ее проектируютка оск 4ь	(см. рис.	1.4.4, в).	Вместете м каж-	центр
да я присутствующая	группе	плоскость	симметрии и

инверсии обязательно изображаются на проекции.

1.2. ТЕОРЕМЫ О КОМБИНАЦИЯХ ЗАКРЫТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ

Набор элементов симметрии, присутствующих в той или иной

фигуре,н е может быть произвольнымО. н подчиняется ряду теорем, знание которых существенно облегчает анализ симметрии

фигуры. Эти теоремы нетрудно доказать, пользуясь, например, правилами умножения симметрических операций (см. раздел 2.2).

Теорема1 . Еслидв осе	2и	пересекаютсяпо д		углом	а=180°/п,
гд е п — натуральное	число,т	о через	точкуи	х пересечения пер-
пендикулярно этим	осям	проходит	поворотнаяос п		ь В .	част-

ности, при наличии двух взаимно перпендикулярных осей 2 пер-

пендикулярнони				м обязательно проходит третья такаяж е						ось.
Теорема2			вполне аналогична			теореме1 н ,	о	относитсякин			-
версионным осям2 . Еслидвос е					2и(т	е . . нормалик		плоско-			их
стям	т)	пересекаются под углом				а=180°/я,	то	через	точку
пересечения			перпендикулярно		этим осям		проходит		поворотная
ось п.		между		нормалямик	плоскостям равен углу между плос-
Угол
костями. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать
так:	линия		пересечения двух		плоскостей ,		образующих			угола	,

есть поворотная ось с углом поворота 2а. В частности, взаимно перпендикулярные плоскости т пересекаются по оси 2.

Теорема 3. Если ось 2 пересекается	под углом а=180°/п с
осью2 т, о через точкуи х пересечения	перпендикулярно	этим
осям проходит инверсионная ось п.		и
И з теорем 1—3 вытекает,чт о угол_ между двумя осями2ил

двумя плоскостями т или осями 2 и 2 не может быть любым: он

обязательно должен удовлетворять соотношению a=\80c-k/n. Отметим особо важный частный случай теоремы3 . Точкапе -

ресечения взаимно перпендикулярныхсо 2 ии плоскости есть центр симметрии. Аналогичное утверждение справедливоото -

ношениюк любой поворотнойос	и	четного	порядка, поскольку
каждая из них содержит ось 2 в качестве			подгруппы. Нетрудно
также доказать, что: 1) если	на оси	2 располагается центр		сим-
метрии, то перпендикулярно к ней проходит			плоскость т; 2)	если

на плоскости га располагается центр симметрии, то перпендику-

лярнокне	й	проходитос		2ь .		Таким образом,	наличие		любых
двух из	трех	элементов		симметрии: 1, 2 и т — с			необходимостью
вызывает присутствие третьего.								, рас-
Теорема4 .		Еслив	плоскости, перпендикулярнойос пи
полагается 2 ьли		со и 2 ь т , о	всего		этой	плоскости должно		ось	п про-
находиться п		таких	осей.		Таким	образом, если через

27

ходит	плоскость симметрии, о всего черезэт осу ь			проходит п
плоскостейт		(см.,например, рис. 1.3.5).
Теорема 5. Если в плоскости, перпендикулярной к оси /г, рас-
полагается		ось 2 (или 2), то под угло^	180°/я	к последней оси в
жтой	е	плоскости проходитос 2ь	(или2	) (см., например,

рис. 1.3.9).

Сформулированные теоремы показывают, что наличие в фигуре двух нетривиальных элементов симметрии обязательно вызывает присутствие о крайней мереещ е одного элемента симметрии.

1.3. СЕМЕЙСТВА ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП НИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ

Совокупность закрытых элементов симметрии, присущих ка-

кой-либо фигуре, называется ее точечной группой симметрии1 .

Понятие точечной группы (и ее обозначение) аккумулирует в себе общую характеристику симметрии непериодической фигуры.

Поскольку порядок оси симметрии в принципе может быть

сколь угодно большим целым числом, существует бесчисленное множество разных точечных групп. Однако набор элементов симметрии, входящихв группу,ии х относительная ориентация дол-

нж ы подчиняться	теоремам, сформулированным		предыдущем
разделе. Поэтому удается		выделить семь	семейств точечных
групп так, что	группы, составляющие данное семейство, во мно-
гом сходныВ.	итоге можно	составить ясное представлениеоб о

всем многообразии точечных групп, несмотря на то что количе-

ствои х бесконечно. Подробное знакомство семействами точеч-

ных групп совершенно необходимо каждому, кто хочет уметь уверенно пользоваться аппаратом этих групп.

Для краткости мы не даем строгого вывода всевозможных точечных групп, но уже сама классификация по семействам пред-

определяет пути такого вывода. fl

I. Семейство групп вида Ы (семейство вращающегося кону-

са). Сюда входят группы, содержащие лишь одну поворотную

ось. Обозначения этих групп совпадают с обозначениями соответствующих элементов симметрии. Из дальнейшего будет видно, что эти группы удобно разделить на два ряда — с нечетным

ичетным порядком оси:

1.3, 5, 7, . . . }

2.4, 6, 8, ... |

Впределе оба ряда приведут к группе, содержащей ось бесконечного порядка. Такой симметрией обладает фигура, которая

совмещается сама с собой при повороте на любой, в том числе

бесконечно малый, угол. В качестве примера фигуры, содержа-

1 Более строгое определение точечной группы дано в разделе 2.1.

28

щеосй	ь оо, можно		привести		конус. Однако конус		имеетещ и е
бесчисленное		множество			плоскостей	симметрии,		проходящих
черезос оо ь Вс . эте		и	плоскости симметрии			исчезают,		если рас-
сматривать вращающийся					конус (или же покоящийся конус,
всем	точкам	которого		приписываются		свойства	бесконечнома		-
лых штрихов, ориентированных косо по отношению к образую-
щим	конуса)	(рис.		1.3.1, а). Отсюда		происходит		название	се-

мейства.

Рис. 1.3.1. Фигуры, обладающие

осями бесконечного

порядка:

а — вращающийся конус, б — скрученный цилиндр,

—в

вращающийся цилиндр,г—ша

рс

вращающи-

мися

точками поверхности

Примером

молекулы,

симметрия

которой

отвечает

точечной

группе2и з семейства вращающегося конуса, является молекула

бензофенантрена (рис. 1.3.2). При идеально

плоском

строении

молекула

имела

бы две

плоскости симметрии

(совпадающую

с

плоскостью чертежаи

перпендикулярнуюк

ней), а

такжесо2 ь

,

в

проходящую

по

линии

пересечения

этих плоскостей.

Однако

силу

значительного

стерического

затруднения,

которое

возникает

в результате

перекрывания валентно

е

связанных

атомов водо-

рода,

конфигурация

молекулы

искажается:

периферийные -

нильные

кольца

отклоняются

в

разные

стороны

от

плоскости

чертежаВ.

