Matan_1_semestr_Lektsii

10 Оглавление

Определение 1.8 Вещественным числом будем называть снабжённую знаком "+" или "¡" бесконечную десятичную дробь. Множество вещественных чисел обозначим символом R.

Итак, вещественные числа записываются в виде x = §a0; a1a2a3 : : : ak : : : ;

где из двух знаков "§" в каждом конкретном случае выбирается только один, a0 2 N неотрицательное целое число, ak 2 F = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g (k 2 N) десятичные знаки. Числа, снабжённые знаком "+", будем называть положительными и знак "+", как правило, опускать, числа, снабжённые знаком "¡", будем называть отрицательными. Число 0 = 0; 000 : : : 0 : : : можно считать и отрицательным, и положительным.

Числа, отличающиеся друг от друга только знаком, будем называть противоположными. Число, противоположное числу x, будем обозначать

¡x.

Множество всех положительных чисел вместе с нулём будем называть множеством неотрицательных чисел и обозначать символом R+, а множество всех отрицательных чисел вместе с нулём будем называть множеством неположительных чисел и обозначать символом R¡.

Рациональные числа являются вещественными, поскольку представляются в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

12 = 0; 5000 : : : = 0; 4999 : : : ; ¡3125 = ¡1; 24000 : : : = ¡1; 23999 : : : ; 23 = 0; 666 : : : ; ¡187 = ¡2; 5714285714 : : : :

Из первых двух примеров мы видим, что некоторые рациональные числа имеют по два представления в виде бесконечной десятичной дроби: одно с нулём в периоде, а второе с девяткой. Таким свойством обладают числа вида 10ml , где m 2 Z, l 2 N. В самом деле, рациональные числа со знаменателем 10l записываются в виде конечной десятичной дроби как r = §a0; a1a2 : : : al, где al 6= 0, поэтому одна форма их записи в виде

1. Введение в анализ

11

бесконечной десятичной дроби выглядит так: r = §a0; a1a2 : : : al000 : : : :

Далее, используя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем равенство

0; 999 : : : =	9	+	9	+	9	+ : : : =	9=10	= 1 ;
	10		100		1000		1 ¡ 1=10

откуда 1 ¢ 10¡l = 0; 999 : : : ¢ 10¡l, поэтому, отщепляя от l-го десятичного знака числа r единичку, получаем его второе представление:

r= §(a0; a1a2 : : : (al ¡ 1) + 1 ¢ 10¡l) =

=§(a0; a1a2 : : : (al ¡ 1) + 0; 999 : : : ¢ 10¡l) = §a0; a1a2 : : : (al ¡ 1)999 : : : :

Вдальнейшем при рассмотрении теоретических вопросов мы будем, как правило, употреблять представление вещественных чисел с девяткой в периоде (исключение составляет, конечно, число 0; 000 : : :). Представление вещественных чисел с нулём в периоде будем употреблять в исключительных случаях и каждый раз это оговаривать.

Определение 1.9 Вещественные числа, записываемые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел будем обозначать символом

J.

Сравнение вещественных чисел

Пусть даны два вещественных числа x = §a0; a1a2a3 : : : al : : : и y = §b0; b1b2b3 : : : bl : : : .

Определение 1.10 Числа x и y будем называть равными и писать x = y, если они имеют одинаковые знаки и одинаковые значащие цифры, то есть, если a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , al = bl, . . . .

Если хотя бы одно из условий, указанных в определении, нарушается, то будем говорить, что числа x и y не равны, и писать x =6 y. Для неравных между собой вещественных чисел введём отношения < (меньше) и

> (больше).

12 Оглавление

1) Пусть сначала оба числа x и y неотрицательны,

x = a0; a1a2a3 : : : al : : : ; y = b0; b1b2b3 : : : bl : : : :

Так как x 6= y, то нарушается хотя бы одно из равенств a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , al = bl, . . . . Пусть k наименьший из номеров, для которых равенство нарушается, то есть a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , ak¡1 = bk¡1, но ak 6= bk. Тогда будем считать, что x < y, если ak < bk, и x > y, если ak > bk.

