого-

нальной системе координат соот-

ветствует

новому

типу

решетки.

Наконец, ивторой

четвертый спо-

собы выбора вектора вt3

ортого-

нальной

системе

центрирован-

ной исходной узловой сеткой ока-

зываются

невозможными—он

и

порождают

решетку,

котораян

е

имеет

симметрии ттт.

получили

Таким

образом, ы

четыре типа ортогональной решет-

ки

—

Р,

/,

С (Л, В), F. Коорди-

натные

векторы

здесь

связаны

базисными

следующими

соотноше-

ниями:

t

Р)=a

= t2, c =2t3— ti-t2;

/)

a=t

С)

a = t

= 2t2—ti,

c=ts;

F)

решетки

4/ттт

Симметрия

(тетрагональная

система),

6/ттт

и 3m (гексагональная система).

Вывод

типов

решеток

среднейка

-

Рис. 3.4.9.

К выводу

типов

ортогональ-

тегории фактически был дан при

доказательстве

теоремы

3

из раз-

ной решетки. Показаны проекции ячеек.

дела

3.2.

Здесь

получаются

тет-

Узлы,

расположенные

на

высоте

С/2,

рагональная

примитивная,

тетра-

обозначены крестиками

гональная

объемноцентрирован-

ная,

гексагональная

примитивная

ноцентрированная

(ромбоэдрическая)

и гексагональная дважды объем-

решетки. Более

подробное

описание

это-

го вывода

можно найтив

книгеПМ . . ЗоркогоиН Н . .

Афониной

(см. список

рекомендованной литературы). Связь координатных векторов с базисными для

тетрагональной системы та же, что и в случае ортогональных решеток;

для

гексагональной ^-решетки

Симметрия решетки m3m (кубическая система). Так как группа тЗт включает в себя группу ттт, задача сводится к выбору тех типов ячейки (из четырех возможных для ортогональной решетки), которые при а=Ь — с не противоречат кубической симметрии. Таковыми оказываются ячейкиР/ ,F , . Следовательно, существует три типа кубической решетки: примитивная, объемноцентри-

рованнаяи гранецентрированная.

120

3.5. РЕШЕТКА

И СТРУКТУРА.

ЧИСЛО ФОРМУЛЬНЫХ ЕДИНИЦ В Я Ч Е Й К Е

Теперь нужно связать сказанное выше о решетках с конкрет-

ными кристаллическими

структурами.

Пока мы

еще

не

можем

сделать этогов

полной

мере, поскольку решетка

(группа

транс-

ляций Т)

существует

в кристалле не сама

по себе,

а

лишь

как

подгруппа пространственной группы Ф, описывающей симметрию

кристаллической

структуры. Если группаТ

полностью

определя-

ется узлами решетки, то группа Ф зависит, кроме того, от распо-

ложения всех атомов структуры, в том числе и тех, которые не на-

ходятсяв

узлахВ.

результате группеФ

данной структурыв

прин-

ципе может соответствовать голоэдрическая группа симметрии КФ9

отличная

т

группы

/(,

которуюм ы

бынашли

,

рассматрива

лишь расположение

узловбе

з

учета

расположения всех

атомов.

Разумеется, группа

/С содержит

группу вКф

качестве подгруппы

(в частном случае К^Кф), поскольку,

«заселяя»

решетку

атома-

ми, можно понизить симметрию или сохранить ее, но нельзя ее

-

повыситьПр.

и

этом группа Кф отвечает истинной симметриире

шетки. Если

в

группе

Кф

меньше

элементов

симметрии,

чем

в группе /С, последняя группа выражает лишь псевдосимметрию

решетки.

ячейка

Поясним сказанное на примере. Пусть элементарная

имеет форму

куба,

т. е. а =Ь = с, а =р = у = 90° (рис. 3.5.1).

