Matan_1_semestr_Lektsii

150	Оглавление

f)® ³ xq (x ! 1) ) xp ® ³ xp+q (x ! 1); p; q 2 R;

g)O(xp) + O(xq) = O(xp) (x ! 1); p ¸ q > 0;

h)O(xp) + O(xq) = O(xq) (x ! 0); p ¸ q > 0;

i)® ³ xp (x ! 1), ¯ ³ xq (x ! 1) )

®+ ¯ ³ xp (x ! 1); p ¸ q > 0;

j)® ³ xp (x ! 0), ¯ ³ xq (x ! 0) ) ® + ¯ ³ xq (x ! 0); p ¸ q > 0;

k)o(xp) + o(xq) = o(xp) (x ! 1); p ¸ q > 0;

l)o(xp) + o(xq) = o(xq) (x ! 0); p ¸ q > 0;

m)O(xq) = o(xp) (x ! 1); p > q > 0;

n)O(xp) = o(xq) (x ! 0); p > q > 0.

25.Доказать, что f(x) » g(x) (x ! a) тогда и только тогда, когда g(x) = f(x) + o(f(x)) (x ! a).

26.

+ )

p

»

!

,

p

»

!

Показать, что

x + p

x

p4

x

(x

+0)

x + p

x

p

x

(x

1 .

27. Найти функцию g вида g(x) = Cxp, эквивалентную функции f при

x ! a, если:

а) f(x) =

x4

, a = 0, a = 1;

2x2 + x + 3

б) f(x) = 3

x6 + 3p5

, a = 0, a = 1;

x

ln(1 + x + x2)

в) f(x) =

p

, a = 0;

x2

г) f(x) =

cos2 3x ¡ cos2 5x

; a = 0.

x

1

1

28. Доказать, что если a > 0, то a1=n = 1 +

ln a + o

µ

¶ при n ! 1.

n

n

n

n

n

p

a; b >

lim

pa +

b

= p

ab

29. Доказать, что если

0, то n!1 Ã

!

.

2

30. Доказать или опровергнуть утверждение: x2D(x) = o(xD(x)) (x !

0), где D(x) функция Дирихле,

8

< 1; x 2 Q; D(x) = : 0; x 62Q:

3. Предел и непрерывность функции

151

31.Пусть f1(x) » g1(x) (x ! a), f2(x) » g2(x) (x ! a). Показать, что f1(x)f2(x) » g1(x)g2(x) (x ! a).

32.Пусть lim f(x) = A, lim g(x) = B, причём A < B. Доказать, что су-

x!a	x!a			±
ществует ± > 0 такое, что для каждого x			X		± (a) выполняется
неравенство f(x) < g(x).		2		T U

33. Доказать, что если f; g определённые на R периодические функ-

ции, причём lim (f(x) ¡ g(x)) = 0, то f(x) ´ g(x) на R.

x!+1

34.Пусть X открытый промежуток, f : X ! R, a 2 X. Функция f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда существуют f(a § 0) и f(a ¡ 0) = f(a) = f(a + 0). Доказать.

35.Доказать, что если функция f : X ! R непрерывна на X, то функ-

ция g, заданная равенством
				8	¡c;	f(x) < ¡c;
				>
			g(x) =	<			f(x)		c;
				> f(x);		j		j ·
				>
				>
				>	c;	f(x) > c;
где	c	любое	положительное>		число, также непрерывна на X.
				:

36.Доказать, что если функции f; g : X ! R непрерывны на X, то функции '(x) = maxff(x); g(x)g и Ã(x) = minff(x); g(x)g также непрерывны на X.

37.Функция f непрерывна в точке x0; а функция g разрывна в точке x0: Доказать, что функция f + g разрывна в точке x0:

38.Функции f и g разрывны в точке x0. Обязательно ли функция: а) f + g; б) f ¢ g разрывна в этой точке?

39.Функция f непрерывна, а функция g разрывна в точке x0. Обязательно ли функция f ¢ g разрывна в этой точке?

40.Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция?

152	Оглавление

41.Доказать, что если f непрерывна X, то функция g(x) = jf(x)j также непрерывна на X.

