Matan_1_semestr_Lektsii

80	Оглавление

Из полученной оценки видно, что если взять " · 1=2, то не существует номера n0 такого, чтобы при любых n ¸ n0 и p 2 N выполнялось неравенство jxn+p ¡ xnj < ". (Убедиться в этом можно, взяв n = p = n0.) Следовательно, условие Коши не выполняется, последовательность расходится.

Задачи

1. Доказать, что последовательность (xn) ограничена () 9C > 0 : jxnj · C для всех n 2 N.

2. Доказать, что если последовательность (xn) сходится и lim xn > a;

n!1

то 9 m 2 N такой, что xn > a при всех n ¸ m:

3. Пусть последовательности (xn) и (yn) расходящиеся. Можно ли утверждать, что a) последовательность (xn + yn) расходится? b) последовательность (xnyn) расходится?

4. Пусть последовательность (xn) сходится, а последовательность (yn)

расходится. Что можно сказать о сходимости a) последовательности (xnyn)? b) последовательности (xn + yn)?

5. Пусть lim xn = lim yn = a;
n!1	n!1
	zn =	8 xk;	если n = 2k ¡ 1; ; k	2	N:
		:	если n = 2k;
		< yk;

Доказать, что lim zn = a.

n!1

6. Пусть (x ) и (y ) бесконечно малые последовательности, причем

n n µ ¶

yn =6 0 для всех n 2 N. Может ли последовательность xn быть yn

a) сходящейся? b) расходящейся? c) расходящейся, но ограниченной? d) расходящейся и неограниченной? e) бесконечно малой? f) бесконечно большой?

2. Предел числовой последовательности

81

7.

Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие последовательности, при-

xn

чем yn 6= 0 для всех n 2 N. Может ли последовательность µ

¶

yn

быть a) сходящейся? b) расходящейся? c) расходящейся, но ограни-

ченной? d) расходящейся и неограниченной? e) бесконечно малой?

f) бесконечно большой?

8.

Пусть последовательность (xn) сходится. Обязана ли сходиться по-

xn+1

следовательность µ

¶?

xn

9.

Пусть последовательность (xn) сходится. Доказать, что если после-

xn+1

lim

xn+1

[

1; 1]

довательность µ

¶

сходится, то n!1

2

¡

.

xn

xn

10. Пусть l 2 [¡1; 1]. Построить сходящуюся последовательность (xn)

такую, чтобы lim xn+1 = l.

n!1 xn

11.Является ли последовательность (yk) подпоследовательностью последовательности (xn); если :

(a) xn = 2n; n 2 N; yk = 2(k + (¡1)k); k 2 N;

(b) xn =

1

; n 2 N;

yk =

1

; k 2 N;

n

k ¡ cos (¼k)

(c) xn =

1

; n 2 N;

yk =

1

; k 2 N?

n

3k

¡

cos (¼k)

12. Доказать ограниченность последовательностей

n

1

n 1

n

X

X

Xk

(a) xn = k=1 n + k ; n 2 N; (b) xn = 1+k=1 k!; n 2 N; (c) xn =

=1

1

k(k + 1); n 2 N;

	n		¡
	Xk
(d) xn =		1			; n 2 N; (e) xn =
	=1 4k2			1

p

(g) xn = n2 + 1 ¡ n; n 2 N; (h) xn

p p

(i) xn = 3 9n ¡ n3+ 3 9n + n3; n 2 N;

n	1							n	1
Xk								X
			¡
=1	2k(2k				1); n 2 N; (f) xn = k=1 k2 ; n 2 N;
= p				¡ p				; n 2 N;
		n ¡ 1					n + 1

p p

(j) xn = 3 n3 + 1¡ n2 ¡ 1; n 2 N:

13. Доказать неограниченность последовательностей

p p q p

(a) xn = n4 + n3 + 1¡ n4 ¡ n3 + 1; n 2 N; (b) xn = n2 + (¡1)n n3¡n; n 2 N:

82	Оглавление

14.Доказать, что из не ограниченной последовательность можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

15.Доказать, что последовательность

	n
xn = 1 ¡	Xk	1		¡	1			; n 2 N;
	=1 2k(2k + 1)				2(n + 1)

монотонна.

16. Доказать, что последовательность

		n
	1	Xk
xn =	(n + 1)!	=1 k ¢ k!; n 2 N;

возрастает и ограничена.

17. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если у неё есть сходящаяся подпоследовательность.