Если

Рис. 3.5.1. Кубическая		и псевдокуби-		Рис. 3.5.2. Кристаллические структу-
	ческая решетка:		а-	ры:
а — кристаллическая		структура		а — а-железа; б — CsCl
полония; ячейка кубическая (прими-
тивная);б —	гипотетическая		струк-
тура; ячейка псевдокубическая, а в
действительности—		триклинная

структура содержит только атомы, располагающиеся в узлах решетки, как это имеет место в кристаллическом а-полонии, то решетка действительно кубическая. Если же, кроме того, внутри ячейки в произвольно выбранной точке располагается еще один

атом, такая	гипотетическая структураж н е е имеет кубической
симметрии 1.	Решетка оказывается псевдокубической	описыва-

При по (см. раздел 5.1), определяющих пространственную группу, выясняется,ч о здесь

121

ется голоэдрической группой 1 (7(0=1, хотя 7( = m3m), т. е. на са-

мом деле эта решетка — триклинная.

Таким образом, соотношения между параметрами ячейки, приведенные табл7. , необходимы,но , строго говоря,н е достаточны для того, чтобы отнести данную решетку к той или иной голоэдри-

ческой группе Кф. Это можно сделать только, определив					прост-
ранственную группу структуры.					между
Вместес	тем	равенство	линейных параметров ячейки
собой, а также		равенство	угловых	параметров 90° или 120° мало
вероятно,	еслиэт	о равенство е		диктуется симметрией	если

параметры определены с достаточно высокой точностью. Так, гипотетическая структура, изображенная а рис. 3.5.1,6,в действительности скорее всего имела бь: искаженную решетку с неравны-

ми линейнымии угловыми параметрами.

Пользуясь этим обстоятельством, будем пока предполагать, что 7( = 7(ф, и приведем несколько простых примеров определения

типа решетки. Очевидно, что а-железо

(рис.

3.5.2, а)

имеет

куби-

ческую объемноцентрироваиную решетку. Структура CsCl

(рис.

3.5.2, б)

сходна со структурой а-железа, однако

здесь

решетка

кубическая

примитивная,

поскольку

вектор,

равный

половине

объемной диагонали куба,

здесьуж

не

е

является трансляцией — в его концах

на-

ходятся

разные

атомы —

и при сдвиге на

величину этого вектора структура не сов-

местится самас

собой.

Кристаллическая медь (рис. 3.5.3) име-

ет

кубическую

гранецентрированную

ре-

шеткуВ.

структуре поваренной соли

(см.

Рис. 353

Кристалли-

рис.

3.1.1)

по

такому же

мотиву

распола-

гаются

атомыС1

но,

,

кроме того,н

а сер

ческая с т р у к т у р а меди

динах всех ребер ячейкиив

центре

е

объ-

Na.

ема

присутствуют атомы

Между

тем

решетка остается кубической гранецентрированной,та ка

к

сохра-

няетсяжа

е

система

трансляций. Если

любой

вектор,

соединяю-

щий два

атома С1, переместить параллельно самому себе так,

что-

бы в одном из его концов оказался атом Na, то

в другом

конце

тоже непременно окажется

атомNa Эт .

о

означает,чт про

и

сдвиге

собой.

на величину такого вектора

структура

совместится

сама

В структуре твердой углекислоты СО рода тоже имитируют расположение атомов в кристаллической

меди, по здесь решетка кубическая примитивная, поскольку ориентированные по-разному молекулы СО с другом при сдвиге на половину граневой диагонали. Если век-

тор, равный половине этой диагонали, сдвинуть параллельнос -

присутствуют только центры инверсии; они находятся а серединах отрезков,

соединяющих атом, который располагается внутри ячейки, с атомами, которые расположеныв ее вершинах.

122

мому себе так, чтобыв одномиегз о концов оказался атом кислорода, другой конец попадет в пустоту.

В кристаллической структуре твердого хлора (рис.3.5.5)ан - чало координат удобно совместить с центрами двухатомных мо-

лекул С12. При этом в вер-

шинах элементарной

ячей-

ки, т. е. в узлах решетки, нет

атомов.

Решетка

ортого-

нальная,так к

св к

е

коор-

динатные

углы

прямые.

Ячейкав

данном

случаеба

-

зоцентрированная,

посколь-

ку

молекулыО

и N

связаны

трансляцией.

Других

цент-

рирующих

трансляций

в

структуре нет.Так, молеку-

лы

Ми Р н

е

связаны

транс-

О —

ляцией

с молекулой

но и

имеют другую ориента-

цию.

Структура

рутила

ТЮ2

(рис.

3.5.6)

дает

при- Рис

354

Крнс1ал.шческая

с т р у к т у р а

мер

тетрагональной

при-

митивной

решетки, а

в структуре магния (рис.3.5.7) и вюртцита

ZnS (рис. 3.5.8) решетка гексагональная примитивная.

