Matan_1_semestr_Lektsii

60							Оглавление
Следовательно,
p	n		< xn < p		n		(n 2 N) :
	2				2
n + n			n		+ 1

Вычислим пределы крайних последовательностей в этом неравенстве.

n

n

1

!1

!1

p

p

= 1 :

n

!1

n

1n+ 1

1 1

nlim pn2 + n = nlim

=n

= nlim

+ 1=n

nlim

p

= nlim

= nlim

= 1 :

2

2

2

!1

n + 1

!1 n

1 + 1=n

!1

1 + 1=n

Так как крайние

последовательности имеют одинаковый предел, то по

p

p

принципу двустороннего ограничения средняя последовательность имеет

тот же предел. Итак,			+ pn2		+ + pn2		+ n¶
n!1	µpn2	+ 1		+ 2
lim	1		1		: : :	1			= 1 :

2.2Монотонные последовательности

Определение 2.8 Вещественную числовую последовательность (xn)

будем называть:

a) неубывающей, если для каждого n 2 N xn+1 ¸ xn; b) возрастающей, если для каждого n 2 N xn+1 > xn; c) невозрастающей, если для каждого n 2 N xn+1 · xn; d) убывающей, если для каждого n 2 N xn+1 < xn:

Определение 2.9 Последовательности неубывающие, возрастающие, невозрастающие и убывающие будем называть монотонными последовательностями.

Пример 2.11 Последовательности:

a) µ1;	1	;	1	; : : : ;	1		; : : :¶ убывающая;
	2		3		n

b) (1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; : : :) неубывающая; c) (1; ¡2; 3; ¡4; 5; : : :) немонотонная;

d) µ	1	;	2		;	3	; : : : ;	n		; : : :¶ возрастающая.
	2		3			4		n + 1

2. Предел числовой последовательности

61

Если последовательность неубывающая (возрастающая), то она ограничена снизу (первым членом), но сверху может быть не ограничена (пример b). Невозрастающая (убывающая) последовательность, напротив, ограничена сверху, но снизу может быть не ограничена. Однако для неубывающих, ограниченных сверху, и невозрастающих, ограниченных снизу, последовательностей справедливо утверждение, являющееся одной из основ математического анализа.

Теорема 2.14 (Вейерштрасс) Монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. Формулировка теоремы содержит два утверждения.

1)Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то она сходится.

2)Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Оба утверждения доказываются одинаково. Проведём доказательство первого из них, а доказательство второго рекомендуем читателям провести самостоятельно.

Итак, (xn) неубывающая, ограниченная сверху последовательность. Как непустое, ограниченное сверху, множество fxng членов последовательности имеет по теореме 1.1 точную верхнюю грань x. Докажем, что

lim xn = x :	(2.22)
n!1

Зафиксируем " > 0. По первому свойству точной верхней грани для любого n 2 N

xn · x < x + " :

По второму свойству точной верхней грани найдётся элемент xn0 , удовлетворяющий неравенству xn0 > x. Так как последовательность (xn) не убывает, то при n ¸ n0

xn ¸ xn0 > x ¡ " :

62	Оглавление

Из этих двух неравенств следует, что если n ¸ n0, то

jxn ¡ xj < " ;

что по определению предела последовательности означает сходимость последовательности (xn) к числу x.

Замечание 2.6 Если объединить доказанную теорему с теоремой об ограниченности сходящейся последовательности (теорема 2.1), то получим необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности: монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

Как уже отмечалось выше, теорема Вейерштрасса играет фундаментальную роль в математическом анализе. С её помощью может быть установлена справедливость значительного количества утверждений, некоторые из которых играют не меньшую роль, чем сама теорема Вейерштрасса. Начнём с принципа стягивающихся сегментов.

Определение 2.10 Систему сегментов (отрезков) [an; bn] (n 2 N) назовём стягивающейся, если каждый следующий сегмент содержится в предыдущем,

[a1; b1] ¾ [a2; b2] ¾ [a3; b3] ¾ : : : ¾ [an; bn] ¾ : : : ;

и длины сегментов стремятся к нулю,

lim (bn ¡ an) = 0 :

n!1

Теорема 2.15 (Кантор) Всякая стягивающаяся система сегментов имеет и притом единственную общую точку.