итоге молекула

имеет симметрию2 .

II. Семейство

групп

видап ил 2

и

п22

(семейство скрученного

цилиндра). Если к каждой поворотной оси, входящей в семейство вращающегося конуса, добавить перпендикулярнуюос ь второго порядка, получится еще одно семейство точечных групп. Со-

гласно теореме4и			з	предыдущего раздела,				каждаяи		з	этих групп
содержит кромеос и			п-ro		порядка	(«главная»		ось)п		осей второ-
го	порядка	(«побочные»			оси),расположенныхв				перпендикуляр-
ной	плоскости и образующих между собой углы 180°/я.
	В качестве примера на рис.1.3.3 показано расположение эле-
ментов симметрии			в	двух таких			группах — с		осями		третьего и
четвертого		порядков.		Заметим,чт		о	между	этими		двумя случаями
есть принципиальная				разницаПр.		и	наличииос		3и		прямые, о

29*

которым проходятсо2 ив , о всех отношениях одинаковы: и

преобразуются друг в друга при повороте на 120°. Этого нельзя сказать о группе с осью четвертого порядка: при повороте на 90°

ось У переходит в другую ось 2', а ось 2", в свою очередь, со-

вмещается		осью 2"'. Неэквивалентность осейи2'У в		символе
отражается		записью	двух осей второго порядка (42'2"ли и	про-
ст о	422)В.	символе	группыс осью3 пишется лишь одна	двой-
ка	(32).

						2"
Рис.	1.3.2 Молекула бензофенан-		Рис.	1.3.3. Расположение элементов сим-
трена	(точечная группа 2). Плю-		метрии в точечных		группах	семейства
сом отмечены части молекулы, при-			—а	скрученного	цилиндра:	2
поднятыена д		плоскостью чертежа,		группа32 б,—	группа42
минусом—		опущенные. Штрихо-

во	й	линией показана область сте-
		рических затруднений
од к	Указанное			обстоятельство имеет			общий характер: если				поря-
	главнойсо и		нечетный,		прямые, о	которым		проходятс 2 и ,		а	типа
эквивалентны;				случае четного		порядка		существуетдв
таких		прямыхи		соответственнодв		а	типа	осей2 .	Последнееяв -
ляется		причиной, о			которой	точечные		группы	этого	семейства
делятсяндва			а ряда:
				121, 32, 52,		72,...		оо2
				222,	422, 622, 822, ...

В пределе оба ряда дают точечную группу оо2 с одной главной осью симметрии бесконечного порядкаи бесчисленным множеством побочных осей второго порядка. Примером фигуры, принадлежащей к предельной группе оо2, может служить скрученный цилиндр (см. рис. 1.3.1,6). Отсюда — название семейства.

1 Эта группа уже фигурировала в семействе вращающегося конуса (груп-

2)па . Ниже также встречаются случаи, когда первые члены рядов, относящихся к разным семействам, фактически представляют собой одинаковые группы.

30

В качестве примеров молекул, симметрия которых описывается группами этого семейства, приведем молекулы трифенил.- дихлорстибина и дифенила .(рис. 1.3.4).

Первая из этих молекул по форме напоминает трехлопастный пропеллер, осью которого служит прямая С1—Sb —C1. Плоскость

каждогои з фенильных колец повернута относительно экваториальной плоскости на угол около 45° так, что при повороте на

а

Рис. 1.3.4. Молекулы, симметрия которых описывается группами семейства

скрученного цилиндра:

а — молекула 5Ь(СеН5)зС12 (группа 32), б — молекула дифенила в газовой фазе (группа 222)

120° вокруг прямой С1—Sb—этС1 и кольца совмещаются другс другом; следовательно, по этой прямой проходит ось 3. По линиям трех связей Sb—С, расположенным в экваториальной плоскости, проходятос и2 : поворот вокруг такой линии приводитк тому, что одно из колец совмещается само с собой, а два других

кольцаи атомы хлора				преобразуются другв				друга. Таким обра-
зом,	молекула имеет симметрию32 .						имеют		плоское		строение.
В	кристаллах молекулы				дифенила
В отличие т		этогов		газовой	фазедв	а	фенильных			кольца повер-
нуты	относительно		ординарной связи				С—С		на	некоторый угол.
В результате		группа		симметрии		содержит			лишьрт и		взаимно
перпендикулярныеос			и2	(группа		222).		(семейство			неподвиж-
III. Семейство			групп вида ипт				птт

ного конуса). Точечные группы, относящиесяк этому семейству,

получаются, если в каждой поворотной оси, входящей в семейство вращающегося конуса, добавить плоскостьт , проходящую через

эту ось. Тогда в каждой точечной группе возникает п таких плоскостей. Символы этих групп записываются следующим образом:

	1т,	Зт,	5т,	7т, ...			)	\ тоо
	2тт, 4тт, бтт, 8тт, ...						]
Ка ик в	предыдущем		семействе,		здесь		наблюдается		эквивалент-
ность плоскостей,		проходящих		черезос		и		нечетного порядка,ии х
неэквивалентность		случае осей			четного			порядка	(рис. 1.3.5).
Указанное	обстоятельство отражается					и	в	обозначениях		точеч-
ных групп:	в символах		групп	первого			ряда буква		m	пишется

•один раз,в символах групп второго ряда — дважды.

В

пределеоб

а

ряда дают

точечную

группу

oomс

главной

осью

симметрии

бесконечного

порядкаи

бесчисленным

множест-

вом

вертикальных

плоскостей

симметрии. Примером

фигуры,

имеющей симметрию

оо/п, является неподвижный шнус. Такую

ж е

симметрию имеют

молекулыс

линейным

строением: НС1,СО

,

НС&__и_другие. Симметрия1 ( т

в кристаллохимической

практике

эт

у

группу~обычно обозначают просто

)

характернадл

я

		(Г
а	5	н
Рис. 1.3.5.	Расположение элементов	Рис. 1.3.6. Плоская
симметрии в точечных группах семей-		молекула	борной
ства неподвижного конуса:		кислоты	(точечная
а — группа Зт, б — группа 4тт		группа 6)

молекул (уголковая молекула НС1О, моногалоидозамещенные

производные, нафталина, антрацена и других" конденсированных ароматических углеводородов и т. п.). Часто встречается и груп-

па 2mm (молекулы воды, СЬЬСЬ, цис-дихлррэтилена, молекулы

дигалоидных мета- и орто-пройзводных бензола и другие). При-
мерами молекул, группы симметрии которых содержато и более
высокого порядка, служат пирамидальные молекулы NH3 (груп-
па 3m), BrF5 (группа 4тт).	/г/т (семейство вращающегося
IV. Семейство групп видап и

цилиндра) в отличие от предыдущих, включает в себя не два, а четыре ряда точечных групп:

		Т	о "	О,	Н"	п
		1.	о,		/ , . . .
	6	2. Т , 74 ,			,	...	47+2	оо/т
	8	4,	,	1612,	,	...	4/

2/т, 4/т, 6/т, 8/т, ...