сжать

Если кубическую

структуру

а-полония

(рис. 3.5.1, а)

вдоль одной

из осей третьего порядка,

получится

структура

высо-

котемпературной

р-модифи-

кации полония. Очевидно,

что

решетка

станет

гексагональ-

ной.

Кубическая

ячейка

пре^

вратится в примитивный парал-

лелепипед повторяемости, име-i

ющий

форму

ромбоэдра

(рис.

3а).5.9,

,

которыйуж

не

буе

дет

элементарной

ячейкой.

С

помощью рис. 3.4.4 можно убе-

М

О

дитьсяв

том,чт о

решетка

0-

полония

дважды объемноцен-

Рис.

3.55.

Кристаллическая

структура

трированная.

К этому же

ти-

хлора

С12

пу относится решетка кристал-

лической

ртутиЭ.

а

структура

получается из структуры а-полония при противоположной

дефор-

мации — при растяжении вдоль оси 3

(рис. 3.5.9, в).

Интересно,

что дальнейшее растяжение ромбоэдра может привестик

уже упо-

мчнавшейся структуре меди с кубической гранецентрнроваписй ре-

шеткой (рис.3.5.9, г ) .

Рассмотримще	е одну важную	характеристику кристалличес-
ких структур,	непосредственно	связаннуюс	решеткой,—	число

Рис. 356.	Кристаллическая		о		5
			Рис. 3.5.7.	Кристаллическая	структура
структура рутила ТЮ2				_ _ _ _ _____ . *^ЙМ*
		—а	фрагмент структурыв		форме гек-
			сагональной призмы; б — элементарная
			ячейка—	гексагональный	параллелепи-
				пед

Рис. 3.5.8. Кристаллическая структура вюртцита ZnS:

а — фрагмент структуры в форме гексагональной призмы; б — элементарная ячейка;в — фрагмент структуры, содержащий четыре ячейки(в о избежание

загромождения чертежа некоторые связи Zn—S не показаны)

Рис.		3.5.9. Семейство структур, преобразующихся другв			другапр	деи	-
—а		формации ячейки вдоль оси третьего порядка-				угол
	структура (3-полония,		угол а = 98°;б—	структура а-полония,
а= 90°;в —		структура ртути,	угола = 70,5°;г —	структура	меди.

угол а= 60°

124

формульных единиц, приходящееся на одну элементарную ячейку.

тЭ у

величину обычно обозначаютZ

(реже—

N ) .

Познакомимся с этой структурной характеристикой на примере

рутила ТЮ2 (см. рис.3.5.6). Подсчитаем

число

атомов

Ti, содер-

жащихся в одной ячейке. Каждый из восьми атомов Ti, располо-

,

женныхв

вершинах ячейки,

принадлежит

восьми

ячейкам,и

следовательно,

на долю

рассматриваемой

ячейки

приходится

8-1/8 таких атомов. Учитывая

наличие агома

Ti,

расположенного

Б

центре ячейки, получим,чт

но а

ячейку

приходится

8-1/8+1,те . .

два атома Ti . Теперь найдем

число атомов кислорода в элемен-

тарной ячейке. Каждыйи з четырех атомовО , расположенныхн а

гранях ячейки, принадлежит двум ячейкам. Кроме того, имеются

Э

дв

а

атомаО

внутри ячейкиВ.

итоге получаем: 4-1/2+ 2

4— .

простой расчет, во-первых, позволяет подтвердить формулу веще-

ства ТЮ2, во-вторых, он показывает, что на

ячейку

приходится

две формульные единицы ТЮ2, т. е. Z = 2.

(см. рис.3.5.8)

че-

В гексагональной структуре вюртцита ZnS

тыре

атомаZ

n расположенын а ребрах

ячейки. Каждыйи ин з

х

принадлежит четырем ячейкам

(см. рис. 3.5.8, в)

!. С учетом атома

Zn, содержащегося внутри ячейки, находим, что на ячейку прихо-

дится 4 - 1/4+1, т. е. два

атома

Zn. Далее, подсчитав число атомов

ли S

и

принимаяв о

внимание

формулу

вещества, получаемZ =2.

