Matan_1_semestr_Lektsii

160	Оглавление

Если функция имеет в точке x0 правую (левую) производную, то будем называть её дифференцируемой в точке x0 справа (слева). Для такой функции в право(лево)сторонней окрестности точки x0 справедливо представление (4.52) с A = f+0 (x0) ¡f¡0 (x0)¢, она имеет в точке x0 правую (левую) касательную (см. (Рис.2?)).

Функция может не иметь в точке x0 ни левой, ни правой производной, может иметь одну из них, но не иметь другой, может иметь обе, но различные.

Пример 4.3 Пусть f(x) = x sin x1 при x =6 0 и f(0) = 0.

Покажем, что эта функция не имеет в точке x0 = 0 ни правой, ни левой производной.

Если x0 = 0, то ¢x = x ¡ 0 = x, ¢y = f(0 + ¢x) ¡ f(0) = f(x) = x sin x1 , следовательно, ¢¢xy = x sin x1 : Но так как функция sin x1 в точке x = 0 не имеет ни левого, ни правого предела (см. пример 3.3), то и

	lim	¢y	= sin	1	не существует ни справа, ни слева.
		¢x		x
	¢x!0
	Пример 4.4 Пусть
							1
						8 x sin			;	x > 0 ;
					f(x) =			x
						<	0;			x · 0 :

:

Эта функция, как следует из предыдущего примера, правой производной не имеет, а левая, очевидно, равна нулю.

Пример 4.5 Пусть f(x) = jxj.

Найдём правую и левую производные в точке x0 = 0. Как и выше,

если x0 = 0, то ¢x = x.

Если x > 0, то f(x) = x, поэтому ¢y = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = x и

f0

(x0) =

lim

¢y

=

lim

x

1.

+

¢x!+0

¢x

x!+0 =

Если x < 0, то f(x) = ¡x, поэтому ¢y = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = ¡x и

f0

(x

) =

lim

¢y

=

lim

¡x

=

1

0

¡

0

¢x

!¡

¢x

x 0

x

¡ .

!¡

Как видим, функция jxj имеет в точке 0 и правую, и левую производ-

ные, не равные друг другу. Однако имеет место следующее утверждение.

4. Производная и её приложения

161

Теорема 4.2 Пусть X открытый промежуток, f : X ! R и x0 2 X. Функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке определены обе односторонние производные, причём f+0 (x0) = f¡0 (x0) = f0(x0).

Доказательство этого тривиального утверждения предоставляется читателю.

Теорема 4.3 Пусть X открытый промежуток, f : X ! R и x0 2 X. Если функция f имеет в точке x0 правую производную, то она непрерывна в точке x0 справа, если имеет левую, то непрерывна слева, и если имеет производную, то непрерывна.

Перед доказательством теоремы отметим, что условие непрерывности функции в точке по Коши в случае промежутка может быть сформулировано следующим образом.

Для любого " > 0 найдётся ± > 0 такое, что если j¢xj < ±, то j¢yj < ".

Это утверждение называют разностной формой условия непрерывности. Чтобы убедиться в его справедливости, достаточно заметить, что x ¡ x0 = ¢x, f(x) ¡ f(x0) = ¢y.

Доказательство. Пусть функция f имеет в точке x0 правую производную. Тогда для её приращения в точке x0 имеет место представление (4.54) при ¢x > 0. Так как оба слагаемых в правой части этого представления бесконечно малы при ¢x ! 0, то по " > 0 можно подобрать ± > 0

так, чтобы при 0 < ¢x < ± выполнялось: jA¢xj < "=2, jo(¢x)j < "=2, то есть j¢yj < ".

Второе и третье утверждения теоремы доказываются аналогично. То, что обратное утверждение неверно, следует из рассмотренных вы-

ше примеров 4.3, 4.5. В примере 4.3 функция в точке x = 0 непрерывна, но не имеет ни левой, ни правой производной. В примере 4.5 функция в точке x = 0 непрерывна, но не имеет производной, хотя имеет правую и левую производные.

