C22013

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

	тогда MH 13 x. Выразим															SH2			из
	прямоугольных треугольников															ASH			и
	SMH ,	и					решим								уравнение
	4 x2 9 (				x)2 . Получаем											x			4		.
			13
																			13
	Тогда SH					4				2		6
				4											.
						13						13
												Ответ:							6			.
																			13
	Пример 12. В правильной четырех-
	угольной призме					ABCDA1B1C1D1										стороны

основания равны 1, боковые ребра 2. Точка Е – середина ребра AA1 . Найти расстоя-

ние от вершины D до плоскости BED1.

Решение. Построим перпендикуляр из точки D на плоскость BED1 . Пусть точка K

– след плоскости BED1 на ребре CC1 (см.

рис. 11). Так как ED1 || BK (прямые пере-

сечения плоскостью BED1 параллельных граней параллельны), то из равенства прямоугольных треугольников EA1D1 и

BKC следует, что A1E CK , а тогда

C1K KC .

Рис. 11

Так как прямые ED1 и AD лежат в одной плоскости и не параллельны, то P ED1 AD есть общая точка плоско-

сти основания и плоскости BED1. Аналогично их общей точкой является

Q D1K DC .

Точки P, B и Q лежат на прямой пересечения указанных плоскостей.

Из равенства прямоугольных тре-

угольников	EA1D1 и PEA следует
PA A1D1.	Аналогично получаем, что
04.12.2012	11

DC CQ. Следовательно,	прямоуголь-
ных треугольник PDQ	равнобедрен-

ный и PD DQ 2. Тогда PQ 22.

В этом треугольнике DB биссектриса, а значит и высота, то есть DB PQ.

Тогда и D1B PQ по теореме о трех пер-

пендикулярах и PQ BD1D.

Плоскость BD1D BED1 по признаку перпендикулярности плоскостей. Следовательно, длина перпендикуляра DH , проведенного из точки D на прямую пересечения этих плоскостей BD1 , есть искомое расстояние, равное высоте прямоугольного треугольника BD1D, в котором

BD 2 , D1D 2 и BD1 6 .

D; BED DH	D1D BD		2	2			2	3	.
1	BD1			6				3

Ответ: 2 3 . 3

Пример 13. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , ребра которой равны 1, найти расстояние от точкиA до плоскости A1B1С .

Решение. Прямая FC перпендикулярна АЕ и AA1, поэтому перпендикулярна плоскости AA1E1 (см. рис. 12). Пусть

FC AE G . Плоскость AA1E1 перпен-

дикулярна плоскости A1B1С , содержащей прямую FC, и пересекает ее по прямой A1G . Длина высоты AH в треугольнике

AA1G является искомым расстоянием.

		D1	C1
E1
F1		A1		B1
		D		C
E		H
F	G			B
		A
		Рис. 12
Так как в прямоугольном треугольнике
ADE AE
		AD2 ED2 ,		то есть

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

	AE		, то AG	3	. Из прямоугольно-
		3

2

го треугольника AGA1 находим

GA1 3 1 7 . 4 2

Высота AH равна

	AG AA		3		7		3
AH	1			1	:				.
	GA		2
					2		7
	1
					Ответ:						3	.
	Метод параллельных						7
	прямых и плоскостей

Данный метод опирается на следующие два утверждения. Расстояние от точки M до плоскости :

1) равно расстоянию до плоскости от произвольной точки P , лежащей на прямой l, которая проходит через точку

Mи параллельна плоскости ;

2)равно расстоянию до плоскости от произвольной точки P , лежащей на плоскости , которая проходит через

точку M и параллельна плоскости .

Пример 14. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки С1 до плоскости АВ1С .

Решение. Так как прямая А1С1 парал-

лельна AC , то прямая А1С1 параллельна плоскости АВ1С (см. рис. 13). Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой А1С1 до плоскости АВ1С . Обозначим расстояние

от центра О1	квадрата	A1B1C1D1 до плос-
кости АВ1С через h.
	C1
B1	O1	D1
	A1

E

C

BO D

A

Рис. 13

Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О, где O – центр квадрата ABCD. Покажем, что О1Е AB1C . Прямая О1Е лежит в плоскости BB1D1D, а прямая AC перпендикулярна этой плоскости (объясните). Поэтому О1Е АС и О1Е – перпен-

дикуляр к плоскости АВ1С , а О1Е h.