32

Здесь в виде дроби (например, 2/т) записаны взаимно			перпенди-
кулярныеос иь	плоскость симметрии.		точечных
Ка к было	показанов	разделе 1.1, особенностью

групп первого ряда является то, что в каждой из них содержится центр инверсииВ. группах второго ряда центра инверсии нет, о есть плоскость, перпендикулярная направлению главной оси (эти

группы

У,ГЖПО

было

ы

записатьв

виде

1/m, 3/т,

5/тн...,

о

обычно их обозначают символами вида

п).

В группах

третьего

рядаен н т

и

центра

инверсии, и

плоскости

симметрии. На:;очец,

плос-

группы

четвертого

ряда

содержат

и

центр

инверсии

и

кость

.

Действительно,та как

к

любаяос

ь четного

порядкасо

-

держитв

себеос 2ь

,

присутствие

центра

инверсии

таких

груп-

пах вытекает из теоремы 3

(см. раздел

1.2).

жй

е

тачечной

В

пределевс эте

и

ряды приводятк однойито

группе оо/ш (символ этой группы можно записатька

к оо),чт

о

-

является основаниемдл

я

объединения

вх

одно

семействосе—

мейство вращающегося цилиндра (см. рис. 1.3.1, в).

молекул

Группами этого

семейства

описывается

симметрия

1,5-дихлорнафталина_ (группа 2/т),

борной

кислоты

НзВОз

(рис.

1.3.6) (группа

6)

и других.

каждойи

з

V.

Семейство неподвижного

цилиндра. Еслик

групп

предыдущего

семейства добавить

плоскость

симметрии т,

проходящую через ось, получается четыре новых ряда точечных

групп:

	1т,	Зт,	5т,	7т, ...
	2т2,	6т2,	Тт2,	Пт2,. ..	оо
	42т,	82т,	Т22т,	Тб2т,	— т
					... т
	2/ттт, 4/ттт, 6/ттт, 8/ттт,
Рассмотрим последовательно каждый из этих рядов.
Выше	отмечалось, что		инверсионная ось нечетного порядка
содержитв	себе поворотнуюос		ь тогож	е порядка. Тогдав		соот-
ветствии с теоремой 4 из раздела				1.2 каждая из точечных групп
первого ряда содержит столько плоскостей					симметрии,	каковпо -

рядок главной оси. Кроме того, благодаря присутствию центра инверсии перпендикулярно каждой плоскости располагается ось

второго порядка. Эти оси проходят между плоскостями симме-

трииН. а	рис. 1.3.7 показано				расположение		элементов		симметрии
в первых двух группах этого ряда. Первая из этих									групп	уже
встречаласьв			предшествующем			семействе,длд е ен я е былоси			-
пользованое е			обычное обозначение 2/т.
Инверсионные оси четного порядка содержат в себе поворот-
ные реис		порядкомв2		раза меньшим. Поэтомупр				и	наличии
ос пи с	четнымп		имеетсяя/ 2		плоскостей симметрии,			проходящих
через главную ось.					где	я = 4/+2,	содержат,		кроме	того,
Группы		второго ряда,
плоскость		симметрии,		перпендикулярную			главной оси.В соответ-

33

ствии	теоремой2п	о	линии пересечения взаимно перпендику-
лярных	плоскостей	в	проходитос ь второго порядка. Всего та-
ких побочных осей			группе содержится я/2. Первые две группы

Рис. 1.3.7. Расположение элементов симметрии в точечных группах первого-

ряда	семейства неподвижного цилиндра:	_
а — группа 1/п, чаще обозначаемая символом 2/т, б — группа 3/п
этого ряда представленын а рис. 1.3.8. Группа 2т2уж е		фигури-
ровала семействе	неподвижного конусав обозначении 2mm;

чаще всегоэт у группу обозначают символом mm2 (см. ниже).

Рис. 1.3.8. Расположение элементов симметрии в точечных группах второго ря-

—а

_

да семейства неподвижного цилиндра:

группа

2т2

(ориентация элементов

симметриин

а

рисунке

соответству-

ет более обычному обозначению тт2),б—

группа 6т2

В

группах

третьего

ряда

нет

плоскости,

перпендикулярной

главной оси,н о

здесь

также

присутствуютп/

2

побочных

осей

второго__порядка,тч

о

вытекаети

з

теоремы5

(см., например,

группу 42т

на рис. 1.3.9).

симметрии в первых двух группах

Расположение

элементов

четвертого

ряда

показано на

рис. 1.3.10. Обозначения этих

групп

строятся подобно обозначениям групп семейства

неподвижного

конуса с добавлением плоскости т,

перпендикулярной к главной

оси;

их записывают

как в виде —mm (с

помощью

прямой дро-

т

34

та/би), ик в виде п/ттт( с помощью косой дроби). Групп

2/ттт обычно обозначаютка	к ттт.
В пределе все эти ряды	дают точечную группу — m (дру-
	m

гая запись ост). Такую симметрию имеет неподвижный цилиндр. В качестве примеров молекул, симметрия которых описывается точечными группами настоящего семейства, приведем мо-

лекулу ферроцена

(см. рис^ 1.1.2, а,

группа

5т), молекулу

SbCls

(см. рис. 1.1.2,6,

группа

6т2),

молекулу

нафталина

(группа

ттт), молекулу

бензола

(группа

б/mmm),

двухатомные

моле-

кулы галогенов, водорода, кислорода, азота

t

группа

°°

\

.

I

_ \

— тгп

Будем в дальнейшем называть оси п и п, для которых я>3.

осями высшего порядка.

е

содер-

Точечные

группы,

которыен

жат ни одной

такой

оси,объединяются

в низшую категорию.

Существует

всего

восемь таких(1групп

1,

2,

,

m, 2/m, 222,

тт2, ттт).

Рис. 1.3.9. Расположение

элементов

симметрии в

точечной группе

*42т

(третийря

д

семействане

-

подвижного цилиндра)

Точечные

группы,

содержащие

однус ь

высшего

порядка

(или несколько таких осей,н

о

проходящих

о

одной

прямой),

принадлежат средней категории. Таких групп бесчисленное мно-

жество.

Выше были рассмотрены точечные группы этих двух категорий. В дальнейшем нам предстоит познакомиться с группами

высшей категории, содержащими несколько осей высшего поряд-

ка , которыен е совпадают о направлению (насчитывается всего

девять таких групп; о них говорится ниже).