Доказательство. Необходимо доказать, что существует, и притом един-

ственная, точка c такая, что c 2 [an; bn] для каждого n 2 N, или, что

\1

[an; bn] = fcg.

n=1

2. Предел числовой последовательности

63

Рассмотрим последовательность (an) левых концов сегментов. Так как каждый следующий сегмент содержится в предыдущем, то

a1 · a2 · a3 · : : : · an · : : : ;

то есть, эта последовательность неубывающая и ограниченная сверху (an · b1 для каждого n 2 N), следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел a = supfang, поэтому an · a для каждого n 2 N. По аналогичной причине последовательность (bn) правых концов сегментов имеет предел b · bn (n 2 N). Так как для каждого n 2 N справедливо неравенство an · bn, то, переходя к пределу и используя следствие 2.5 к

теореме 2.12, найдём, что a · b. Но по условию lim (bn ¡ an) = 0, а по

n!1

теореме 2.9 lim (bn ¡an) = b¡a. Поэтому b = a = c. Итак, an · c · bn при

n!1

каждом n 2 N. Этим доказано, что последовательность стягивающихся

сегментов имеет общую точку.

Пусть c0 точка, принадлежащая всем сегментам. Тогда для любого

n 2 N an · c0 · bn. Но lim an = lim bn = c, поэтому по принципу дву-

n!1 n!1

стороннего ограничения (теорема 2.13) c0 = c. Это означает, что общая

точка у сегментов может быть только одна.

µ 1 ¶n

Теорема 2.16 Последовательность xn = 1 + n сходится.

Доказательство. Покажем, что рассматриваемая последовательность возрастает и ограничена сверху. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона и преобразуем получившееся выражение к нужному виду.

x

=

1 + n

¢

1

+

n(n ¡ 1)

¢

1

+

n(n ¡ 1)(n ¡ 2)

¢

1

+ : : : +

n

n

n2

n3

1

¢

2

1

¢

2

¢

3

+

n(n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : (n ¡ (n ¡ 1))

¢

1

:

nn

1

¢

2

¢

3

¢

: : :

¢

n

Теперь первые два слагаемых сложим, а начиная с третьего слагаемого каждый множитель числителя первой дроби разделим на один из сомно-

жителей n знаменателя второй дроби. Тогда
xn =	2 + 2 µ1 ¡ n¶						+ 2 ¢ 3 µ1 ¡ n¶µ1 ¡ n¶ + : : : +
		1			1			1					1					2
	2 ¢ 3 ¢ : : : ¢ n				µ		¡ n¶µ					¡ n¶				µ	¡			n	¶		(2.23)
+	1				1		1				1	2				: : : 1				n ¡ 1		:

64

Оглавление

Выпишем для сравнения (n + 1)-й член последовательности.

1

1

1

1

2

xn+1 = 2 +

µ1 ¡

¶ +

µ1 ¡

¶µ1 ¡

¶ + : : : +

2

n + 1

2 ¢ 3

n + 1

n + 1

+

1

1

1

1

2

: : : 1

n ¡ 1

+

2

¢ 3

¢ : : : ¢ n

¡ n + 1

¡ n + 1¶

¡ n + 1¶

(2.24)

µ

¶µ

µ

1

1

2

n

+

µ1 ¡

¶µ1 ¡

¶: : : µ1 ¡

¶:

2

¢

3

¢

: : : (n + 1)

n + 1

n + 1

n + 1

¢

Сравнивая почленно правые части формул (2.23) и (2.24), видим, что, начиная со второго, каждое слагаемое в формуле (2.24) больше соответствующего слагаемого в формуле (2.23), к тому же в формуле (2.24) на одно положительное слагаемое больше. Значит, действительно,

xn+1 > xn, то есть, последовательность (xn) возрастающая.

Теперь произведём оценку xn сверху, заменив все скобки в правой части 2.24 единицей, а все множители в знаменателях дробей двойками.

И то, и другое ведёт к увеличению выражения, поэтому

1

1

1

1

1

1

xn < 2 +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

< 2 +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢ = 2 + 1 = 3:

2

22

2n¡1

2

22

2n¡1

Следовательно, последовательность (xn) ограничена сверху.

1

n

Таким образом, последовательность xn = µ1 +

¶

, как возрастаю-

n

щая и ограниченная сверху, по теореме Вейерштрасса сходится.

Предел последовательности xn = µ1 +

1

¶

n

, следуя великому мате-

n

матику Леонарду Эйлеру, обозначают буквой e,

lim

1

n

=

e:

(2.25)

n!1 µ1 + n¶

Из оценок, проведённых при доказательстве теоремы, следует, что

2 < e · 3. Доказано, что число e иррациональное и даже трансцендентное. К настоящему времени число e вычислено с очень высокой степенью точности. В дальнейшем мы покажем, как это может быть сделано, а также выясним чрезвычайно важную роль числа e в математике, а пока приведём несколько первых десятичных знаков числа e: e = 2; 71828::: .

Приведём ещё один пример использования теоремы Вейерштрасса.