Так как В О													2	, О О 1, то из пря-
	1					1		2						1
моугольного треугольника OВ1O1																						найдем
											.
ОВ		1	1					3					Искомое						расстояние
1	2							2
равно	h			BO OO												2	1:		3				3		.
				1		1		1
														2					2
					OB1																	3

Ответ: 3 . 3

Пример 15. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 4, найти расстояние от середины ребра BC до плоскости грани EMD.

Решение. В правильном шестиуголь-

нике ABCDEF BD DE и BD 3.

Точка O центр ABCDEF (см. рис. 14). Тогда MO высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника MOD получа-

ем MO 15. Апофему MN боковой

Рис. 14

грани DME находим из прямоугольного треугольника MDN

04.12.2012

12

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

MN	MD	2	DE			2		3	7
											.
			2					2
По признаку			перпендикулярности
плоскостей	(DE MON ,							поскольку
DE MO и	DE MN )						MON DME .

Поэтому высота OH треугольника MON перпендикулярна плоскости DME . Из прямоугольного треугольника MON , в

	котором OL		BD			3			, получаем
						2
	2
		MO ON											:	3							.
	OH										3				7				5
							15
																			7
		MN								2 2

Опустив из точки L перпендикуляры LQ на плоскость грани DME и LK на прямую DE, получим треугольник LQK , подобный треугольнику OHD . Так как расстояние от точки L до прямой DE

равно LK			3	BD			3	OL, то коэффици-
4						2
ент подобия				этих		треугольников									равен
	3	. Отсюда LQ			3	OH			3			5					45				.
2												7			28
				2		2
									Ответ:										45				.
															28
			Метод объёмов

При решении задач данного типа используется следующее утверждение.

Если объём пирамиды АВСМ равен VABCM , то расстояние от точки M до

плоскости , содержащей треугольник АВС, вычисляют по формуле

M, M, ABC 3VABCM .

SABC

В общем случае рассматривают равенство объёмов одной фигуры, выраженные двумя независимыми способами.

Пример	16.	Ребро	куба
ABCDA1B1C1D1	равно а. Найти расстоя-

ние от точки C до плоскости BDC1 .

Решение. Искомое расстояние x равно высоте CQ (см. рис. 15), опущенной в

пирамиде BCDC1	из вершины C на ос-
нование BDC1 .
04.12.2012	13

Объём этой пирамиды равен
1	S		CC		1		1		BC CD CC		a3
		BCD										.
3
				1	3		2		1	6

С другой стороны, так как треугольник

BDC1 равносторонний со стороной а2, объём пирамиды равен

1

SBC D CQ

1

(a

2)2 3

x

a2

3

x.

3

3

4

6

1

B1

A1

C1

D1

B

Q

A

R

C

D

Рис. 15

a3

a2

3

x, из

Получаем уравнение

6 6

которого находим x a 3 . 3

Ответ: a 3 . 3

Координатный метод

Расстояние от точки M x0 , y0 , z0 до плоскости , заданной уравнением ax by cz d 0, можно вычислить по формуле

M,		ax0 by0 cz0 d			.	(3)
			a2 b2 c2

Вывод уравнения плоскости. Приве-

дем один из способов получения уравнения плоскости, если известны координаты трех ее точек M(xM ; yM ; zM ),

N(xN ; yN ; zN ), P(xP; yP; zP ), не лежащих на одной прямой. Для этого нужно взять в общем виде уравнение плоскости ax by cz d 0, в котором a,b, c, d –

неизвестные числа. Подставив в него координаты точек M, N, P, получим систему уравнений:

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

axM byM czM d 0,axN byN czN d 0,

axP byP czP d 0.