		1	Xk
18.	Доказать, что lim				= 0:
	n!1 n		=1 k
19.	Доказать, что последовательность xn =					1	+	2	+ : : : +	n
						2		2		(n + 1)	2
	(n 2 N) расходится.					2		3
20.	Доказать, что если nlim xn = a; то nlim jxnj = jaj:
			!1		!1

21. Доказать, что последовательность (xn) будет бесконечно малой ()

будет бесконечно малой последовательность (jxnj).

22. Доказать, что для того, чтобы lim xn = 1; необходимо и доста-

n!1

точно, чтобы lim jxnj = +1:

n!1

23. Пусть lim yn = +1 и для всех n; начиная с некоторого, xn ¸ cyn;

n!1

где c > 0: Доказать, что lim xn = +1:

n!1

24. Пусть lim yn = ¡1 и для всех n; начиная с некоторого, xn · cyn;

n!1

где c > 0: Доказать, что lim xn = ¡1:

n!1

25. Пусть lim yn = +1 и для всех n; начиная с некоторого, jxnj ¸ cyn;

n!1

где c > 0: Доказать, что lim xn = 1:

n!1

2. Предел числовой последовательности

83

26. Пусть lim xn = +1 и yn ¸ c для всех n: Доказать, что lim (xn +

n!1 n!1

yn) = +1:

27. Пусть lim xn = ¡1 и yn · c для всех n: Доказать, что lim (xn +

n!1 n!1

yn) = ¡1:

28. Пусть lim xn = +1 и для всех n; начиная с некоторого, yn ¸ c > 0:

n!1

Доказать, что lim xnyn = +1:

n!1

29. Пусть lim xn = +1 и для всех n; начиная с некоторого, yn · c < 0:

n!1

Доказать, что lim xnyn = ¡1:

n!1

30.Пусть (xn) – ограниченная числовая последовательность. Доказать, что для 8 " > 0 9 m такой, что неравенства

			xn > nlim xn ¡ "
xn < nlim xn + ";
!1			!1

будут выполняться при всех n ¸ m:

31. Пусть (xn) и (yn) ограниченные последовательности. Доказать, что

nlim xn + nlim yn · nlim
				(xn + yn) · nlim xn + nlim yn;
!1	!1		!1	!1				!1
nlim xn + nlim yn · nlim				(xn + yn) · nlim xn + nlim yn:
!1	!1		!1	!1				!1

32.Пусть (xn) и (yn) ограниченные последовательности, причём xn ¸

0; yn ¸ 0; n 2 N:

Доказать, что

(nlim xn)(nlim yn) · nlim (xnyn) · (nlim xn)nlim yn;
!1	!1	!1	!1	!1

(nlim xn)nlim yn · nlim (xnyn) · (nlim xn)(nlim yn):
!1	!1	!1	!1	!1

33.Доказать, что если последовательность (xn) сходящаяся, а (yn) ограниченная, то

lim (xn + yn) = lim xn + lim yn;					lim (xn + yn) = lim xn + lim yn:
n!1		n!1	n!1		n!1	n!1	n!1

84

Оглавление

34.

Доказать, что если последовательность (xn) сходящаяся и xn ¸ 0;

а (yn) ограниченная, то

lim

(xnyn) = ( lim xn)(

lim

yn):

n!1

n!1

n!1

35.

Найти

xn и

lim xn; если xn =

(¡1)n

+

1 + (¡1)n

:

lim

n!1

n!1

n

2

36.

Отрезком [a; b]Q рациональных чисел называется множество

[a; b]Q = fx 2 Q : a · x · b; a 2 Q; b 2 Qg:

Систему ([an; bn]Q)n2N отрезков рациональных чисел назовём вложенной, если для любого n выполняется включение

[an+1; bn+1]Q ½ [an; bn]Q:

Справедливо ли утверждение, что пересечение любой системы вложенных отрезков рациональных чисел содержит по крайней мере одно рациональное число? (одно вещественное число?)

37.Справедливо ли утверждение, что всякая система вложенных интервалов ((an; bn))n2N, то есть таких, что (an+1; bn+1) ½ (an; bn); n 2 N; имеет непустое пересечение?

38.Справедливо ли утверждение, что всякая система вложенных интервалов ((an; bn))n2N, то есть таких, что (an+1; bn+1) ½ (an; bn); n 2 N; имеет пустое пересечение?

39.Существует ли система вложенных интервалов ((an; bn))n2N, то есть таких, что

(an+1; bn+1) ½ (an; bn); n 2 N; имеющая пустое пересечение?

