Matan_1_semestr_Lektsii

В.Е.Ковальчук, П.А.Чалов

Лекции по математическому анализу

Первый семестр

Оглавление

1Введение в анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1	Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4	Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . 44 2.1 Числовые последовательности . . . . . . . . . . . . . 44

2.2	Монотонные последовательности . . . . . . . . . . . 60

2.3Произвольные последовательности . . . . . . . . . . 66

3Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1	Некоторые сведения о числовых множествах . . . . 85

3.2Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5	Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . 128

3.6Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . 145

4Производная и её приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.1	Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.2Таблица производных. Правила дифференцирования 162

4.3Производные и дифференциалы высших порядков . 173

4.4Основные теоремы о дифференцируемых функциях 181

4.5Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

1

2	Оглавление

4.6Выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.7Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

1. Введение в анализ

3

1Введение в анализ

Как и любая математическая дисциплина, математический анализ имеет свой объект исследования и свой метод исследования, опирающийся на первоначальные понятия множества и функции. Объектом исследования в математическом анализе являются функции, их свойства и операции над ними (дифференцирование, интегрирование и другие). Метод исследования предельный переход. В этой главе мы познакомимся с основными понятиями анализа.

1.1Логическая символика

Вматематических рассуждениях для сокращения записи часто используют логические символы: 8, 9, : (или j), ), ,, _, ^.

Символ 8 называется квантором всеобщности и заменяет слова: для любого, для каждого, для всех, . . . .

Символ 9 называется квантором существования и заменяет слова: найдётся, существует, можно указать, . . . .

Символ : (или j) заменяет слова: такой что, удовлетворяющий условию, обладающий свойством, . . . .

Символ ) (импликация) заменяет слова: следует (из написанного слева следует написанное справа), влечёт (написанное слева влечёт написанное справа), то (если верно написанное слева, то верно и написанное справа), . . . .

Символ , (равносильность, эквивалентность) означает, что утверждения (высказывания), написанные слева и справа от него, равносильны (или оба верны, или оба неверны).

Символ _ (дизъюнкция) заменяет союз "или" (не исключающее). Символ ^ (конъюнкция) заменяет союз "и".

Символ := заменяет слова "по определению означает" или "левой части присваиваем значение правой части".

4	Оглавление

Если какой-либо из символов перечёркнут, то это означает его отри-

±

цание. Например, 9 читается как "не найдётся", "не существует", а ;

как "не следует".

Примеры.

1.Запись x2 + 1 > 0 8x может быть прочитана так: для любого числа x выражение x2 + 1 положительно.

±

2. Высказывание 9x : x2 = ¡3 читается следующим образом: не существует такого числа x, чтобы его квадрат был равен ¡3. Но можно сказать и иначе: уравнение x2 = ¡3 не имеет вещественных корней.

3. Выражение x2 + 2x ¡ 3 = 0 ) x = 1 _ x = ¡3 читается так: если x2 + 2x ¡ 3 = 0, то либо x = 1, либо x = ¡3.

4. Предложение x2 > 4 ; x > 2 может быть сформулировано так: если x2 > 4, то не обязательно x > 2.

1.2 Множества

Понятие множества является первичным понятием, как точка в геометрии или натуральное число в арифметике. Слова: совокупность, система, класс, собрание и другие являются синонимами слова множества.

Множества, как правило, обозначают большими латинскими или греческими буквами:A, B, . . . , ¤, P, . . . . Множество состоит из элементов. Если a общее наименование элементов множества A, то пишут A = fag

и говорят: множество A состоит из элементов вида a. Запись a 2 A читается как "элемент a принадлежит множеству A"(2 знак принадлежности). Запись A 3 a означает то же самое, но можно сказать и "множество

A содержит элемент a".