Решив ее, найдем a pd,b qd, c rd

(если окажется, что	d 0, то	a pc,
b qc; если d c 0,	то a pb). Под-

ставив в исходное уравнение и сократив на d 0, получим уравнение

px qy rz 1 0.

Иногда удобно использовать уравне-

ние плоскости в отрезках

x		y		z	1,	(4)
a b				c

если известны координаты точек a;0;0 ,

0;b;0 , 0;0;c пересечения данной плоскости с координатными осями Ox , Oy , Oz соответственно.

Пример 17. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 0;1;0 , N 1;0;0 , P 1;1;1 .

Решение. Записав в общем виде уравнение плоскости ax by cz d 0 и подставив в него координаты этих точек, получим:

a 0 b 1 c 0 d 0, (дляточкиМ)

a 1 b 0 c 0 d 0, (дляточки N)

a 1 b 1 c 1 d 0. (дляточки P)

Отсюда b d, a d и		c d . Уравне-
ние плоскости	MNP	имеет вид
dx dy dz d 0	или	x y z 1 0

после сокращения на d 0.

Пример 18. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости DEF1 .

Решение. Введем систему координат, как показано на рисунке 16, и найдем координаты точек:

		1		3						1		3					1		3
			;		;0		,D				;		;0		,E			;		;0		,
	А
		2		2						2		2					2		2

F1 1;0;1 . Пусть	ax by cz d 0 – урав-
нение плоскости DEF1 . Подставляя в него
04.12.2012	14

координаты точек D, E , F1 , получим:

					1		a							3							b d 0, (дляточки D)
					2									2
	1				a						3						b d 0, (дляточки E)
										2
	2
						a c d 0. (дляточки F1)
											B1 z														C1					D1
						A1																			E1
																	F1
										B															C
																														D
						A																O												y
																										E
																					F
														x
																						Рис. 16
																																	b			2								d ,
	Отсюда															имеем									a 0,														3
																																					3
c d . Уравнение плоскости DEF1
																																						при-
мет вид 2																	y 3z 3 0. Вычислим рас-
													3
стояние от точки																								А до плоскости														DEF1
по формуле (3):
																					0	1			2					3			3 0 3
																										3
A; DEF1																					2			2
																									02 (2				3)2 32
		6						2																		Ответ:								2										.
													21							.																		21
21										7																			7

Пример 19. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки А1 до плоскости BDC1 .

Решение. Составим уравнение плос-

кости,	проходящей через точки B(0;1;0),
D(1;0;0)		и C1(1;1;1)	(см. рис. 17).
Для этого подставим координаты этих
точек	в	общее уравнение			плоскости
ax by cz d 0.			Получим		систему
уравнений
b d 0,				b d,
a d 0,				или a d,
a b c d 0				c d.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

z	B1
A1		y	C1
	B	D1
			C
A		D
			x

Рис. 17

Отсюда находим уравнение

dx dy dz d 0

или

x y z 1 0.

По формуле (3) находим расстояние от точки А1(0;0;1) до плоскости BDC1:

		0 0 1 1
А;							2 3			.
1		1 1 1			3
						Ответ:					2	3		.
					3

Векторный метод

Пусть дана плоскость , содержащая два неколлинеарных вектора q1 и q2 , точка A принадлежит плоскости , точ-

ка M вне плоскости , MA m (см. рис. 18).

Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности

вектора MP векторам q1 и q2 :

									0,
MP q 0,		(m x q			y q	2	) q
	1			1			1
									0.
			(m x q		y q	2	) q	2
MP q2 0				1

Искомое расстояние выражается следующим образом:

MP						)2 .
			(m x q		y q
				1	2

Пример 20. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от

точки А1 до плоскости BDC1 .
Решение.	Пусть	AD a ,	AB b ,
AA1 c (см.	рис. 19),	тогда	|a | |b |

| c | 1, a b a c b c 0.

Выразим векторы DB, DC1, C1A1 че-

рез базисные a, b, c :

DB b a, DC1 b c , C1A1 a b .

Пусть МА1 BDC1 , где M BDC1.