40.Существует ли система вложенных интервалов ((an; bn))n2N, то есть таких, что

(an+1; bn+1) ½ (an; bn); n 2 N; имеющая непустое пересечение?

3. Предел и непрерывность функции

85

3Предел и непрерывность функции

3.1Некоторые сведения о числовых множествах

Прежде, чем начать изучение понятий предела функции, непрерывности функции и связанных с ними свойств функций, введём некоторые понятия и изучим свойства числовых множеств, связанные с этими понятиями.

Пусть X некоторое множество вещественных чисел.

Определение 3.1 Точку a 2 R назовём предельной точкой множества

X, если любая окрестность точки a содержит бесконечно много элементов множества X.

Множество предельных точек множества X принято обозначать символом X0.

Замечание 3.1 Точка a может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Ниже на примерах мы в этом убедимся, а пока докажем теорему, содержащееся в ней утверждение часто принимают за определение предельной точки.

Теорема 3.1 Для того чтобы точка a была предельной для множества X, необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность различных элементов множества X, сходящаяся к a.

Доказательство. Необходимость. Пусть a предельная точка множества X. Пусть ("n) последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. В каждой "n-окрестности точки a выберем по точке xn множества X. Это можно сделать, потому что каждая окрестность a

содержит точки множества X, а поскольку каждая окрестность содержит таких точек бесконечно много, то, отбросив при необходимости уже выбранные точки x1; x2; xn¡1, точку xn можно подобрать так, чтобы она

86 Оглавление

отличалась от ранее выбранных. В результате получаем последователь-

ность (xn), состоящую из различных точек множества X.

Так как jxn ¡ aj < "n, а "n ¡¡¡! 0, то последовательность (xn ¡ a)

n!1

бесконечно малая, то есть, xn ¡¡¡! a.

n!1

Достаточность. Пусть существует последовательность (xn), сходящаяся к a и состоящая из различных точек множества X. Тогда любая

"-окрестность точки a содержит все члены этой последовательности за исключением некоторого конечного числа первых членов. Другими словами, любая "-окрестность точки a содержит бесконечно много элемен-

тов множества X.

Примеры.

1. X = [a; b]; b > a.

Любая точка c 2 [a; b] является предельной для [a; b], так как, оче-

видно, для любого c				[a; b], для любого " > 0 U"(c)	[a; b] бесконеч-
но. Если же c = [a; b]2, скажем, c < a, то, взяв " = aT						c, видим, что
		2		¡
U"(c) [a; b] = ?. Таким образом, [a; b]0 = [a; b].
X		a; b	; b > a	.
2. T	= (	)

Теми же рассуждениями, что и в предыдущей задаче, убеждаемся, что (a; b)0 = [a; b].

3. X = N

Как нетрудно видеть, при " < 1=2 "-окрестность любого вещественного числа a может содержать не более одного натурального числа. Таким образом, множество натуральных чисел предельных точек не имеет, то есть, N0 = ?.

4. X = fx1; x2; : : : ; xmg.

Как следует из определения, конечное множество не может иметь предельных точек. X0 = ?.

5. X = Q.

Возьмём любое a 2 R и любое " > 0. Очевидно, U"(a) содержит бесконечно много рациональных чисел, следовательно, Q0 = R.

3. Предел и непрерывность функции			87
6. X =	½n : n 2 N¾.
	1

Как нетрудно видеть, для данного множества единственной предельной точкой является ноль. X0 = f0g.

Теорема 3.2 (Больцано, Вейерштрасс) Всякое бесконечное ограниченное множество X ½ R имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Так как множество X ограничено, то найдутся постоянные m и M такие, что для всех элементов x множества X выполняется неравенство m · x · M. Обозначим ради единообразия m = a0; M = b0

иразделим отрезок [a0; b0] пополам точкой c0 = (a0 + b0)=2. Так как множество X бесконечно, то хотя бы один из двух получившихся отрезков содержит бесконечное подмножество множества X. Выберем тот из отрезков, который содержит бесконечное подмножество множества X

иобозначим его [a1; b1]. (Если оба отрезка содержат бесконечное бесконечно много элементов множества X, то можно взять любой из них, для определённости левый.) Далее, рассуждая аналогично предыдущему, разделим выбранный отрезок [a1; b1] пополам, выберем тот из двух получившихся отрезков, который содержит бесконечное подмножество множества X и обозначим его [a2; b2].

