Matan_1_semestr_Lektsii
.pdf
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оглавление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
(¡1; 0) |
0 |
(0; 9=7) |
|
|
9=7 |
(9=7; +1) |
|
||||||
|
y00 |
¡ |
@ |
|
¡ |
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
_ |
@ |
|
_ |
|
|
|
¼ 1; 2 |
^ |
|
||||
Так как слева и справа от x5 |
= |
|
9 |
|
график функции имеет разные на- |
||||||||||
7 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
913 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
правления выпуклости, то точка M5 |
µ |
|
; |
|
¶ точка перегиба графика |
||||||||||
7 |
756 |
||||||||||||||
функции.
6. a) Так как x = 0 граничная точка области определения, то выясним, как ведёт себя функция при приближении x к нулю слева и справа. Видим, что числитель при этом стремится к ¡6, а знаменатель к нулю, оставаясь положительным. Поэтому
lim 2x3 ¡ 5x2 + 14x ¡ 6 = ¡1 :
x!§0 4x2
Следовательно, прямая x = 0 вертикальная асимптота.
b) Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты. Попробуем для начала найти
|
k = lim |
f(x) |
|
= lim |
2x3 ¡ 5x2 + 14x ¡ 6 |
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x!1 |
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
lim |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
14 |
|
|
6 |
|
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
¡ x3 |
¶ = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 x!1 µ2 ¡ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Если k определилось, то попробуем найти |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ 2 |
¶ |
|
|
||||||||||||||||||||||
= x!1 |
|
|
¡ |
|
|
|
|
x!1 µ |
|
|
¡ |
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
b lim (f(x) |
|
|
|
kx) = |
lim |
|
|
2x3 |
|
5x2 |
+ 14x |
|
6 |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= x!1 |
¡ |
5x2 |
4x2 |
¡ |
|
|
|
¡4 x!1 µ ¡ 5x 5x2 ¶ |
¡4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|||
Раз удалось найти и k и b, то график функции имеет при x ! 1 на-
клонную асимптоту
y = 12x ¡ 54 :
Исследование закончено. Осталось нарисовать график. Берём систему координат, проводим вертикальную асимптоту x = 0 и наклонную y = 12x¡ 54, откладываем точки M1; M2; M3; M4; M5 и проводим через них
4. Производная и её приложения |
241 |
кривую, сообразуясь со сведениями, содержащимися в таблицах пунктов 3, 4, 5.
Задачи
1.Можно ли утверждать, что если функции f и g не дифференцируемы в точке x0, то и функции f + g, f ¢ g не дифференцируемы в этой точке?
2.Пусть X(½ R) открытый промежуток, f : X ! R, a 2 X. Функция f дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны левая и правая производные функции f (f¡0 (a) и f+0 (a)). Доказать.
3.Под каким углом пересекаются кривые (т.е. касательные к кривым) y = xp3 и x = yp3 в точке (1; 1)?
4.Вывести формулу
(u1u2 : : : un)0 = u01u2 : : : un + u1u02u3 : : : un + : : : + u1u2 : : : un¡1u0n;
считая функции u1; u2; : : : ; un дифференцируемыми на открытом промежутке X (или в точке a этого промежутка).
5.Доказать, что производная чётной (нечётной) дифференцируемой функции есть функция нечётная (чётная).
6.Доказать, что если дифференцируемая функция имеет период T , то её производная тоже имеет период T .
7.Может ли функция в точке её разрыва иметь конечную производную?
8.Доказать, что приращения функций f(x) = apx и g(x) = bx2 в
любой точке x > 0 (a 6= 0; b 6= 0) бесконечно малые одного порядка при ¢x ! 0:
242 |
Оглавление |
9.Доказать, что если чётная функция f дифференцируема в точке x = 0; то f0(0) = 0:
10.Доказать, что функция
|
|
1 |
|
|
|
|
8 x2 sin |
|
; |
x 6= 0; |
|
f(x) = |
x |
||||
|
: |
0; |
|
|
x = 0; |
|
< |
|
|
||
дифференцируема в точке x = 0:
11.Известно, что функция ' имеет обратную '¡1, причём '(1) = 2
и '0(1) = 4: В какой точке на основании этой информации можно вычислить производную функции '¡1 и чему она равна ?
12.В какой точке надо знать производную функции f; чтобы можно
было вычислить производную функции g(x) = f(tg x) в точке x =
¼6 ?
13. В какой точке надо знать производную функции f; чтобы можно было вычислить производную функции g(x) = f(ln cos x) в точке x = 0?
14.Доказать: если f0(x0) 6= 0; то найдётся ± > 0 такое, что для всех h : 0 < jhj < ± приращение ¢f = f(x0 +h)¡f(x0) отлично от нуля.
15.Доказать, что функция
|
|
1 |
|
|
|
|
8 x sin |
|
; |
x 6= 0; |
|
f(x) = |
x |
||||
|
: |
0; |
|
|
x = 0; |
|
< |
|
|
||
не имеет в точке x = 0 ни правой, ни левой производной.
16.Показать, что если функция f дифференцируема в интервале (a; b);
существуют (конечные) f(a + 0) и f(b ¡ 0) и f(a + 0) = f(b ¡ 0);
то в интервале (a; b) существует хотя бы одна стационарная точка функции f:
4. Производная и её приложения |
243 |
17.Доказать: если функция f непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b); то функция
F (x) = (f(x) ¡ f(a))(b ¡ a) ¡ (f(b) ¡ f(a))(x ¡ a)
имеет в интервале (a; b) по крайней мере одну стационарную точку.
18.Доказать: если функции ' и Ã непрерывны на сегменте [a; b] и дифференцируемы в интервале (a; b); то функция
F (x) = ('(x) ¡ '(a)) (Ã(b) ¡ Ã(a)) ¡ (Ã(x) ¡ Ã(a)) ('(b) ¡ '(a))
имеет в интервале (a; b) по крайней мере одну стационарную точку.
19. Пусть функция f дифференцируема на сегменте [a; b] и пусть supfjf0(x)j : x 2 [a; b]g = M; где M > 0: Тогда на любом сегменте
[®; ¯] ½ [a; b] справедливо неравенство jf(¯) ¡ f(®)j · M(¯ ¡ ®):
20.Пусть функция f имеет на промежутке X ограниченную производную. Доказать, что она равномерно непрерывна на X.
21.Доказать: если функция f имеет в точке x производную второго порядка, то
lim |
f(x + h) ¡ 2f(x) + f(x ¡ h) |
= f00(x): |
|
h2 |
|||
h!0 |
|
22.Доказать: если функция f имеет в точке x производную третьего порядка, то
lim |
f(x + 3h) ¡ 3f(x + 2h) + 3f(x + h) ¡ f(x) |
= f000(x): |
|
h3 |
|||
h!0 |
|
23.Верно ли следующее утверждение?
Пусть функция f : [a; b] ! R непрерывна в точке a справа, непрерывна в точке b слева, дифференцируема в интервале (a; b) и f(a + 0) = f(b ¡ 0): Тогда найдётся точка » 2 (a; b) такая, что f0(») = 0:
24.Доказать, что функция f(x) = x¡a sin x; где 0 < a · 1; возрастает.
25.Может ли график функции иметь две разные асимптоты при x !
+1?
244 |
Оглавление |