162 Оглавление

Определение 4.5 Пусть X открытый промежуток, f : x ! R,

x0 2 X. Пусть функция f непрерывна в точке x0. Будем говорить, что функция f имеет в точке x0 бесконечную производную и писать f0(x0) = 1, если в этой точке

lim ¢y = 1:

¢x!0 ¢x

Так как в этом случае угол наклона секущей, проведённой к графику функции через точку x0, стремится к ¼=2 при ¢x ! 0, то касательная к графику функции в этой точке будет вертикальной и иметь уравнение

x = x0. (Рис.3?)

Если f0(x0) = 1, то функция не является дифференцируемой в точке x0, поскольку в этом случае условие дифференцируемости (4.53) не имеет смысла.

p

Пример 4.6 Рассмотрим функцию y = 3 x и найдём её производную в

точке x0 = 0.

p3

p3

¢x = 0

x

+ ¢x

3

¢x

Возьмём приращение

6

. Тогда

0

¡

0

и

p3

lim

¢y

lim

¢x

= +1

:

¢x =

¢x

¢x 0

¢x 0

!

!

Аналогично тому, как это было сделано выше в конечном случае, можно определить бесконечную правую f+0 (x0) и бесконечную левую f¡0 (x0)

производные.

4.2Таблица производных. Правила дифференцирования

Таблицу производных выпишем сразу целиком ради удобства использования, хотя вывод формул будет осуществляться постепенно, по мере установления правил дифференцирования различных видов функций.

Таблица производных

1) c0 = 0;

4.

Производная и её приложения

163

1

1

0

1

2) (xp)0 = pxp¡1 (p 2 R); (px)0 =

2p

; µ

¶

= ¡

;

x

x2

x

3)

(ax)0

= ax ln a (a > 0; a = 1); (ex)0 = ex

;

6

(log

x)0 =

loga e

=

1

(a > 0; a = 1); (ln x)0

=

1

4)

x

x ln a

x;

a

6

5) (sin x)0 = cos x;

6) (cos x)0

= sin x;

7) (tg x)0

1

;

8) (ctg x)0

1

;

=

= ¡

cos2 x

1

sin2 x

1

9) (arcsin x)0 =

p

;

10) (arccos x)0

= ¡p

;

1 ¡ x

2

1 ¡ x

2

11) (arctg x)0 =

1

;

12) (arcctg x)0

= ¡

1

;

1 + x2

1 + x2

13) (sh x)0

= ch x;

14) (ch x)0

= sh x;

15) (th x)0

1

;

16) (cth x)0

= ¡

1

.

=

ch2 x

sh2 x

Формула 1) уже доказана (пример 4.1). Докажем формулы 3) и 5).

3) (ax)0 =

lim

¢(ax)

=

lim

ax+¢x ¡ ax

= ax

lim

a¢x ¡ 1

= ax ln a:

¢x

¢x

¢x!0

¢x!0

¢x

¢x!0

При выводе формулы был использован четвёртый замечательный

предел (теорема 3.30).

5) (sin x)0

= lim

¢(sin x)

=

lim

sin(x + ¢x) ¡ sin x

=

¢x!0

¢x

¢x!0

¢x

=

lim

2 sin(¢x=2) cos(x + ¢x=2)

=

lim

sin(¢x=2)

¢

lim cos(x+¢x=2) =

¢x 0

¢x

¢x 0

¢x=2

¢x 0

!

!

!

= 1 ¢ cos x = cos x:

Теорема 4.4 (Арифметические операции над производными)

Пусть функции u; v определены на открытом промежутке X и диф-

ференцируемы в точке x0 2 X. Тогда в этой точке дифференцируемы сумма, разность, произведение и частное (при дополнительном условии

v(x0) =6 0) этих функций и

1)(u § v)0 = u0 § v0;

2)(uv)0 = u0v + uv0;

3)³u´0 = u0v ¡ uv0 : v v2

Доказательство.