42.Пусть множество X симметрично относительно нуля (то есть если x 2 X, то и ¡x 2 X) и f непрерывна на X. Доказать, что функция g(x) = f(jxj) непрерывна на X+ = fx 2 X : x ¸ 0g.

43.Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то функции m(x) = infff(t) : t 2 [a; x]g, M(x) = supff(t) : t 2 [a; x]g

также непрерывны на этом отрезке.

44.Пусть функция f : X ! R непрерывна на X: Доказать, что функ-

ция	8 f(x); f(x) > 0;
g(x) =
	<	0;	f(x)		0;
непрерывна на X:	:			·

45.Функция f определена, непрерывна и положительна на сегменте

[a; b]: Доказать, что существует число ¹ > 0 такое, что f(x) ¸ ¹

для любого x 2 [a; b]:

46.Пусть функция f непрерывна в точке a и для каждого ± > 0 существуют точки x0±; x00± 2 U±(a) такие, что f(x0±)f(x00± ) · 0. Доказать, что f(a) = 0.

47.Доказать, что уравнение x5 ¡ 3x = 1 имеет хотя бы один корень в интервале (1; 2):

48.Имеет ли данное уравнение действительные корни на сегменте [a; b]:

а) x4 ¡ 4x ¡ 1 = 0, a = ¡1; b = 2; б) 2x + p3 x = 0, a = ¡1; b = 1;

в) 2x + cos x = 3, a = 0; b = ¼;

г) cos 2x ¡ ln x = 0, a = ¼=4; b = ¼=2?

3. Предел и непрерывность функции

153

49.Доказать, что любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

50.Уравнение x ¢ 2x = 1 имеет положительный корень, меньший единицы. Доказать.

51.Имеет ли корень уравнение sin x ¡ x + 1 = 0?

52.Является ли функция f(x) = x3 + 2x ¡ 3 обратимой на R?

53.Доказать, что уравнение x = y ¡ c sin y; где 0 < c · 1; задаёт одну непрерывную функцию y = f(x):

x

x

54.

Доказать, что функции f(x) =

и g(x) =

взаимно об-

1 + x

1 ¡ x

ратные.

55.

Пусть

f(x) =

8

0;

x

2 Jp

1

;

;

p

Z; q

N;

p

несократимая дробь.

>

x =

<

>

q

q

2

2

q

¡

Доказать,:что функция f непрерывна в каждой иррациональной

точке.

56.

Функция

f

непрерывна на [

a

lim f

x :

; +1) и существует конечный x +

(

)

! 1

Доказать, что функция f ограничена на [a; +1):

57. Функция f непрерывна в интервале (a; b) и существуют конечные

lim f(x) и	lim f(x): Доказать, что функция f ограничена на
x!a+0	x!b¡0
(a; b):
58. Доказать, что функция
		<	1			x = 0;
			1;
	f(x) =	8 sin		x	;	x 6= 0;
		: ¡

принимает на любом сегменте [0; a] все промежуточные значения между f(0) и f(a); но не является непрерывной на нём.

154	Оглавление

59.Функция f непрерывна на сегменте [a; b]; число C заключено между f(a) и f(b): Доказать, что каждое из множеств

A = fx 2 (a; b) : f(x) < Cg; B = fx 2 (a; b) : f(x) > Cg

открыто.

60.Функция f непрерывна на сегменте [a; b]; число C заключено между f(a) и f(b): Доказать, что множество

X = fx 2 [a; b] : f(x) = Cg

имеет и наибольший и наименьший элементы.

61.Если функция f равномерно непрерывна на ограниченном множестве X ½ R, то она ограничена на нём. Доказать.

62.Сумма равномерно непрерывных на множестве X ½ R функций равномерно непрерывна на X. Доказать.

63.Произведение равномерно непрерывных на ограниченном множестве X ½ R функций равномерно непрерывно на X. Доказать.

64.Если функция f равномерно непрерывна на [a; c] и [c; b], то она равномерно непрерывна на [a; b] (a < c < b). Доказать.