2)Пусть одно из чисел, скажем x, отрицательно, а второе, y, неотрицательно. Тогда будем считать, что x < y или что y > x.

3)Пусть, наконец, оба числа x и y отрицательны. Для сравнения отрицательных чисел нам понадобится понятие модуля вещественного числа.

Определение 1.11 Пусть дано вещественное число

x = §a0; a1a2a3 : : : al : : : :

Модулем числа x назовём число jxj = a0; a1a2a3 : : : al : : : .

Из двух отрицательных чисел будем считать меньшим то, модуль которого больше, то есть

x < y , jxj > jyj :

Запись x · y (x меньше или равен y) означает, что или x < y, или x = y.

Нетрудно убедиться, что правило сравнения вещественных чисел обладает следующим основополагающим свойством:

x < y; y < z ) x < z

(свойством транзитивности).

Пусть сначала числа x; y; z неотрицательны,

x = a0; a1a2 : : : al : : : ; y = b0; b1b2 : : : bl : : : ; z = c0; c1c2 : : : cl : : : :

1. Введение в анализ

13

Так как x < y, то найдётся такой номер k, что a0 = b0, a1 = b1, . . . , ak¡1 = bk¡1, ak < bk. А так как y < z, то найдётся номер m такой, что b0 = c0, b1 = c1, . . . , bm¡1 = cm¡1, bm = cm. Пусть k · m. Тогда, очевидно, a0 = c0, a1 = c1, . . . , ak¡1 = ck¡1, а ak < bk · ck. Следовательно, x < z. Если же m < k, то a0 = c0, a1 = c1, am¡1 = cm¡1, am = bm < cm, и снова x < z.

Если числа x; y; z отрицательны, то jxj > jyj, jyj > jzj, следовательно, по доказанному, jxj > jzj или x < z.

Если же x < 0, а z ¸ 0, то по определению x < z.

Следующая лемма характеризует плотность множества вещественных чисел.

Лемма 1.1 Между любыми двумя неравными вещественными числами можно указать вещественное число, как рациональное, так и иррациональное.

Доказательство.

1. Пусть сначала числа x и y неотрицательны,

x = a0; a1a2 : : : al : : : ; y = b0; b1b2 : : : bl : : : ;

и x < y. В силу последнего условия найдётся номер k такой, что a0 = b0, a1 = b1, . . . , ak¡1 = bk¡1, а ak < bk. Рассмотрим значащие цифры числа y, начиная с номера k + 1. Они не могут все быть равными нулю в силу договорённости о неприменении записи вещественных чисел с нулём в периоде. Поэтому найдётся номер m ¸ k + 1 такой, что bk+1 = 0, . . . , bm¡1 = 0, bm 6= 0.

Положим cm = bm ¡ 1, выберем совершенно произвольно (но не все нули подряд, начиная с некоторого места) цифры cm+1, cm+2, . . . и рассмотрим число

z = b0; b1b2 : : : bk0 : : : 0cmcm+1cm+2 : : : :

14	Оглавление

Так как ak < bk, а все предыдущие цифры одинаковы, то x < z. Так как cm < bm, а все предыдущие цифры одинаковы, то z < y. Следовательно, z находится между x и y. Поскольку, начиная с номера m + 1, цифры числа z выбираются совершенно произвольно, то число z можно выбрать как рациональным, так и иррациональным.

2. Если x < y · 0, то jyj > jxj ¸ 0 и по первой части найдётся z

(рациональное или иррациональное) такое, что jyj > z > jxj. Но тогда

x< ¡z < y.

3.Если x < 0, а y > 0, то между ними находится число 0. Если нужно выбрать иррациональное число, то его можно выбрать между нулём и y

по первой части доказательства, или между x и нулём по второй.

Следствие 1.1 Между любыми двумя неравными вещественными числами содержится бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел.

Доказательство. По лемме между неравными числами x и y можно указать как рациональное, так и иррациональное число z. В свою очередь, между x и z и между z и y можно найти как рациональное, так и иррациональное число, и так далее до бесконечности.