164	Оглавление

1) Возьмём ¢x =6 0 и составим приращение функции u § v.

¢(u § v) = (u § v)(x0 + ¢x) ¡ (u § v)(x0) =

= (u(x0 + ¢x) ¡ u(x0)) § (v(x0 + ¢x) ¡ v(x0)) = ¢u § ¢v:

Разделим обе части получившегося равенства на ¢x и перейдём к пределу, устремив ¢x к нулю. Получим:

(u

§

v)0(x) = lim

¢(u § v)

= lim

¢u § ¢v

=

¢x 0

¢x

¢x 0

¢x

!

!

lim

¢u

lim

¢v

u0 x

v0

x

:

=

¢x §

0

¢x

=

¢x 0

¢x

!

( ) §

( )

!

2) Опять возьмём ¢x =6 0, вычислим и представим в нужном виде

¢(uv).

¢(uv) = u(x + ¢x)v(x + ¢x) ¡ u(x)v(x) =

=u(x + ¢x)v(x + ¢x) ¡ u(x)v(x + ¢x) + u(x)v(x + ¢x) ¡ u(x)v(x) =

=(u(x + ¢x) ¡ u(x)) v(x + ¢x) + u(x) (v(x + ¢x) ¡ v(x)) =

= ¢u ¢ v(x + ¢x) + u(x) ¢ ¢v:

Разделим обе части получившегося равенства на ¢x и, совершая предельный переход при ¢x ! 0, учтём, что функция v(x) дифференциру-

ема, следовательно, и непрерывна в точке x.

(uv)0(x) = lim

¢u ¢ v(x + ¢x) + u(x) ¢ ¢v

=

¢x!0

¢x

=

lim

¢u

¢

lim v(x + ¢x) + u(x)

¢

lim

¢v

= u0(x)v(x) + u(x)v0

(x):

0

¢x

0

¢x

¢x

!

¢x

!

0

¢x

!

3) Заметим прежде всего, что по теореме об устойчивости знака непрерывной функции (теорема 3.32) найдётся ±-окрестность точки x, в которой функция v не обращается в ноль. Возьмём поэтому j¢xj < ±, со-

ставим приращение функции

u

в точке x и преобразуем его к нужному

v

виду.

¢

³

u

´

= u(x + ¢x)

¡

u(x)

= u(x + ¢x)v(x) ¡ u(x)v(x + ¢x)

=

v

v(x + ¢x)

v(x)

v(x + ¢x)v(x)

4. Производная и её приложения

165

= (u(x + ¢x) ¡ u(x)) v(x) ¡ u(x) (v(x + ¢x) ¡ v(x)) = v(x + ¢x)v(x)

1

= v(x)v(x + ¢x) (¢u ¢ v(x) ¡ u(x) ¢ ¢v) :

Разделим обе части на ¢x и перейдём к пределу при ¢x ! 0, учиты-

вая непрерывность функции v в точке x.

) ¡

)¢x¶

³v ´

¢x!0 v(x)v(x + ¢x)

µ¢x

(

(

=

u

0 (x) = lim

1

¢u

v x

u x

¢v

µ¢x!0

¶

= v(x)

¢x!0 v(x + ¢x)

¢x

¢

¡

¢

¢x!0

¢x

1

lim

1

lim

¢u

v(x)

u(x)

lim

¢v

=

=u0(x)v(x) ¡ u(x)v0(x) : v2(x)

Следствие 4.1 Если c постоянная, то (cu)0 = cu0.

Доказательство. Так как c0 = 0, то (cu)0 = c0u + cu0 = cu0.

Следствие 4.2 При тех же условиях, что и в теореме, имеют место формулы:

1)d(u § v) = du § dv;

2)d(uv) = vdu + udv;

3)d ³u´ = vdu ¡ udv : v v2

Доказательство.