При классификации точечных групп имеет смысл также вы-

делить

предельные

группы,

содержащиеос

и

бесконечного поряд-

1-г

0/

О

0 0

\ 0

оо/п, —,

— m

мы уже упоминали.

ка. Пять из

них

V

оо,

сю 2,

Существуютевд е е

m

m

/

основойлд я

такие

группы, которые

служат

разделения

групп

высшей категории

на

два

семейства. Но преж-

чеде м переходитьк

этим

семействам, остановимся

а некоторых

общих принципах символики точечных групп.

е

системы

обозна-

Одинаково

широкое

применение

находятдв

чений

точечных групп.

Перваяиниз

х

называется

символикой

Шенфлиса (она будет описана в разделе 1.5), вторая называется международной символикойВ. международных символах точечных групп обычно указываются не все элементы симметрии, а лишь так называемые' «порождающие» (благодаря теоремам о

35

комбинацияхон		и	автоматически	вызывают	присутствие			осталь-
ных, «порожденных» элементов)В .				вопросе	том,какойи			з	эле-
ментов считать		«порождающим»		(если возникает		такая		альтер-
натива), предпочтение отдается плоскостит .						выше)		и раз-
Употребляются			сокращенные	(использованные
вернутые	(более подробные) международные				символы		точечных
группВ.	развернутой форме символ точечной				группы		низшейка		-

Рис. 10.3

. Расположение

элементов симметриив

точечных

группах четвертого ряда семейства не-

—а

подвижного цилиндра:

просто

группа

2/ттт, обычно

обозначаемая

ттт, б — группа 4/ттт

тегории

содержит

три позиции ,

соответствующие осям

сим-

на т

X,У Z,

. Еслив

точечной

группе

присутствует плоскость

метрии,

перпендикулярнаято илй

и

иной

оси,в

соответствующей

позиции ставится обозначение «т». При наличии оси 2, идущей

вдоль какой-либо

з

осей координат,в

соответствующей позиции

ставится «2». Одновременное присутствие этих

двух

элементов

симметрии обозначается «2/т». Отсутствие элементов симметрии,

соответствующих

данной

позиции,

отмечается

с помощью «1».

В

этих

обозначениях

последние

шестьи

з

перечисленных

выше

групп низшей

категории

записываются

следующим образом:

112;

llm; 11 — ; 222; тт2; A JLA.

т

т т т

Здесь подразумевается, что в группах 2, т и 2/т

ось

2

или 2~ на-

правлена вдоль оси Z, а в группе mm2

имеющиеся

плоскости

перпендикулярны осямX и

У; такой способ выбора осей коорди-

нат чаще всего применяется для

этих

групп. Однако

возможна

и

другая

ориентация.

Например, символ1

1 ~

показывает,чт

со

осью 2 совмещена координатная ось У, а символ 2mm означает,

1 Исключением являются группы 1 и 1, для которых развернутая форма записи не нужна.

36

чт о плоскости симметрии перпендикулярны осямY и Z в ,т о вре-

мя как по оси X проходит ось 2.

В точечных группах средней категории ось высшего порядка

обычно	совмещают			осьюZ	. Обозначение этойос		и высшегопо	-
рядка	ставится		первой		позиции. Наличие плоскости, перпенди-
кулярной		главной		оси,	отмечаетсяв	этойж е	позицииспо		-
мощью дроби. Вторая позиция отводится для							обозначения		эле-
ментов симметрии, соответствующих координатной оси X. Третья
позиция нужна лишь для точечных групп с главными осями									чет-
ного порядка — она				служит для обозначения			элементов	симме-

трии, соответствующих направлению, которое лежитв							плоскости,
перпендикулярной		главной оси,		образуетс		осьюX	угол		а=
= 180°М( в	случае	главных	осей	нечетными		порядками			в
третьей	позиции	всегда	получится		то же,	что	и во	второй).
В остальном правила построения символатжее чт ,						иодл	я	низ-
шей категории.			развернутой		записи	точечных			групп
В качестве примеров

средней категории приведем следующие символы:_31 разверну-

тая		форма) =3	(сокращенная форма)				411 = 4; 31=3; 411=4;
—	2	—	3	—	4	2 2	4	(или 4/ттт).
3—= Зт; —т2 = бт2;					— — — — — m m
В	т	т	I		т т т		т	формы записи
	семействахIи I II			развернутаяи		сокращенная

не отличаются друг от_друга.

Отличие

символов24 и т

4т2

заключаетсяв

том,ч в о

пер-

вом

случае

ось X

направлена

вдоль

оси

2

(это

обычный способ

выбора осей

координат),

во втором

случае

осъ_Х

совмещена с

перпендикуляром

плоскости т__е(т.

.

_с

осью2)

.

Аналогичный

смысл

имеет

разницав символах26и т

6/п2,нлд о я

этой группы

в качестве

стандартного обычно принимают второй способ вы-

бора координатной системы.

1.4. СЕМЕЙСТВА ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП

ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

Каужк

е

было

сказано, точечные

группы, которые

содержат

несколько осей высшего порядка, не совпадающих по направле-

нию,

т. е. группы

высшей категории,

делятся на

два

семейства.

Д

я

групп Vсемейства

I

характерно

отсутствие ин

осей, в том числе плоскостей симметрии; группы семейства VII

выводятся из групп семейства

VI

добавлением плоскостей т.

VI.

Семейство шарас

вращающимися

точками

поверхности.

Можно строго математически доказать,чт о существует лишьтр и точечные группы, содержащие конечное число не совпадающих по направлению поворотных осей высшего порядка (при отсутствии инверсионных осей).

Первая группа обозначается2 3 (принципы международной символики групп высшей категории изложены ниже); она содержит три взаимно перпендикулярные оси 2, которые удобно при-

37

пять за координатные оси; кроме того, присутствуют четыре

оси 3, проходящие по объемным диагоналям октантов. Перечисленныеос и расположены так,ка этк о показано а рис.1.4.1,а .

	о						5
Рис.	1.4.1. Точечные	группы		семейства шара с			вращающимися
		точками поверхности:
	а — группа 23, б — группа 432
Каждаяос 3ь	образуетс	любойи		з	осей2	угол	~54,7°,а	угол
между двумя любыми		осями 3 близок к 70,5°					(смежный	угол,
равный —109,5°, обычно			называют		«тетраэдрическим»). Пример
многогранника, имеющего			симметрию 23,			показан на рис. 1.4.2, а.

Рис.

1.4.2. Примеры многогранников, симметрия которых описываетсято

-

чечными группами семейства шарас

вращающимися

точками поверхности:

— а

пентагонтритетраэдр

(группа 23),б —

пентагонтриоктаэдр (группа 432)

В о

второй

группе

(группа

432)пр и

такомж

е

расположении

осей

3 вдоль

координатных

осей проходят оси

4.