щи м

При нахождении числа Z удобно пользоваться следующим об-

правилом: восемь атомов,

расположенныхв

вершинах

ячей-

ки, дают вклад 8-1/8=1; если же атом расположен на ребре, или

1и

на

грани,ил

и

внутри

ячейки,ег

о

вклад равен

ил1/4,

и

1/2,ил

соответственно. Это правило справедливо для

решетки

любого

типа.

дл я

Нетрудно установить,чт дло

я

а-железа

(см.рис.3.5.2,aZ )

= 2T

CsCl (см.

рис.3.5.2,б )

Z=l,дл

я меди

(см. рис. 3.5.Z3)

=4 ,

дл я

магния (см.рис. 3.5.7)Z

=дл2,

я

(3-полония

ртутиZ

=3

(ес-

тественно, в расчете на гексагональную дважды объемноцентри-

рованную ячейку, см. рис. 3.5.9 и 3.4.4).

Дл я молекулярных кристаллических структур, е . . структур, построенных из молекул, Z приобретает смысл числа молекул на

одну

ячейкуВ.

таких

случаях

можно

подсчитывать числоZ

,

опе-

рируя

целыми молекуламии

следяз

а

тем,гд

е

располагается

какая-либо характерная точка

молекулы, например

центр

масс

или какой-либо атом. Если эта характерная точка молекулы на-

ходитсяв

вершине

ячейки, вклад данной молекулыв

числоZра

-

вен

1/8, если

она

лежит на

ребре

ячейки, вклад составляет

1/4,

на грани — 1/2,внутри ячейки — 1.

моя

-

Пользуясь этими

правилами,

нетрудно установить,чт дло

лекулярных структур СО2 и С12

Z = 4

(см.рис. 3.5.4 и 3.5.5).

1

Типичная

ошибкапр

и

подсчетеZдл

я

гексагональных структур

заключа-

етсяв

том,чт о

фрагмент

структуры,

изображенный а

рис.3.5.8,а ,

принимают

трза

и

целых

ячейки. Однаковс

е ячейкив

структуреп

о

определению

имеют о

наковую

ориентацию,

как

это показано

на рис

3 5.8,в

3.6. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ Т О Ч Е Ч Н Ы Е ГРУППЫ. СИНГОИИИ

В настоящем разделе нам предстоит из множества точечных групп выделитьа к называемые кристаллографические группы,

которые обладают двумя важными особенностями:э и только

эти группы могут описывать

1)габитус,е . . внешнюю огранку кристалла,

2)симметрию позиции, т. е. симметрию окружения той или

иной точки кристаллического пространства, частности симметрию позиции атома (или молекулы) в кристаллической структуре. Будем опиратьсян а хорошо известный экспериментальный факт, который состоит в следующем: грань кристалла всегда совпадаетс какой-либо узловой сеткой. Поместим начало координат

узловой	решетки, которой соответствует голоэдрическая группа /С,
в центр	масс кристалла. Пусть симметрия кристаллического мно-
гогранника описывается		группой М. Ясно,чт о		возможныдв а слу-
чая:1М)	совпадает	2/С,М)	входитК ка	к подгруппа. Дейст-

вительно, проводя в решетке узловые сетки, ограничивающие объем кристалла, можно сохранить симметрию К или понизить ее, но нельзя повысить (т. е. внести элементы симметрии, отсутструющие в решетке). Рис. 3.6.1 на двумерной модели иллюстриру-

7г

Рис. 3.6.1. Соотношение			симметрии	кристаллического многогранника
и	голоэдрической	группы	симметрии	решетки (двумерная аналогия).
—а	многогранник	воспроизводит голоэдрическую симметрию,б—
	многогранник имеет более низкую симметрию

ет эту ситуацию. Таким образом, внешняя форма кристаллических многогранников описывается исключительно голоэдрическими

группамиК и и х подгруппами.

Тже е точечные группы оказываются пригоднымидл я характеристики симметрии позиции S. Чтобы убедиться в этом, поместим

начало координат решеткив точку, окружение которойм ы хотим рассмотреть. Совокупность узлов, окружающих данную точку, со-

ответствует симметрии /О Размещая в решетке какие-либо атомы,

можно сохранить симметрию окружения исходной точкиил и по-

126

низитьее н , о нельзя е повыситьН.	а рис. 3.6.2 изображены при-
меры, иллюстрирующие эти две	возможности в двумерном случае.