1) По определению дифференциала

d(u § v) = (u § v)0(x)dx = (u0(x) § v0(x)) dx =

= u0(x)dx § v0(x)dx = du § dv:

Остальные формулы доказываются аналогично.

Теорема 4.5 (Производная сложной функции)

Пусть X открытый промежуток в R и функция u : X ! R

дифференцируема в точке x 2 X. Пусть Y открытый промежуток в R, содержащий u(X), и функция f : Y ! R дифференцируема в точке y = u(x). Тогда сложная функция F : X ! R, F (x) = f(u(x)) (x 2 X), дифференцируема в точке x, причём F 0(x) = f0(y)u0(x) = f0(u(x)u0(x).

166	Оглавление

Коротко правило дифференцирования сложной функции записывают в виде

(f(u))0 = f0(u)u0:

(4.58)

Доказательство. Дадим аргументу x приращение ¢x. Так как функция u по условию дифференцируема в точке x, то её приращение ¢y в этой точке согласно (4.54) можно представить в виде

¢y = u0(x)¢x + o(¢x):

(4.59)

Рассмотрим y = u(x) и дадим ему приращение ¢y. Так как функция f по условию дифференцируема в точке y = u(x), то её приращение ¢f

в этой точке согласно тому же (4.54) можно представить в виде

¢f = f0(y)¢y + o(¢y):

(4.60)

Тогда

¢F = F (x+¢x)¡F (x) = f(u(x+¢x))¡f(u(x)) = f(u(x)+¢u)¡f(u(x)):

Так как u(x) = y, а ¢u = ¢y, то, используя (4.60), имеем:

¢F = f(y + ¢y) ¡ f(y) = ¢f = f0(y)¢y + o(¢y):

Подставим сюда выражение (4.59).

¢F = f0(y)(u0(x)¢x + o(¢x)) + o(u0(x)¢x + o(¢x)) =

=f0(y)u0(x)¢x + f0(y)o(¢x) + o(u0(x)¢x + o(¢x)):

Вполучившемся выражении сумма двух последних слагаемых есть o(¢x). В самом деле, так как f0(y) число, то f0(y)o(¢x) = o(¢x). Очевидно, что u0(x)¢x = O(¢x) и O(¢x) + o(¢x) = O(¢x). Наконец,

o(O(¢x)) = o(¢x) и o(¢x) + o(¢x) = o(¢x).

Итак,

¢F = f0(u(x))u0(x)¢x + o(¢x);

4. Производная и её приложения

167

то есть, приращение функции F представлено в виде (4.54). Это по теореме 4.1 означает, что функция F дифференцируема в точке x и что

F 0(x) = f0(u(x))u0(x):

(4.61)

Следствие 4.3 (Инвариантность формы первого дифференциала)Вид дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или же функцией от другой переменной.

Доказательство. По определению 4.2 дифференциала первого порядка

dF = F 0(x)dx = f0(u(x))u0(x)dx:

Но F (x) = f(u), а f0(x)dx = du, поэтому это равенство можно переписать в виде

df = f0(u)du:

Внешний вид этого равенства такой же, как и равенства (4.55). Но здесь u функция от x, в то время как в (4.55) x независимая переменная.

Теперь мы можем доказать формулы 6 8, 13 16 из таблицы производных.

6) Применяя соответствующую формулу приведения и правило дифференцирования сложной функции, имеем:

(cos x)0 = ³sin ³¼2 ¡ x´´0 = sin0 ³¼2 ¡ x´³¼2 ¡ x´0 =

=cos ¼2 ¡ x´(¡1) = ¡ sin x:

7)Применим правило дифференцирования частного.³

(tg x)0 =

sin x

0

=

(sin x)0

cos x ¡ sin x(cos x)0

=

µcos x

¶

cos2 x

=

cos x cos x ¡ sin x(¡ sin x)

=

cos2 x + sin2 x

=

1

:

cos2 x

cos2 x

cos2 x

168						Оглавление
8) Формула для производной функции ctg x выводится аналогично.
	1			0	1
13)	(sh x)0 = µ		(ex ¡ e¡x)¶	=		(ex ¡ e¡x ¢ (¡1)) = ch x:
		2			2
14)	Выводится аналогично.
15)	16) Выводятся аналогично формулам 7) 8).