Вместе

с тем

(в соответствии

с теоремой

4)

возникают оси

2,

проходящие

по

диагоналям

координатных

плоскостей

(ось4

содержитв

себе

ос2) ь

.

Расположение

перечисленных

осей

показано

а

38

рис. 1.4б.1,	. Примером фигурыс такой симметрией является мно-
гогранник, изображенный на рис. 1.4.2,6.
Третья	группа (группа25 , рис. 1.4.3) содержит шесть осей5 ,

десять осей 3 и пятнадцать осей 2. В отличие от двух предыдущих групп здесь минимальный угол между осями 3 составляет

-41,8°.

Если расположить в пространстве какие-либо две поворотные оси высшего порядкав относительной ориентации, е встречаю-

	^гГ^	* ^7^?
	*-	• ^ \
у\	:^	%\
		vx
~^х 1 >'^-^—L/	^:^V-\>7

Рис. 1.4.3. Расположение элементов симметрии в точечной группе25 . Если считать штриховые линии изображением плоскостей симметрии, о получится точечная группа т5

щейся ни в одной из перечисленных групп, и рассмотреть, какие

элементы симметриипр и этом возникают, о окажется,чт о вся

ка я прямая, проходящая через точку пересечения исходных осей,

является осью оо. В итоге получается группа, обозначаемая оооо

и содержащая бесчисленное множество осей бесконечного порядка. Эту группу называют группой вращений', она содержит в себе всевозможные повороты вокруг всевозможных осей. Геометрическим образом, иллюстрирующим такую симметрию, является

шар, в котором все точки	поверхности вращаются	в одном на-
правлении (например, о	часовой стрелке) вокруг	соответствую-
щего радиуса (см. рис. 1.3.1, г).

То, что всякое расположение двух осей высшего порядка в ориентации, не встречающейся в группах 23, 432 и 25, приводит

39

к группе	оооо,	означает,		например,чт дво осе		6иил оси 6ь и ка	-
кая-либо	другая,		не совпадающая			с ней по направлению, ось
высшего	порядка		могут	одновременно		присутствовать			только в
группе оооо.
VII. Семейство шара. Добавлениек						группам2 и 343		2	трех
плоскостей симметрии, совпадающих						координатными		плоскостя-
ми, приводитк		группам		тЗитЗ т	(рис. 1.4а.4,в),		. Еслик		груп-

Ри 1с	4.4. Расположение элементов симметриив					точечных группах семейства
				шара: __
	—а	группатЗ	б,—	группа 43т,в—			группатЗ	т
пе 23	добавить	шесть	плоскостей		симметрии,		перпендикулярных
диагоналям координатных плоскостей, возникает группа, обозна-
чаемая43	т	(рис. 1.4пр.4,6);		и	этомн	а	месте	осей2 в	соотве

ствии с теоремой 3 появляются инверсионные оси 4. Добавление таких диагональных плоскостей к группе 432 снова дает уже упоминавшуюся группу тЗт.К группе 25, содержащей пятнадцать осей 2, можно добавить пятнадцать плоскостей симметрии, пер-

пендикулярных этим осям, что	приведет к группе, обозначае-
мой т5.
Таким образом, получаются	четыре группы (тЗ, тЗт, 43т,

т5), содержащие наряду с плоскостями симметрии конечное ко-

личество

осей

высшего

порядка.

Заметим,чт

во

трехиниз

х

(тЗ,и

т

т5)

присутствуют

плоскостит ,

перпендикулярные

осям2

; _следовательно,эт и

группы

содержати

центр

инверсии.

Группа43

т

центра инверсии

е

имеет.

Добавление плоскостей симметрии к любой из групп предыду-

щего

семейства

какой-либо

иной ориентации приводитк

воз-

никновению

бесчисленного

множества

осей

высшего порядка.

В итоге всякая прямая, проходящая через центр, окажется осью

бесконечного		порядка,	а всякая плоскость — плоскостью симмет-
Тарии.	к получается		предельная	группа, обозначаемаят—иоо
описывающая		симметрию шара,е е		называют полной ортогональ-
ной группой. Эта группа содержит				в себе всевозможные поворо-
иты	поворотыс	инверсией вокруг		всевозможных осейВс. то е -

40

чечныс группы симметрии всех семейств являются се подгруп-

пами.

Приведем примеры фигур, симметрия которых отвечает группам последнего семейства. Многогранник, изображенный на рис. 1.4.5, а (пентагондодекаэдр), с гранями в форме «равнобедренных» пятиугольников имеет симметрию тЗ. Аналогичный мно-

гогранникс	правильными	^^угольными гранями	дает пример
симметрии	т5. Такую	же симметрию имеет	икосаэдр
(рис. 1.4.5,6).

Симметрией34 т обладают правильный тетраэдри имеющая тетраэдрическое строение молекула метана СН4 (см. рис. 1.1.2,0).

					Отражение
					S л/10скосту
Рис. 1.4.5. Примеры многогран-
ников, симметрия которых опи-			Рис. 1.5.L_ Действие инверсион-
сывается точечными		группами
семейства	шара:		ной оси 4 эквивалентно дейст-
а—пентагондодекаэдр		(группа	ви ю	зеркально-поворотнойос			и
тЗ), б — икосаэдр		(группа			S,
т5)
Группой тЗ/n описывается симметрия кубаи					октаэдра,		также
многочисленных	октаэдрических		молекули		ионов	(например,
ион [PtCl6]2-).	нужно остановиться			а	принципах	обозначения
В заключение

точечных групп высшей категории. Развернутый символ групп, в

которых	присутствуют четыреос	3и	, состоит	з трех позиций.
Первая	позиция отводитсядл	я	обозначения	координатных эле-

ментов симметрии (плоскостей, перпендикулярных осям координат, и осей симметрии, проходящих вдоль осей координат), третья позиция —лд я диагональных (плоскостей симметрии, перпендикулярных диагоналям координатных плоскостей, и ос?й симметрии, проходящих вдоль этих диагоналей). Во второй позиции ставится тройка, которая обозначает оси 3, проходят е вдоль объемных диагоналей октантов. В остальном правила по-

строения символатжее чт ,	иодл	я	групп	низшей			средней		ьл-
тегории.
Развернутая форма записи		231	432	2	-	43т	4	2
				—31				— 3 ——
				т			m m
Сокращенная фор-ла за.шси		23	432		/г?3			43/тг	/яЗт

41

Символы группс осями пятого порядка2 и 5 т5 строятся по аналогии с символами групп 23 и тЗ.

1.5.ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНЫЕ ОСИ И СИМВОЛИКА ШЕНФЛИСА

До сих пор мы подразделяли закрытые элементы симметрии на поворотные и инверсионные оси.Существует, однако, и другой, совершенно равноценный способ описания симметрии фигур, когда вместо инверсионных рассматриваютсята к называемые «зер- кально-поворотные» оси.