Вектор C1M x DB y DC1 , поэтому

MA1 C1A1 C1M C1A1 (x DB y DC1).

Рис. 18

Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости , то есть длину перпендикуляра MP (P ), представим вектор

MP в виде

MP
	MA AP m x q1		y q2 .
04.12.2012			15

Рис. 19

Далее имеем
	MA DB,			MA DB 0,
		1			1
			DC1			DC1	0
	MA1			MA1
					2			0,
C A			DB x DB y DC				DB
	1	1				1

C1A1 DC1 x DB DC1 y DC12 0.

Так как

C1A1 DB ( a b)(b a) a2 b2 0,

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

DC1 DB (b c)(b a) b2 1, DC1 C1A1 (b c)( a b) b2 1,

2
DB (b a)2 b2 a2 2,
2
DC (b c)2				b2 c2 2,
1
0 (x 2 y 1) 0,
то имеем
1 (x 1 y 2) 0
2x y 0,					x 1/3,
x 2y 1					y 2/3.
Отсюда получаем
		1				2
MA1 a b			(b	a)						(b	c)

33

2a 2b 2c ,

					3				3			3
							2						2				2				2
	MA1								a					b							c
							3					3					3
															2
				4				4		4								3			.
				9												3
							9		9
																										2					.
																Ответ:													3
																												3
Замечание. Вектор MA1																		в данном ба-
																2				2			2
зисе имеет координаты																		;					;					, по-
																3
																				3			3

этому длину этого вектора можно найти

по формуле	MA					a2 b2					c2 , то есть
	1
										2				.
MA			4		4		4					3
			9
1				9		9					3

Метод опорных задач

Применение данного метода состоит в использовании известных опорных задач, которые в большинстве случаев формулируются как теоремы.

Расстояние от точки M до плоскости можно вычислить по формуле

	r	,	где M, ,		M	, ,
1 r				1	1
1
OM r,			OM1 r1, MM1 O ; в част-

ности, 1 , если r r1 (прямая m, проходящая через точку M , пересекает плоскость в точке O, а точка М1 лежит на прямой m (см. рис. 20а и 20б)).

04.12.2012

16

		M		M
	M1
m				m
O	A1	A	A1 O	A

M1

а б

Рис. 20

Пример 21. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до плоскости АВ1С .

Решение. Используем найденное расстояние (пример 14) от точки С1 (от точ-

ки O1 ) до плоскости АВ1С . Опустим перпендикуляр D1F на прямую B1E (см. рис. 21). Тогда имеем

(D1, AB1C) (O1, AB1C) B1D1 , B1O1

(D1, AB1C) 3 2 23 . 3 3

Ответ: 2 3 .

			3
	C1
	B1	O1	D1
	E	A1
	F
	C
	B		D
	A
	Рис. 21
	Пример 22. Точки	A, B, C, D являют-

ся вершинами параллелограмма, ни одна из сторон которого не пересекает плоскость . Точки A, B, C удалены от плоскости на расстояние 2, 3, 6 соответственно. Найти расстояние от вершины D до плоскости .

Решение. Опустим перпендикуляры из вершин A, B, C и D на плоскость .

Точки A1, B1,C1, D1 – их ортогональные проекции на (см. рис. 22).

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Точка O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, которая проектируется в точку O1 – точку пересечения диагоналей параллелограмма A1B1C1D1 (по свойству проекций). Так как точка O делит отрезки AC и BD пополам, то по свойству проекций отрезков точка O1 также делит отрезки A1C1 и

B1D1 пополам. Четырехугольники C1CAA1

и D1DBB1 – трапеции. Отрезок OO1 их средняя линия. Тогда

CC1 AA1 DD1 BB1 . 2 2

Отсюда DD1 CC1 AA1 BB1 и, так как

CC1 6, BB1 3, AA1 2, то DD1 5.