4. Производная и её приложения

155

4Производная и её приложения

Производная является основным понятием дифференциального и интегрального исчисления, составляющего основу математического анализа. Построение дифференциального и интегрального исчисления в общих чертах было завершено к концу XVII века в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница, однако его строгое обоснование было разработано лишь в начале XII века О. Коши с помощью понятия предела.

4.1Определение производной

Пусть X открытый промежуток (a; b), a < b, a; b 2 R и f : X ! R. Пусть x0 2 X и ¢x =6 0 таково, что x = x0 +¢x 2 X. Будем называть ¢x приращением аргумента, а ¢y = ¢f = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) приращением функции в точке x0.

Определение 4.1 Если существует конечный предел

lim	¢y	= lim	f(x0 + ¢x) ¡ f(x0)	= lim	f(x) ¡ f(x0)	; (4.51)
¢x!0	¢x	¢x!0	¢x	x!x0	x ¡ x0

где x = x0 + ¢x, то он называется производной функции f в точке x0

и обозначается одним из следующих символов:

f0(x0); dxdf (x0); y0(x0); dxdy (x0):

Операция вычисления производной называется дифференцировани-

ем.

Если производная f0(x0) существует, то функция называется дифференцируемой в точке x0.

Если же производная f0(x) существует в каждой точке промежутка

X, то функция называется дифференцируемой на промежутке X.

Теорема 4.1 (Условие дифференцируемости) Пусть X открытый промежуток, f : X ! R и x0 2 X. Функция f дифференцируема

(4.52)

= f0(x0). Тогда по теореме

156	Оглавление

в точке x0 тогда и только тогда, когда существует постоянная A такая, что приращение ¢y функции f в точке x0 представимо в виде

¢y = A¢x + ®¢x;

где ® = ®(¢x) ¡¡¡! 0.

¢x!0

Доказательство. Пусть существует lim ¢y

¢x!0 ¢x

3.15 ¢¢xy = f0(x0) + ®, где ® = ®(¢x) бесконечно малая при ¢x ! 0. Отсюда следует, что

¢y = f0(x0)¢x + ®¢x:

(4.53)

Пусть для функции f в точке x0 выполняется условие (4.52). Тогда, деля

на ¢x и переходя к пределу при ¢x ! 0, получим: lim ¢y = A. Отсюда

¢x!0 ¢x

следует, что функция f дифференцируема в точке x0 и что f0(x0) = A.

Замечание 4.1 Из доказательства теоремы следует, что коэффициент A в условии дифференцируемости функции (4.52) равен f0(x0), так что если известно, что f дифференцируема в точке x0, то условие дифференцируемости можно записывать в виде (4.53).

Так как ®¢x = o(¢x), то условие дифференцируемости можно записывать и в виде

¢y = A¢x + o(¢x):

(4.54)

Определение 4.2 Если функция f дифференцируема в точке x0 открытого промежутка X, то первое слагаемое в правой части формулы (4.53) назовём дифференциалом (первым дифференциалом, дифференциалом первого порядка) функции f в точке x0 и обозначим символом dy.

Примем соглашение считать для независимой переменной x, что dx = ¢x, хотя dx будем называть дифференциалом аргумента, а ¢x приращением. Иначе говоря, для независимой переменной понятия "приращение" и "дифференциал" будем считать тождественными.

4. Производная и её приложения

157

Из определения дифференциала и принятого соглашения следует, что дифференциал функции и производная связаны друг с другом равенствами

dy = dy(x0)	= f0(x0)dx;				(4.55)
f0(x0) =	dy(x0)			:
		dx

Пример 4.1 Пусть f(x) = c, x 2 R, c 2 R. Возьмём любое x 2 R, любое приращение ¢x =6 0 и рассмотрим приращение функции ¢f.

¢f = f(x + ¢x) ¡ f(x) = c ¡ c = 0 = 0 ¢ ¢x + ®¢x;

где ® = ®(¢x) ´ 0.

Так как приращение представлено в виде (4.53), то функция f(x) ´ c

дифференцируема в любой точке x 2 R и c0 = 0; dc ´ 0:

Пример 4.2 Пусть f(x) = x, x 2 R. Возьмём любое x 2 R, любое приращение ¢x =6 0 и рассмотрим приращение функции ¢f.