В общем случае зеркально-поворотная ось Sкаn, ик

инверси-

оннаяос ь п,— эт о прямая, несущая а себе особую точкуО .

Однако специфическое свойство зеркально-поворотной оси определяется иначе: фигура, обладающая такой осью, должна самосовмещаться при повороте вокруг данной прямой на угол 360°//г и отражении в плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной оси поворота.

На рис. 1.5.1 показано, как точка Л2 преобразуется в точку А\

в результате поворота на 90° и инверсии в точке О; нетрудно ви-

чдеть,

это

ож

е

преобразо

рота на 90° в обратную сторону в сочетании с отражением в пер-

пендикулярной плоскости, проходящей через точкуОрП . и таком

-

преобразовании

самосовмещаются

целикоми

многогранники,п

казанные

а

рис. 1.1.4. Отсюда

следует,чт

ос

4ь

эквивалентна

зеркально-поворотной оси четвертого порядка S4.

к

зеркально-

Каждую инверсионнуюос ь можно рассмотретька

поворотную, о

соотношение между порядками этих осейв

общем

случае оказываетсян

е

столь

простымОн.

о

выражается

следую-

щими правилами.

1. Инверсионные оси нечетных порядков эквивалентны зеркаль-

но-поворотным осям удвоенных

порядков,т е . . п = 8<2П. Например,

T = S32, =иSQ

т д. .

эквивалентны

зеркально-по-

2.

Инверсионные оси с п = 4/ + 2

воротным

осям

вдвое

меньших

порядков,т е. . n=

Sn/2.

Например,

2 = m = Si = o, 6= S3 и т. д. Таким образом,

зеркально-поворотная

ос

ь

первого порядка

эквивалентна

плоскости симметрии.

3.

Инверсионные оси с п = 4/ эквивалентны

зеркально-поворот-

ным

осямте

жх

е

порядков,т е.

. =n Sn. Например,4

=иS4

т д. .

Для ясности приведем два примера. В многограннике, представ-

ляющем собой вытянутый или сжатый вдоль оси третьего порядка

куб и называемом

ромбоэдром

(все грани — ромбы) (рис.1.7.7),

легко обнаружить

инверсионнуюос ь

З^такка

к

здесь

присутству-

ют поворотнаяос 3ь и

центр

инверсии1

. Нетрудно также убедить-

сячт,

о

ромбоэдр

самосовмещаетсяпр

и

повороте вокругосэтой

60на

в°

сочетании

отражениемв

перпендикулярной

плоскости.

Значит, симметрию этой

фигуры можно

охарактеризовать и зер-

42

кально-поворотной осью 56

(3 = 5б). Еще прощена

примере триго-

нальной дииирамиды

(рис.

1.7.6)

установить эквивалентность осей

6 и 53.

две

альтернативные

классификации закры-

Итак, существуют

тых элементов

симметрии:1

)

поворотныеи

инверсионные

оси;

2)

поворотныеи

зеркально-поворотные оси.

Перваяиниз

х

лежит

в

основеуж

е

описанной

международной

символики

точечных

групп

(символы

Германа

— Могена), вторая используется в

сим-

волике Шенфлиса. В кристаллографии и кристаллохимии применя-

ютп о большей части международную символику;е е преимущество

заключается в

том,

что она удобна для последующего перехода к

обозначениям

групп

симметрии

периодических

фигур,в

первую

очередь кристаллических структур. Когда же речь идет только о

симметрии

молекул,

чаще

пользуются

символами

Шенфлиса

(в квантовой химии, спектроскопии и т. д.). Современный исследо-

ватель, имеющий дело со строением химических веществ, должен

одинаково

свободно

владетьито

ий

другой

символикой.

По

Шенфлису, поворотные

оси обозначаются

Сп, зеркально-

поворотные — Sn.

точечных

групп

низшей

и средней

категории

Для

обозначения

используют буквыС ил

Dи ил

и5

,

цифровые индексы, указываю

щи е

порядок

оси,

буквенные индексыvил

dиил

и

/i, свидетель-

ствующие о наличии плоскостей симметрии. При этом действуют

следующие правила:

группы, не

содержащие

побочных

а)

буквой

С обозначают

осей 2, буквой D — группы, содержащие такие оси; в этом случае

индекс п — порядок поворотной оси (даже при наличии зеркаль-

но-поворотной оси более высокого порядка);

зер-

б)

буквой5

обозначают

группы,

представляющие собой

кально-поворотные оси четного порядка и не содержащие других

элементов симметрии; в таких группах п — порядок зеркальноповоротной оси;

в^ наличие плоскостей симметрии, проходящих через главную

ось, обозначают индексом v\ если наряду с такими плоскостями присутствуют оси второго порядка, не лежащие в этих плоскостях,

то ставится индекс d\ наличие плоскости симметрии, перпендику-

лярной к главной оси, обозначается индексом /г.

Запишем обозначения Шенфлиса для семейств точечных групп.

1. Группы семейства вращающегося конуса имеют обозначе-

ния Сп:

2	4	в	Со
с	с•	с

2 . Группы семейства скрученного цилиндра помимо главнойсо и имеют побочные оси второго порядка; следовательно, они обозна-

чаютсяка к Dn:

>i(Q D3

3. Группы			семейства		неподвижного		конуса	помимо		главной
ос и содержат			плоскости, проходящие через главную						ось,	поэтому
они имеют обозначения Cnv:
				Г	Г	г
				^2и °4и		ьво• •
Группа C\Vy			содержащая только плоскость зеркального отражения,
чаще обозначается символом Cs.							цилиндра,		содержащие
4.	Группы семейства				вращающегося
только зеркально-поворотные оси четных порядков, обозначаются
как Sn:
82	SQ	SIQ.. .		4/4-2
4	Ss	..5i2 .		4/
Группы первогои з				этих двух рядов обозначают также символами
Сщ> используято чт,				о	фигурирующие здесь зеркально-поворотные
оси эквивалентны				инверсионным осям			вдвое меньших			порядков;
в таком случае п — это порядок инверсионной оси.								Таким образом,
52 = С/, 5е = Сз», S\Q = Cst					и т. д.
Остальные группы этого семейства содержат плоскость симмет-
рии,	перпендикулярную					иглавной оси,				каобозна

С*н

Предельная группа этого семейства имеет обозначение 5<х> или CW.

5Т. е группы семейства неподвижного цилиндра, которыесо - держат плоскость симметрии, перпендикулярную главной оси, обозначаются как DUH, а те, которые содержат плоскости симметрии, проходящие через главную ось, но не совпадающие с побочными осями, обозначаются символами Dnd\

Dld(C*h) DM	м„ . ..
ZX, (С*..} D3h

/Jooft.