2. Предел числовой последовательности

65

Пусть дано положительное число a. Выберем число x1 > 0. Далее

положим x2 =

1

µx1 +

a

¶, x3 =

1

µx2

+

a

¶, и вообще

2

x1

2

x2

xn+1 =

1

µxn +

a

¶ ;

n = 1; 2; : : : :

(2.26)

2

xn

Формулы типа (2.26), определяющие каждый следующий член последовательности через предыдущие, называются рекуррентными формулами.

Теорема 2.17 lim xn = pa :

n!1

Доказательство. Изучим свойства последовательности (xn).

1)xn ¸ 0 (n 2 N). Очевидно.

2)xn ¸ pa при n ¸ 2.

Перепишем формулу (2.26) в виде

+ xn ¶

xn+1 = 2

µpa

p

a

xn

p

a

1

и применим известное неравенство t +

¸ 2, справедливое при t > 0,

t

xn

положив в нём t = p

. Тогда

a

p

xn

p

p

a

a

a

xn+1 =

µp

+

¶ ¸

¢ 2 = pa ; n = 1; 2; : : : :

2

xn

2

a

3) Покажем, что последовательность (xn), начиная с номера n = 2, является невозрастающей.

В самом деле, вынеся в (2.26) xn за скобку, будем иметь:

xn+1

= 2

µpa

+ xn ¶

=

2

µ1 + xn2 ¶

· xn ;

p

a

xn

p

a

xn

a

так как по пункту 2 x2n ¸ a. Следовательно, xn+1 · xn при всех n 2 N. Итак, последовательность xn невозрастающая по пункту 3 и ограниченная снизу по пункту 2. Тогда теореме Вейерштрасса существует

b = lim xn. Так как xn ¸ pa > 0, то и b ¸ pa > 0. Найдём его. Для этого

n!1

в обеих частях равенства (2.26) перейдём к пределу, устремив n к беско-

нечности. Получим сводящееся к квадратному уравнение b =					1	³b +	a	´,
					2		b
положительным решением которого является b = p		.
	a

66	Оглавление

Рекуррентную формулу (2.26) используют для приближённого вычисления pa с помощью вычислительных устройств.

2.3Произвольные последовательности

Определение 2.11 Пусть (xn) произвольная последовательность. Пусть (nk)k2N любая возрастающая последовательность натуральных чисел.

Последовательность (xnk )k2N = (xn1 ; xn2 ; : : : ; xnk ; : : :) назовём подпоследовательностью последовательности (xn).

µ2	Например, последовательности					2k + 1 ; : : :¶			µ1;							k2 ; : : :¶
	; 4 ; : : : ;	2k ; : : :¶;		µ1; 3	; 5 ; : : : ;			;		4		; 9 ; : : : ;
1	1	1		1	1	1				1		1				1
суть подпоследовательности последовательности µ1;										1		; : : : ;	1		; : : :¶:
										2			n

Отметим, что в число подпоследовательностей последовательности

(xn) входит и сама последовательность (xn), так как последовательность номеров (1; 2; : : : ; k; : : :) является возрастающей.

Теорема 2.18 Если последовательность (xn) сходится к числу a, то и любая подпоследовательность этой последовательности тоже сходится к a.

Доказательство. Пусть lim xn = a и (xnk ) подпоследовательность

n!1

последовательности (xn). Нужно показать, что lim xnk = a.

k!1

Зафиксируем " > 0 и, пользуясь определением предела последовательности, найдём номер n0 такой, что jxn ¡aj < " при n ¸ n0. Положим k0 = minfk : nk ¸ n0g и возьмём k ¸ k0. Тогда, очевидно, nk ¸ n0, поэтому jxnk ¡ aj < ".

Итак, по " > 0 найден номер k0 такой, что jxnk ¡ aj < " при k ¸ k0. Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение.

2. Предел числовой последовательности

67

Теорема 2.19 Если любая подпоследовательность последовательности (xn) сходится, то сходится и последовательность (xn), и все подпоследовательности имеют одинаковый предел.

Доказательство. Это утверждение тривиально. Последовательность

(xn) сходится по условию, так как, как отмечено выше, она является своей подпоследовательностью. А все подпоследовательности имеют одинаковый предел по предыдущей теореме.

Определение 2.12 Число a будем называть предельной точкой последовательности (xn), если любая окрестность точки a содержит бесконечно много членов этой последовательности.

Если последовательность (xn) сходится, то в любой "-окрестности её предела a содержатся все члены последовательности, начиная с номера n0("). Поэтому предел a является предельной точкой сходящейся последовательности. Обратное утверждение, как будет показано ниже на примерах, неверно.

Теорема 2.20 Число a является предельной точкой последовательности (xn) тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность (xnk ), сходящаяся к a.