Описанный процесс может быть продолжен бесконечно, потому что если получен отрезок [ak; bk], содержащий бесконечное подмножество множества X, то, разделив его пополам точкой ck = (ak + bk)=2, получим два отрезка, по крайней мере один из которых содержит бесконечное подмножество множества X. Выберем его и обозначим [ak+1; bk+1].

Врезультате получаем последовательность сегментов [ak; bk], обладающую свойствами:

1) [ak; bk] ¾ [ak+1; bk+1] (k=1,2,. . . );

2) bk ¡ ak ¡¡¡! 0;

k!1

3) каждый из сегментов содержит бесконечное подмножество множества X.

88 Оглавление

Из первых двух свойств следует, что последовательность сегментов

[ak; bk] стягивающаяся, поэтому по теореме Кантора (теорема 2.15) существует единственная принадлежащая всем сегментам точка c, являющаяся, как следует из доказательства теоремы, пределом последовательностей левых и правых концов сегментов.

Используя третье свойство, выберем x1 2 X

[a1; b1], затем выберем

так,

X

T

[a2;

b2]

так, чтобы

x2

=

x1

, затем

выберем x3 X

T

[a3; b3]

x2

2

чтобы x3

6

2

= x1; x2, . . . , выберем xk

2

X [ak; bk] так, чтобы выпол-

6

На каждом шаге это можно

нялось условие

xk

= x1; x2; : : : ;

xk

1

6

¡ , . . . .

T

сделать, потому что каждый из выделенных сегментов содержит бесконечное подмножество множества X, а до этого выбрано только конечное число элементов множества, поэтому каждый сегмент содержит бесконечно много элементов множества X, отличных от уже выбранных.

Рассмотрим выделенную последовательность (xk) элементов множе-

ства X. Так как по построению ak · xk · bk и lim ak = lim bk = c, то по

k!1 k!1

теореме о трёх последовательностях (теорема 2.13) имеем: lim xk = c, то

k!1

есть, c предельная точка множества X.

Лемма 3.1 Если множество X не ограничено сверху (снизу), то найдётся последовательность его (различных) элементов, сходящаяся к

+1 (¡1).

Доказательство. Отметим, что если множество X не ограничено сверху или снизу, то оно обязательно бесконечно.

Пусть множество X не ограничено сверху. Тогда для любого числа

M найдётся x 2 X, удовлетворяющий условию x > M. Следовательно, найдётся x1 2 X такой, что x1 > 1, найдётся x2 2 X, такой, что x2 > 2

и x2 =6 x1 (если бы такой элемент не нашёлся, то это означало бы, что x · x1 для каждого x 2 X, а это, в свою очередь, означало бы, что множество X ограничено сверху),..., найдётся xk 2 X такой, что xk > k и xk =6 x1; x2; xk¡1 и так далее.

Продолжив описанный процесс неограничено, получим последова-

3. Предел и непрерывность функции

89

тельность (xk), состоящую из различных элементов множества X, которая по построению является бесконечно большой.

Вторая часть леммы доказывается аналогично.

Доказанная лемма позволяет расширить понятие предельной точки множества. Если множество X не ограничено сверху, то будем считать, что +1 его предельная точка, если снизу, то ¡1 будем считать его предельной точкой, а если множество X неограничено, то его предельной точкой будем считать 1.

Таким образом, справедливо утверждение, называемое расширенной теоремой Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 3.3 Всякое бесконечное множество X ½ R имеет хотя бы одну предельную точку.

Определение 3.2 Точку a множества X ½ R назовём изолированной точкой множества X, если найдётся окрестность U"(a) точки a, не содержащая, кроме a, ни одной точки множества X, то есть,

X TU"(a) = fag.

Примеры.

1. Множества R, (a; b), [a; b], очевидно, изолированных точек не со-

держат.	=	½n : n 2 N¾		состоят из
2. Множества N, X1 = fx1; x2; : : : ; xmg, X2
		1

изолированных точек.

Относительно N утверждение очевидно. В случае X1 положим

± = minfjxi ¡ xjj : i =6 j; i; j = 1; 2; :::; mg. Тогда, очевидно, U±(xi)

содержит только точку xi. В случае X2 возьмём любой элемент множества xn и положим ±n = n1 ¡ n +1 1. Тогда, очевидно, окрестность U±n (xn)

содержит только точку xn.

3. У множества X = (0; 1) Sf2g S(3; 4) точка x = 2 изолированная, остальные предельные.

Как вытекает из определений предельной и изолированной точек множества X ½ R, возможны только два варианта: либо точка a 2 X