Первые группы первых двух рядов, уже встречавшиеся в других

семействах, обычно обозначаютсяк к		С2ни C%v	соответственно.
В группах третьего ряда цифровой индекс соответствует порядку
поворотной оси, входящейв	качестве подгруппыв			зеркально-по-
воротную (инверсионную)	ось. Например,		42m=	D2d, 82rn=	D4d
итд. .		используются		следующие	сим-
Для групп высшей категории
волы:

44

Семейство шара с вращающимися точками			Семейство шара
поверхности
•
международный символ	символ Шенфлиса	международный		символ Шенфлиса
		символ

23

Т

43т

Td

—

—

тЗ

Th

432

0

тЗт

oh

25

I

/72,5

Ih

к

оо

Кн

0000

— т

m

Группы, содержащиеос и

пятого порядка, обозначаются буквой /,

содержащие

поворотные

оси

четвертого

порядка — буквой О,

группы,н

е

содержащие этих

осей,

обозначаются буквойТ

. Пре-

дельные

группы с

осями

бесконечного

порядка записываются

с

помощью символаК . Наличие

плоскостей

симметрии

отмечается

индексом /I. Ввиду

тогочт о

существуютдв

е

группыТ с

плоско-

стями

симметрии,

одна

из

них (содержащая координатные пло-

скости)

записываетсяка

к

Тн,

другая(

с

диагональными плоскостя-

ми)— ка

к

Td.

1.6. ОРБИТЫ, ИЗОГОНЫ,

ИЗОЭДРЫ

Всякому элементу симметрии соответствует некоторое преобра-

зование,пр

и

котором

рассматриваемая фигура совмещается

сама

с собой; такое преобразование называется симметрической опера-

цией (подробней этот вопрос обсуждается в		разделах 2.1—2.4).		-
Совокупность точек, которые преобразуются другв			другавре
зультате проведения операций симметрии,		называется системой
эквивалентных позиций,ил	и орбитойВ . дальнейшемм ы		будемго -
ворить, что такие точки	(или такие позиции)	связаны	симметриче-

скими операциями, или элементом симметрии. Например, атомы углерода в молекуле бензола связаны осью 6, и поэтому они занима-

ют эквивалентные позиции; атомы водорода располагаются о Другой орбитеВ. молекуле метана одну орбиту занимают атомы

водорода, другую — атом углерода (в последнем случае орбита включает в себя лишь одну позицию).

Разумеется, если речь идето

молекулах,в

эквивалентныхпо -

зициях могут располагаться только атомы одного элемента. Это, однако, не означает, что все атомы данного элемента, входящие в молекулу, должны занимать одну орбиту. Например, в молекуле

SbCl5 (см.рис.1.1.2,6) атомы хлора, лежащие в экваториальной

плоскости, расположены по точкам одной орбиты, а атомы хлора,

лежащие на оси 3, занимают эквивалентные позиции на другой орбите. Для химика существенно, что атомы, относящиеся к одной системе позиций (и только эти атомы), вполне идентичны по

своим свойствам.

Число точек, входящих в данную систему эквивалентных позиций, называется кратностью эчой системы (орбиты), или кратностью позиции. Например, в случае молекулы SbCls кратность по-

зиции в экваториальной плоскости равна трем, а кратность пози-

циипсо а 3и— двум.

Позиция называется частной, если точка расположенан а каком-

либо элементе симметрии. В противном случае позиция называется

общей. Частые позиции могут быть разных типов: а плоскости

симметрии,н а оси,в особой точке инверсионной оси,в центре симметрии, в точке пересечения осей симметрии. Например, в молекуле 5Ь(СбНб)зС12 (см. рис.1.3.4, а) атомы С и Н, не лежащие на 2осях , занимают общие шестикратные позиции. АтомыС и Н

лежащие на осях 2, располагаются в частных трехкратных позициях. АтомыС 1 занимают частную двукратную позициюноса 3п ,

и, наконец, атом Sb находитсяв частной однократной позициив точке пересечения осей 3 и 2. Отметим, что кратность общей позпппи всегда больше кратности частной позиции.

Как уже было сказано в разделе 1.1,в каждой непериодиче2коя фигуре имеетсяп о крайней мере одна особенная неповторяющаяся точка, т. е. орбита с кратностью 1.

Рассмотримлд я примера, какие типы позиций возможнывот - чечной группе mmm и как они изобразятся на проекции *. Во-пер- вых,тэ о общая восьмикратная позиция, изображенная а рис. 1.6.1, а. Затем, имеются частные позиции различных типов: на

	Ри с	1.6.1. Возможные			типы систем		эквивалентных позицийв			точеч-
	а—	общая позиция,б —				ной группе mmm:
					позициян а плоскости симметриит в ,—
				позиция на оси 2, г — позиция в центре инверсии
плоскости				симметрии	(рис. 1.6.1,		б,	кратность	равна4)	п, оса	п2
(рис.		1.6.1,		в, кратность		равна	2)	и в центре симметрии			(рис.
1.6.1, г,			кратность равна			1).		входящихв	систему эквива-
	Если		координаты		однойи з точек,
лентных позиций, обозначить х, у, z, то координаты остальных то-
че	к	данной системы можно выразить чсфс,'							эти величины.
тсии	Перечислим типы орбит для группы гптпг с указанном кратно-
	ксо; динат точек:

1 На проекции рядом с точкой указывают ее координату (+ z или —г).

Часто буквуz

опускают, сохраняя знакил+

и —. Если точка расположенав

плоскости проекции, т. с z -^0, координату вообще не указывают.

81)(общая позиция):х , гу, ; к, у, —г; х, —у, z\ x, —у, —г;

—х, у, z\ —х, у, —z\ —х, —у, z\

—х, —у, —z\

2)

4

(на плоскости тх): 0, #, г;

0, #, —г;

0, —у, г;

0, —у, —г\

; —0д

34)(н

а

а

плоскости mхY ): 0,

, хг; 0, ,

;

—2; —0х,

г,

44)(н

плоскости mz ): х, 0г/, ;

х, —0у, ;

—#х, 0,

—х,

—0у,

;

5)

2

(на

оси

2Х): х, О, 0; —х, О, О;

;

62)

(н

оса

и 2У0):

, 0t/, 0;

, —0#,

7) 2

(«а

оси 2Z ): 0, 0, г\ О, 0, —z;

О,

О,

.