Следовательно, задача	выделения	кристаллографических то-
чечных групп сводитсяк	нахождению	всех подгрупп голоэдричес-

ких групп К. Таких подгрупп, включая сами группы

К, оказывается 32. Они пе-

речислены в табл. 9.

Поскольку грани кристалла являются узловыми

сетками,вег				о	габитусена			-
ходит		непосредственноевы						-
ражение			симметрия				крис-
таллической				решетки.			(До-
бавим,		что		ребра		кристал-
ла	—	это		всегда		узловые
ряды.)		Поэтому,				выделив
кристаллографические							груп-
капы	к	подгруппы				голоэд-
, рических			групп,		выражаю-
щи х	симметрию				решетки,
уместно			поставить				обрат-
Рис.	362. Соотношение						симмет-
рии	позиции			и	голоэдрической

группы симметрии решетки (дву-

мерная аналогия).

—а симметрия позиции равна голоэдрической симметрии, б — симметрия позиции ниже симметрии^

решетки

0	0° ,	ч1
f——'о	0	о		^Jо
0	о	0
	)———————г
0	о	0
Т	Т			° ]
		Т
j>	L		i
0	о	о		0
о	о	о		о
о	о	о		о
—<^
о	о	о		о

—с!)————с•)— I————/

ную задачуо б установлении симметрии решеткип о внешнему виду

кристалла.

Здесь можно использовать теоремы 1 и 3 из раздела 3.2.Тогда симметрия решетки получаетсяк к результат добавленияк группе М центра инверсии и плоскостей симметрии, проходящих через

ось я, если п^З. Это дает те группы симметрии решетки, которые

приведеныв табл9. .

Особый случай представляют собой группы М, содержащие ось третьего порядка. Добавивкин м центр инверсии вертикальные

плоскости симметрии, ы получим группу Зт. Такой симметрии решетки отвечают гексагональная система координатка , к было показано в разделе 3.4, примитивная или дважды объемноцент-

рированная ячейка. В первом из этих двух вариантов симметрия

решетки повышается до 6/m/nm.

Совокупность кристаллов, характеризующихся одинаковой кристаллографической системой координат, представляет собой

							Т а б л и ц а 9
	Кристаллографические				точечные группы и их разбиение на сингонии
Си		т опии			Точечные i руппы		Симметрия решетки (/О
						и(М S)
Триклинная			1,	Т			Т
Моноклинная			2,т/2 ,	т			2/т
Ортогональная			222,		тт2,	ттт	ттт
(ромбическая)
Тетрагональная			4, , 4/т, 422, 4тт,				4/ттт
			42т,		4 /ттт
Гексагональная			3, 3, 32, Зт, Зт				илЗт и 6/тт
а )	тригональная
б)	собственно		6,	6, 6/т,622, бтт
гексагональная			6т2,		6 /ттт		6 /ттт
Кубическая			23, тЗ, 432, 43т, тЗт				тЗт
сингонию. Соответственно а						сингонии делятсяи	кристаллогра-

фические точечные группы (см.табл9). . Поэтому сингонию можно также определить как совокупность точечных групп, которым отвечает одна и та же координатная система. Названия шести

сингонии аналогичны названиям шести систем координат. Гексагональную сингонию удобно разбить на две подсингонии: в пер-

вую входят группы с осями третьего порядка (это тригональная

подсингония), во вторую — группы^ с осями шестого порядка

(собственно гексагональная подсингония). Первыетр и сингонии

составляют низшую категорию, три следующие — среднюю кате-

горию, кубическая сингония относится к высшей категории. Такое подразделение обусловлено характером точечных групп, входящих в соответствующие сингонии.

Говоря о группах симметрии М, описывающих габитус кристалла, необходимо отметить следующее. Симметрия внешней фор-

мы реального кристалла		всегда	болееил	и	менее	отличается т
симметрии идеализированного			кристаллического			многогранника.
Неоднородность	среды,в	которой растет			кристалл		(например,
влияние стенок	сосуда),	приводитк		неравномерному			развитию

симметрически связанных граней. В результате симметрия занижается. Вместе с тем наблюдается и обратный эффект: недостаточное развитие некоторых характерных изоэдров может привести

128