Существует два общепринятых способа задания множеств. Первый способ перечислением элементов, составляющих множество, например, F = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g множество цифр (знаков, с помощью которых записываются числа в десятичной системе счисления). Однако такой способ задания множеств пригоден только в случае конечных

1. Введение в анализ

5

множеств (множеств, состоящих из конечного числа элементов), да и то не всегда. Например, чтобы задать перечислением множество корней кубического уравнения x3 ¡ 6x2 ¡ 15x + 4 = 0, необходимо сначала решить это уравнение, что является достаточно непростым (а может быть, и ненужным) делом. Поэтому, как правило, множества задаются с помощью некоторого условия (или признака), которому элементы, принадлежащие множеству, удовлетворяют, а элементы, не принадлежащие множеству, не удовлетворяют. В этом случае принято писать

A = fa : P (a)g

(A есть множество элементов, удовлетворяющих условию P ). Ещё раз подчеркнём, что условию P удовлетворяют все элементы множества A

и только они, что с помощью математической символики может быть записано так:

a 2 A , P (a):

Например, множество корней приведённого выше кубического уравнения может быть задано следующим образом:

A = fx : x3 ¡ 6x2 ¡ 15x + 4 = 0g:

Определение 1.1 Два множества A и B будем называть равными и писать A = B, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если каждый элемент множества A является элементом множества B и наоборот.

С помощью математической символики это определение может быть записано следующим образом:

(A = B) := (a 2 A , a 2 B):

Определение 1.2 Будем говорить, что множество B является подмножеством множества A (или множество B содержится во множестве A) и писать B ½ A, если каждый элемент множества B является элементом множества A, то есть,

(B ½ A) := (a 2 B ) a 2 A):

6 Оглавление

Если B ½ A, то будем говорить также, что множество A содержит множество B и писать A ¾ B.

Из определения следует, что A ½ A, то есть любое множество является подмножеством самого себя.

Для удобства введём в рассмотрение пустое множество множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество будем обозначать символом ? и считать, что оно содержится в любом множестве (? ½ A), каково бы ни было множество A.

Непосредственно из двух сформулированных выше определений вытекает следующее предложение: два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого, то есть

A = B , (A ½ B) ^ (B ½ A):

Операции над множествами

Определение 1.3 Пусть даны множества A и B. Назовём:

a) объединением (или суммой) множеств A и B (A [ B) множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B,

(C = A [ B) := (x 2 C) , (x 2 A _ x 2 B);

b) пересечением множеств A и B (A\B) множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству

B,

(C = A \ B) := (x 2 C) , (x 2 A ^ x 2 B);

c) разностью множеств A и B (A n B) множество всех элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих множеству B,

(C = A n B) := (x 2 C) , (x 2 A; x 62B);

d) симметрической разностью множеств A и B (A M B) множество всех элементов, либо принадлежащих A, но не принадлежащих

1. Введение в анализ

7

B, либо, наоборот, принадлежащих B, но не принадлежащих A,

(C = A M B) := (x 2 C) , ((x 2 A; x 62B) _ (x 2 B; x 62A)):

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

1.A [ A = A, A \ A = A, A [ ? = A, A \ ? = ?;

2.A [ B = B [ A, A \ B = B \ A коммутативность;

3.(A[B)[C = A[(B[C), (A\B)\C = A\(B\C) ассоциативность;

4.(A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) дистрибутивность пересечения относительно объединения;

5.(A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) дистрибутивность объединения относительно пересечения.

Все эти свойства легко устанавливаются с помощью сделанного ранее замечания о том, что равенство множеств есть их взаимное вложение. Проверим последнее свойство.

Пусть x 2 (A \ B) [ C. Тогда x 2 (A \ B) _ x 2 C. Если x 2 (A \ B),

то x 2 A ^ x 2 B. Но тогда x 2 A [ C ^ x 2 B [ C, следовательно, x 2 (A [ C) \ (B [ C). Если же x 2 C, то x 2 A [ C ^ x 2 B [ C, следовательно, снова x 2 (A [ C) \ (B [ C).