¢f = f(x + ¢x) ¡ f(x) = (x + ¢x) ¡ x = ¢x = 1 ¢ ¢x + ®¢x;

где ® = ®(¢x) ´ 0.

Сравнивая полученное с (4.53), заключаем, что функция f(x) = x

дифференцируема на R и что

x0 = 1; dx = df(x) = ¢x:

Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть на открытом промежутке X задана непрерывная функция f. Возьмём точку x0 на промежутке X, вычислим y0 = f(x0) и поставим задачу: написать уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке M0(x0; y0). Но сначала нужно определить, какую прямую мы будем называть касательной к графику функции.

= f0(x0).

158	Оглавление

Дадим x0 приращение ¢x, положим x = x0 + ¢x, вычислим y = f(x)

и через точки M0 и M(x; y) проведём прямую, которую будем называть секущей. (Рис.1?)

Определение 4.3 Касательной к графику функции y = f(x) в точке

M0 назовём предельное положение секущей M0M при условии ¢x ! 0.

Напишем уравнение секущей M0M, обозначив координаты её текущей точки буквами X, Y .

	Y ¡ y0	=		X ¡ x0		;
	y ¡ y0
				x ¡ x0
или
			¢y
Y ¡ y0 =					(X ¡ x0):
			¢x

Из последнего уравнения видно, что предельное положение секущей

определено тогда и только тогда, когда существует lim ¢y

¢x!0 ¢x

Таким образом, касательную к графику функции в точке M0 можно провести в том и только том случае, когда функция f дифференцируема в точке x0, при этом уравнение касательной имеет следующий вид:

Y ¡ f(x0) = f0(x0)(X ¡ x0):

(4.56)

А поскольку f0(x0) есть угловой коэффициент касательной, а угловой коэффициент прямой, как известно, равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, то получается, что производная имеет следующий геометрический смысл: производная функции f в точке x0 есть тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке (x0; f(x0)), то-есть

f0(x0) = tg ®:

По тому же рисунку (!?) можно установить и геометрический смысл дифференциала. Длина отрезка M0M равна ¢y, а длина отрезка M00M0

равна M0M00 ¢ tg ® = f0(x0)¢x, то есть dy линейной части приращения

¢y (см. (4.53)). Так как второе слагаемое в (4.53) бесконечно малая

4. Производная и её приложения

159

более высокого порядка, чем первое (при ¢x ! 0), то в достаточно малой окрестности точки x0 можно считать, что

f(x) = f(x0) + ¢y ¼ f(x0) + dy = f(x0) + f0(x0)dx:

(4.57)

Эта замена приращения функции дифференциалом часто используется для приближённого вычисления значений функции и построения приближённых формул.

Физический смысл производной

Пусть по прямой движется точка и известен путь, пройденный ею за время t, s = f(t) (t 2 [0; T ]). Требуется определить скорость движения

точки в момент времени t0 2 (0; T ).

Для решения поставленной задачи возьмём приращение ¢t 6= 0 : t + ¢t 2 [0; T ] и вычислим среднюю скорость точки на временном промежутке [t; t + ¢t]. За этот промежуток времени пройденный путь

					¢s
	¢s = f(t + ¢t) ¡ f(t), поэтому vср. =						: Тогда
						¢t
	v(t	) = lim v	ср.	= lim				¢s	= s0	(t ):
								¢t
	0	¢t!0			¢t!0					0

Следовательно, физический смысл производной заключается в следующем: скорость есть производная от пройденного пути.

Сделаем несколько обобщений понятия производной. Пусть, как и раньше, X открытый промежуток, f : X ! R, x0 2 X.

Определение 4.4 Правой производной f+0 (x0) функции f в точке x0 назовём предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке x0 при стремлении ¢x к нулю справа,

f+0 (x0) = lim ¢y :

¢x!+0 ¢x

Аналогично, левая производная

f¡0 (x0) = lim ¢y :

¢x!¡0 ¢x