Доказательство. Если существует подпоследовательность (xnk ), сходящаяся к a, то любая окрестность точки a содержит все члены подпоследовательности (xnk ), начиная с некоторого номера, то есть, содержит бесконечно много членов последовательности (xn). По определению, a

является предельной точкой последовательности (xn).

Докажем обратное. Пусть a предельная точка последовательности (xn). Тогда, по определению, любая окрестность точки a содержит бесконечно много членов последовательности (xn). Пусть ("k) сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел. Рассмотрим

"1-окрестность точки a. Она содержит бесконечно много членов последовательности (xn). Возьмём любой из них и обозначим его номер n1.

68 Оглавление

Итак, xn1 2 U"1 (a). Рассмотрим "2-окрестность точки a. Она тоже содержит бесконечно много членов последовательности (xn), поэтому среди них найдётся такой, номер которого больше номера n1. Возьмём этот член последовательности и обозначим его номер n2. Итак, xn2 2 U"2 (a), причём n2 > n1. Описанный процесс выбора членов последовательности можно продолжить бесконечно. Пусть члены последовательности xn1 , xn2 , . . . , xnk¡1 уже выбраны. Рассмотрим "k-окрестность точки a. Она тоже содержит бесконечно много членов последовательности (xn), поэтому среди них найдётся такой, номер которого больше уже выбранных номеров n1, n2, . . . , nk¡1. Возьмём этот член последовательности и обозначим его номер nk. Итак, xnk 2 U"k (a), причём nk > nk¡1. И так далее.

В результате мы получаем подпоследовательность (xnk ) последова-

тельности (xn), обладающую свойством jxnk ¡aj < "k. Так как "k ¡¡¡! 0,

k!1

то последовательность (xnk ¡a) бесконечно малая, то есть, xnk ¡¡¡! a.

k!1

Теорема доказана.

Замечание 2.7 Условие ¾последовательность (xn) содержит подпоследовательность (xnk ), сходящуюся к a¿, часто принимают за определение предельной точки последовательности.

Примеры

µ

¶

1)Последовательность 1; 12; 13; : : : ; n1 ; : : : сходится к нулю, поэтому имеет единственную предельную точку a = 0.

2)Последовательность (1; 2; 3; : : : ; n; : : :) предельных точек не имеет, потому что при " < 0; 5 "-окрестность любой точки a 2 R может содер-

жать не более одного члена последовательности.														n ¡ 1
	1	;	1	;	2	;	1		;	3	; : : : ;	1	;			; : : :
3) Последовательность µ																¶ имеет две
	2		3		3		4			4		n			n

предельные точки: a1 = 0 (любая её "-окрестность содержит бесконечно много членов последовательности вида 1=n) и a2 = 1 (любая её "- окрестность содержит бесконечно много членов последовательности ви-

да (n ¡ 1)=n).

2. Предел числовой последовательности										69
4) Для последовательности									2¡k	1; : : :¶
µ0; 1; 2;		4;		4; : : : ;	2k ;		2k ; : : : ;
1		1		3	1		3		2k

каждая точка a отрезка [0; 1] является предельной.

Для доказательства этого утверждения зафиксируем " > 0 и поло-

жим k0 = min ½k :

1

< "¾. Пусть теперь a любая точка отрезка [0; 1].

2k

Тогда при

k

¸

k0

как

минимум один член последовательности из каждой

k

¡ 1

группы членов

1

;

3

; : : : ;

2

будет располагаться в "-окрестности

2k

2k

2k

точки a. Следовательно, в любой окрестности любой точки отрезка [0; 1]

содержится бесконечно много членов последовательности.

Как видно из приведённых примеров, последовательность может не иметь ни одной предельной точки, может иметь одну, две, ..., и даже бесконечно много предельных точек.

Теорема 2.21 Если xn ¡¡¡! a, то a единственная предельная точка

n!1

этой последовательности.

Доказательство. По теореме 2.18, если последовательность (xn) сходится к a, то и любая её подпоследовательность тоже сходится к a, поэтому других предельных точек у сходящейся последовательности быть не может.

Докажем теорему, имеющую для анализа не меньшее значение, чем теоремы Вейерштрасса, Кантора и некоторые другие.

Теорема 2.22 (Больцано, Вейерштрасс) Всякая ограниченная числовая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Пусть (xn) ограниченная последовательность. Тогда существуют числа a1; b1 такие, что для любого n 2 N выполняется неравенство a1 · xn · b1, то есть, последовательность (xn) целиком расположена на отрезке [a1; b1]. Разобьём отрезок [a1; b1] пополам точкой c1 = (a1 + b1)=2. Тогда получим два отрезка [a1; c1] и [c1; b1] длины