Этими рассуждениями установлено вложение левой части доказываемого равенства в правую. Противоположное вложение доказывается аналогичными рассуждениями. Читателям предлагается провести их самостоятельно, равно как и проверить остальные свойства.

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества X, то можно ввести ещё одну операцию над множествами, называемую дополнением.

Определение 1.4 Пусть A ½ X. Дополнением множества A (до множества X) назовём разность X n A.

Дополнение множества A обозначают символами CA или CX A.

8	Оглавление

Дополнение множества обладает следующими столь же легко проверяемыми свойствами. Если A; B ½ X, то:

1.C(CA) = A;

2.C(A [ B) = CA \ CB;

3.C(A \ B) = CA [ CB.

Свойства 2 и 3 называют соотношениями двойственности. Операции объединения и пересечения можно распространить на лю-

бое конечное и даже бесконечное количество множеств.

Пусть даны множества A¸, где индекс ¸ принимает любое значение из произвольного (не обязательно числового) множества ¤.

Определение 1.5 Назовём объединением множеств A¸ и обозначим

символом S A¸ множество A, состоящее из всех тех и только тех

¸2¤

элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A¸. Другими словами,

Ã[ !

A = A¸ , (8x 2 A 9¸ 2 ¤ : x 2 A¸) :

							¸2¤
Определение 1.6 Назовём пересечением множеств A¸ и обозначим
символом				A¸ множество A, состоящее из всех тех и только тех
		¸2¤
			которые принадлежат всем множествам A¸. Другими сло-
элементов,T
вами,							ÃA =	A¸! , (8¸ 2 ¤ x 2 A¸) :
							\
							¸2¤
m Если ¤			=			1; 2; : : : ; m		g, то будем употреблять обозначения			A =
			m f
kS	Ak, A =		T						1
=1			k=1		Ak, а если ¤ множество натуральных чисел N, то будем
	Все					S			S
							Ak, или A =			Ak и для пересечения соответственно.
писать или A =						k2N
									k=1
		перечисленные выше свойства операций объединения и пересече-

ния, включая законы дистрибутивности и соотношения двойственности, сохраняют свою силу во всех случаях.

1. Введение в анализ

9

Определение 1.7 Пусть даны множества A = fag и B = fbg. Назовём декартовым (или прямым) произведением множеств A и B и обозначим символом A £ B множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары, состоящие из элементов множеств A (первый) и B (второй),

A £ B := f(a; b) : a 2 A; b 2 Bg:

Аналогично определяется декартово (прямое) произведение любого конечного или бесконечного количества множеств.

Если даны множества Ak; k = 1; m; (запись k = 1; m означает то же,

что и k = 1; 2; : : : ; m) или множества Ak; k = 1; 2; : : : ; то

Ym

Ak := A1 £ A2 £ : : : £ Am = f(a1; a2; : : : ; am) : ak 2 Ak; k = 1; mg;

k=1

Y1

Ak := A1£A2£: : :£Ak : : : = f(a1; a2; : : : ; ak; : : :) : ak 2 Ak; k = 1; 2; : : :g:

k=1

Декартово произведение множества A на себя принято обозначать символом A2, а если A берётся множителем m раз, то символом Am,

A2 := A £ A; Am := A £ A £ : : : £ A :

| {z }

m

1.3Вещественные числа

Понятие вещественного числа формировалось постепенно и завершилось к середине XIX века. Существует несколько различных подходов к построению теории вещественного числа. Мы используем подход, идея которого принадлежит одному из крупнейших математиков XIX века К. Вейерштрассу.

Будем предполагать, что читатель знаком с: множеством натуральных чисел N = f1; 2; 3; : : : ; n; : : :g, множеством целых чисел Z = f0; §1; §2; : : : ; §n; : : :g,

множеством рациональных чисел Q = nmn : m 2 Z; n 2 No,

с операцией сравнения этих чисел и арифметическими операциями над ними.