Теорема 4.6 (Дифференцирование обратной функции)Пусть f : [a; b] ! [®; ¯] непрерывна и строго монотонна. Пусть x 2 (a; b) и функция f дифференцируема в точке x. Тогда обратная функция f¡1 дифференцируема в точке y = f(x) и

¡f¡1(y)¢0 =	1	:	(4.62)
	f0(x)

Доказательство. Существование, строгая монотонность и непрерывность обратной функции следуют из теоремы 3.23. Остаётся доказать дифференцируемость.

Возьмём в точке y = f(x) приращение ¢y =6 0. Тогда, ввиду строгой монотонности функции f¡1, и ¢x = f¡1(y + ¢y) ¡ f¡1(y) 6= 0, а ввиду непрерывности обеих функций, если ¢y ! 0, то и ¢x ! 0, и наоборот. Поэтому

f¡1

(y)

¢

0

= lim

¢x

= lim

1

=

¢y

¡

!

!

¢x

¢y

0

¢y

0

¢y

1	1
			=		:
lim	¢y			f0(x)
¢x!0	¢x

Замечание 4.2 Если при сохранении остальных условий теоремы f0(x) = 0, то обратная функция в точке y = f0(x) не дифференцируема, однако имеет в этой точке бесконечную производную. Наоборот, если функция f имеет в точке x бесконечную производную, то f¡1 в точке y дифференцируема и (f¡1)0 (y) = 0. Оба эти утверждения являются следствиями теоремы о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами (теорема 3.19).

Используя доказанную теорему, докажем оставшиеся формулы из таблицы производных.

4. Производная и её приложения

169

4) Функция y = ln x является обратной к функции к функции x = ey, непрерывной и строго возрастающей на (¡1; +1). Возьмём любое

x 2 (0; +1), положим y = ln x (тогда x = ey), выберем отрезок [a; b]

так, чтобы ¡1 < a < y < b < +1. Тогда функция x = ey непрерывно и строго монотонно отображает отрезок [a; b] на отрезок [®; ¯] (® = ea,

¯ = eb), содержащий внутри себя точку x. Функция ey в рассматриваемой точке y = ln x дифференцируема, причём (ey)0 = ey 6= 0. Выполнены все условия теоремы 4.6, поэтому

(ln x)0 = (e1y)0 = e1y = x1 :

Используя формулу перехода от одного основания логарифма к другому, получим:

ln x

0

1

log

e

(loga x)0

= µ

¶

=

=

a

:

ln a

x ln a

x

2) Используя определение функции xp (теорема 3.26, п.6) и правило дифференцирования сложной функции, имеем

(xp)0 = (ep ln x)0 = ep ln x ¢ (p ln x)0 = xp ¢ xp = pxp¡1:

Замечание 4.3 Формула (xp)0 = pxp¡1 выведена при предположениях p 2 R, x > 0, исходя из общего определения степенной функции. Однако в случаях p 2 Z или p 2 Q и имеет нечётный знаменатель функция xp может быть определена по-другому и при x · 0 (x < 0). При x > 0

эти определения дают одинаковый результат. Можно показать (попробуйте сделать это самостоятельно), что формула (xp)0 = pxp¡1, когда это возможно, распространяется и на отрицательные значения x.

Функция arcsin : [

1; 1]

¼

;

¼

является обратной к функции

9)

¡

! h¡2

2 i

¼

¼

¼ ¼

sin : h¡

;

i ! [¡1; 1]. Для функции sin на отрезке h¡

¼;

¼i выполнены

2

2

2

2

все условия теоремы 4.6, поэтому, взяв любое x 2 ³¡

;

´, положив

2

2