	B	C
A	O
		D
B1	O1	C1
A1		D1

как МЕ – средняя линия в треугольнике SOA, DE – средняя линия в треугольнике

ОАL, то

	3		1		92			3		1		92
M		; 1;				,	K		;1;				.
	3		2		3			3		2		3

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки С, М и K. Подставим координаты точек С, М и K в общее уравнение плоскости ax by cz d 0, получим систему уравнений

43 a d 0,

3

		3				23
				a b					c d 0,
	3					3
		3		a b		23			c d 0.
	3					3

Рис. 22

Ответ: 5.

Решение одной задачи разными методами

Пример 23. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найти расстояние от вершины A до плоскости CMK, если

SC = 6, AB = 4.

Решение. 1-й способ (координатный метод). Пусть SO – высота пирамиды, которую найдем из треугольника SOC

(см. рис. 23):

							4					2
										3					92	.
SO	SC	2	OC	2		2
						6
									3						3

Введем систему координат, как показано на рисунке 23, и найдем координаты

4		3			2 3
точек C			;0;0 ,	A		; 2;0 . Так
		3			3
04.12.2012						17

Рис. 23

Вычитая из третьего уравнения второе,

определяем b 0 . Теперь из					первого
уравнения выразим a		3		d	и подста-
	4

вим во второе. Получим

c 53 d . 423

Уравнение плоскости СМK имеет вид

3 dx 53 dz d 0

4

4

23

или

69x 53 z 423 0.

Воспользуемся формулой (3) расстояния от точки до плоскости

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

(A;CMK)

					2		3
		69									0 ( 2) 5 3 0 4 23
					3
					(
								69)2 02 (5 3)2
																.
														23
											2

Ответ: 23 .

2

2-й способ (метод объемов). Так как середина отрезка SA точка M принадлежит плоскости СМK, то точки A и S равноудалены от этой плоскости (см. рис. 24). Расстояние от точки S до плоскости СМK высоте пирамиды SKMC, опущенной на основание KMC.

Найдем объём пирамиды SKMC и площадь треугольника KMC.

SM SK

VSKMC SA SB VSABC

	1		1		V							1		1				SO S
														3
2 2							SABC		4												ABC
				1				92			16				3				2	23			.
								3
12									4					3

где SО – высота пирамиды SABC, опущенной на основание ABC (см. рис. 23).

S

K P

M

H

B C

L

A

Рис. 24

Треугольник KMC равнобедренный KC = MC и KM = 2 (как средняя линия треугольника SAB). Найдем MC из треугольника ASC (как его медиану):

MC 1 2 AC2 2 SC2 AS2

2

1 2 42 2 42 42 17 . 2

04.12.2012

18

Тогда высота треугольника KMС, опущенная на KM из точки C, равна

MC	2		KM 2
						17 1 4
			2

1

и площадь SKMC 2 2 4 4.

Соответственно, искомое расстояние

(A;KMC) (S;KMC)

.	3 VSKMC		3	2 23
						23
				3
								.
	SKMC
			4			2

3-й способ (поэтапно-вычислитель-

ный). Так как прямая BA параллельна плоскости СМK (BA|| KM) (см. рис. 24), то искомое расстояние равно расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости.

Пусть точка L – середина стороны BA. Тогда SL BA и CL BA (как медианы равнобедренных треугольников, опущенные на основание) и BA SLC , а, следо-

вательно, и KM SLC .	По признаку
перпендикулярности	плоскостей
KMC SLC .

Так как PC KMC SLC , то перпендикуляр LH, опущенный из точки L на PC , будет являться перпендикуляром к плоскости СМK и его длина будет равна искомому расстоянию.

Рассмотрим треугольник LSC. Так как точка P лежит на KM, то LP PS и площадь этого треугольника равна половине площади треугольника LSC.

1

SLSC 2 SO LC 2 23 ,

где SO SC	2		AC 2					2	23
												высота
				3				3

пирамиды, а LC AC sin60 23. Тогда

	SLPC		1	SLSC			.
						23
		2

Найдем PC из треугольника LSC (как его медиану)

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

PC 1 2 LC2 2 SC2 SL2

2

1 24 72 32 4. 2

Тогда LH 2SLPC 23 .

PC 2

Тренировочные упражнения

23. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1 .

24. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно

3. Найдите расстояние от вершины C до плоскости BDС1.

25. В кубе ABCDA1B1C1D1 , ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP 3PD. Найдите расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF .

26. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M – середина ребра AA1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости

DA1C1 .

27. (ЕГЭ, 2012). В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E – середина ребра AA1 . Найдите расстояние от вершины до плоскости BED1.

28. (ЕГЭ, 2011). В правильной треугольной призме ABCA1BC1 1 точка M – середина ребра AA1, точка K – середина ребра BB1. Найдите расстояние от вер-

шины А1 до плоскости СМK, если

AA1 6, AB = 4.

29. (ЕГЭ, 2012). В правильной треугольной призме ABCA1BC1 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка D – середина ребра CC1 . Найдите расстояние от вершины C до плоскости AB1D.

30. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE1 .

31. Дан правильный тетраэдр ABCD с

ребром 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BDC .

32.В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если SC = 6,

AB = 4.

33.Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при вершине – прямые. Найдите длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны a, b и c.

34.Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины

ребер AB , АС и AD, если AD 25,

AB AC 10, BC 45.

35.В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины A до грани PCD.

36.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания равна 2 и высота равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости

BCS.

37.На продолжении ребра SK за точку K правильной четырехугольной пирами-

ды SKLMN с вершиной S взята точка A так, что расстояние от точки A до плоскости MNS равно 24. Найдите длину от-

резка KA, если SL 241, MN 16. 38. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF.

04.12.2012

19

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

1.4. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещиваю-

щимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из четырех приведенных ниже способов.

1.(Метод построения общего пер-

пендикуляра или поэтапно-вычисли-

тельный метод). В этом случае строится общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный каждой из них) и находится его длина.

2.(Метод параллельных прямой и плоскости). В этом случае строится плоскость, содержащую одну из прямых

ипараллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстояние от ка- кой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.

3.(Метод параллельных плоско-

стей). В этом случае данные скрещивающиеся прямые заключаются в параллельные плоскости, проходящие через них, и находится расстояние между этими плоскостями.

	C
l1	l2
	C1
A	H

Рис. 25

4. (Метод ортогонального проекти-

рования). В этом случае строится плоскость, перпендикулярная одной из данных прямых, и строится на этой плоскости ортогональная проекция другой прямой (см.

рис. 25).

(l1;l2) (A; BC1) AH,

где A l1 , l1, BC1 ортогональ-

ная проекция l2	на плоскость ,	H ос-
04.12.2012		20

нование перпендикуляра, опущенного из

Aна BC1.

Продемонстрируем применение всех

указанных методов на следующем простом примере.

Пример 24. В кубе, длина ребра которого равна a, найти расстояние между ребром и диагональю, не пересекающей его грани.

Решение. В качестве примера найдем расстояние между ребром AA1 и диаго-

налью D1C (см. рис. 26). Прямые AA1 и D1C скрещивающиеся. Используя каждый из отмеченных способов, покажем, что расстояние между ними равно a .

1-й способ (см. рис. 26а). Так как

A1D1 AA1 и A1D1 D1C , то A1D1 общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых AA1 и D1C. Расстояние между

AA1 и D1C равно A1D1 a .

2-й способ (см. рис. 26б). Так как плоскость DD1C1, содержащая D1C, па-

раллельна AA1, то расстояние от AA1 до DD1C1 равно a .

3-й способ (см. рис. 26в). Плоскость DD1C1, содержащая D1C, параллельна плоскости AA1B1 , содержащей AA1, и расстояние между ними равно a.

		B1	C1		B1	C1
	A1	D1	d	A1	D1	d
	a	B		a	B
			C A			C
	A	D		A	D

аб

		B1	C1		B1	C1
	A1	D1	d	A1		D1
	a	B		a	B	d
			C A			C
	A	D		A
						D

вг

Рис. 26

4-й способ (см. рис. 26г). Плоскость ABC перпендикулярна прямой AA1. Точ-

www.alexlarin.net