81)

(

в

центре симметрии):О

В

разных

молекулах симметрии ттт

атомы

могут

занимать

пози-

разное число систем эквивалентных позиций; кромеэттого,

и

ции могут отличаться по типу и по значениям координат. Так, в

Рис.	1.6.2. Нумерация атомов в		мо-	Рис.		Кристалл			карбамида
лекуле		нафталина. Обозначения	ато-			CO(NH2)2:
мов	С	или Н, занимающих эквива-		а — общий вид,б — стереографическая
лентные		позиции, имеют одинаковый		проекция	нормалей		к	граням	(гномосте-
		нижний индекс		реографическая			проекция		граней)
плоской молекуле нафталина (рис. 1.6.2)						атомыС		располагаются
по точкам трех орбит:
	—GI	позициян а плоскости mz;		д; = 2,406;		// = 0,698А		;
	С2	— позиция на плоскости mz; x= 1,230; #=1,408 А;
	С3	— позиция на оси 2У; у = 0,698 А.
	Атомы Н занимают д,ве		однотипные орбиты:
	HI — позиция на плоскости mz\ д: = 3,350; #=1,243 А;
	Н2	— позиция на тоскости mz; x= 1,230; # = 2,498 А.
	Рассмотренный пример		показывает,чт		со	использованиемап -

парата точечных групп и понятия об эквивалентных позициях можно представить полную информацию о строении молекулы в очень сжатой форме. Действительно, прибегнув к общеизвестным формулам аналитической геометрии, из приведенных данных нетрудно сосчитать межатомные расстояния и валентные углы в молекуле нафталина.

Многогранник, вершины которого составляют одну орбиту, называется изогонам. Пример изогона — прямоугольный паралле-

ле'ч.псд;ег

о вершины представляют собой систему позицийв

груп-

пе nimm

(см. рис. 1.6.1,

а).

Однако чаще в кристаллохимии и кристаллографии приходит-

ся иметь дело с многогранниками иного типа,

называемыми изо-

эдрамиВ1.

изоэдрсвс е

грани

связаны

элементами

симметрии

поэтому

совершенно

идентичны. Например,

изоэдрами являются

куб, правильный п

тетрагональный

(см. рис.1.1.4,

а)

тетраэдры,

многогранники, изображенные

на рис.1.4.2 и

1.4уж.5,

е

упоминав-

шиеся

выше

тригональная

дипирамида (рис.1.7.6)

и ромбоэдр

(рис.

1.7.7).

грани,

всегда

Многогранник, содержащий разные по форме

можно представитька

к

комбинацию изоэдровПр.

и

таком подхо-

де пзоэдром называют совокупность симметрически эквивалентных

и, следовательно, ра.вных граней многогранника

(отметим,чт по

-

нятие изоэдра аналогично понятию орбиты).

Чтобы

представить

общинви

д

изоэдра,

нужно продолжить входящие

него

гранид

о

пересечения.

Подразумевается,чт

о

изоэдр

можеткабыть

к

замк

нутым, та:;и

незамкнутым

(открытым) многогранникомВ.

част-

ном случае изоэдр включает себя лишь одну грань (моноэдр) или две грани, которые при их продолжении пересекаются (диэдр)

и т оказываются параллельными					(пинакоид). Так, многогранник
па ри:. 1.1б.4,		содсржчттр	и	изоэдра, среди которых нарядус					тет-
рагональным тетраэдром имеется					пинакоид (пара горизонталь-
но гранен),		третий изсэдр		образован		четырьмя		вертикальными
г р а н я м и . Число граней,			входящих		в изоэдр,		называется его		крат-
ь^пыо.
Дл я	изображения изоэдров пользуются стереографической про-
екцией	(см.раздел 1.1). При			этом,	однако,		изображают не сами
грани,и	х нормали, считая			последние		лучами,		исходящими из
начала	координат (так называемая гномостереографическая								про-
екция	граней) . Точку пересечения				нормалис		о	сферой проекции

соединяют с южным полюсом, если эта точка находится в северном полушарии, и с северным — если точка пересечения оказыва-

етсяв	ною>!	м полушарииВ.			первом случае		точку, полученнуюп а
плоскости		проекции,		обозначают		кружочком		(«верхняя» грань),
по втором случае —				крестиком		(«нижняя»	грань). Грань, которая
п е р п е н д и к у л я р н а			плоскости		проекции (т.		е. се нормаль лежит в
Э ' о й	плоскости),		изображается кружочком				на	окружности	проек-
ции.		рис. 1.6в.3		качестве примера показана проекция					к р и с т а л -
Н а

ла карбамиду CO(NH2 )2, симметрия которого описывается то к^ч-

пой группой 42/71. Этот многогранник представляет собой к ^ л г » ч - п-щгю /пух систем экр'палснтных граней,т е. . двух и"о?;-поНтз. а

ПРО'.1 ЩИ И Г р а П Я М , ОТНОСЯЩИМСЯ К ОТ . НОМу ИЗО"5Дру, CO' - vp"T(Mr^ TQT

ол:'пал'(н>ые померз. Кратность обоих пзоэдров,т е. . ч:.сло ичодя-

пиь. в них гранен, в дгмчюм случае р а ч м а 4.

Частолд я обозначения этог

(К п э д а»

48

Примеры проекций более

сложных многогранников

(кристал-

ло в

кварцаи

NaClO3)

приведены

а

рис.

1.7.и10

1.7.19.

Здесь

стоит

обратить внимание

тоа

чт ,

о

если

нормалик

нижней

верхней граням лежат в одной вертикальной плоскости и при этом

имеют

равный наклон

по

отношению

к экваториальной плоскости, то они

проектируютсяв

одну точку,

находя-

щуюся внутри круга проекции, и изо-

бражаются как крестик в кружочке;

рядом ставятся номера этих граней,

разделенные

черточкой;эт

и

номера

одинаковы, если грани относятся к од-

ному

изоэдру,

различны,

еслион

и

принадлежат разным изоэдрам.

Проекции,

подобные

изображен-

ным

а

рис.

1.7.и10

1.7.19,

обычно

строят

приближенно, так,

чтобы лишь

качественно

охарактеризоватьви

д

многогранника

(огранку

крис.алла). р"^6-4-

При этом наклон граней определяют

«па

глазок»,

следя

за

тем,

например,

вертикали,

распо-

чтобы

изображения

нормалей,

более

близких

лагались ближек центру

круга,итп . .

проекцию

многогранника. Для

По

можно

построить

точную

этого

положение грани (вернее нормали к ней)

характеризуют с

помощью сферических

координат

ср

и р,

описывающих

положение

точки

пересечения

нормалис о

сферой (рис. 1.6.Пр4). и изучении

огранки кристаллов эти

координаты

непосредственно измеряют на

— а	общий	бвид,—		Рис 1 6.5 Сетка	Вульфа:		поясняющий способ			построе-
				вспомогательный	чертеж,
ния сетки (вид сбоку), в — проекция грани,						для	которой	(р—155°,		р —68°
приборе, который называется гониометром. Для								нанесения точек
па	проекцию		пользуются сеткой Вульфа			(рис. 1.6а).5,			, наклады-
вая	калькуп	а	стандартный шаблонс			изображением			этой сетки.

Здесь имеются две шкалы — на окружности и на диаметре (на рисунке цепа делении равна 30°, кристаллографы обычно исполь-