Геометрическая интерпретация вещественного числа

Возьмём горизонтальную прямую, укажем на ней стрелкой положительное направление (обычно вправо), выберем на прямой точку O и

назовём её начальной точкой (точкой начала отсчёта), выберем, наконец, точку A правее точки O и будем считать длину отрезка OA равной единице. Получившуюся фигуру называют числовой (или вещественной) осью.

Выберем на числовой оси справа от точки O точку M и проделаем следующую процедуру. Будем откладывать отрезок единичной длины (то есть равный по длине отрезку OA) на отрезке OM, начиная от точки

O и совмещая всякий раз начало следующего отрезка с концом преды-

1. Введение в анализ

15

дущего, до тех пор, пока он целиком помещается на отрезке OM. Пусть отрезок единичной длины поместился целиком в отрезке OM

a0 раз. Далее берём одну десятую часть (одну вторую, если пользуемся двоичной системой счисления) отрезка единичной длины и таким же образом откладываем её в оставшейся части отрезка OM. Пусть она отложилась целиком a1 раз. Продолжим описанный процесс далее. Пусть одна сотая часть первоначального отрезка отложилась в отрезке OM a2

раз, одна тысячная часть a3 раз и так далее.

В результате описанного процесса получается набор чисел a0, a1, a2, a3, . . . , где a0 неотрицательное целое число, а остальные целые числа в пределах от 0 до 9. Этот набор чисел может получиться конечным, если на каком-то шаге соответствующий отрезок уложится без остатка в оставшейся части отрезка OM, или бесконечным, если ни на каком шаге этого не случится. Образуем вещественное число x = a0; a1a2a3 : : :, являющееся конечно десятичной дробью в первом случае и бесконечной десятичной дробью во втором. Число x назовём координатой точки M и

тот факт, что точка M имеет координату x, будем отмечать так: M(x). Если точка M расположена слева от точки O, то поступаем точно так же, только координате x точки M присваиваем знак "¡". Точке O,

естественно, отвечает координата x = 0, точке A координата x = 1. Наоборот, пусть дано вещественное число x = §a0; a1a2a3 : : : Если это

число положительно (отрицательно), то вправо (влево) от нуля откладываем a0 раз отрезок единичной длины, затем a1 раз одну десятую этого отрезка, a2 раз одну сотую и так далее. В результате получим точку M, для которой число x является её координатой.

Итак, установлено взаимно однозначное соответствие между вещественными числами и точками числовой оси: каждому вещественному числу соответствует точка на числовой оси, каждой точке на числовой оси соответствует вещественное число, являющееся её координатой. Это соответствие позволяет нам в дальнейшем не делать различия между вещественными числами и их геометрической интерпретацией точками.

16	Оглавление

Например, фразу "дана точка x" мы будем понимать одновременно и как "дано вещественное число x", и как "дана точка M с координатой x".

В заключение выясним геометрический смысл модуля вещественного числа. Пусть дано вещественное число (точка) x =6 0. Если оно положительно, то точка x находится справа от точки O на расстоянии x = jxj

от неё, а если x отрицательно, то точка x находится слева от точки O на расстоянии ¡x = jxj от неё. Таким образом, jxj можно интерпретировать как расстояние от начала координат до точки x.

Использование геометрического смысла модуля позволяет проще решать некоторые неравенства. Например, если дано неравенство jxj < M, то оно означает, что x находится ближе к началу координат, чем M, то есть располагается между точкой M и симметричной ей относительно нуля точкой ¡M. Таким образом,

jxj < M , ¡M < x < M :

(1.1)

Ограниченные числовые множества

Пусть X = fxg некоторое множество вещественных чисел, в дальнейшем будем использовать термин "числовое множество".

Определение 1.12 Числовое множество X назовём ограниченным сверху, если существует такое число (постоянная) M, что для каждого элемента x множества X выполняется неравенство x · M. Число M

называется при этом верхней гранью множества X.

Определение 1.13 Числовое множество X назовём ограниченным снизу, если существует такое число (постоянная) m, что для каждого элемента x множества X выполняется неравенство x ¸ m. Число m

называется при этом нижней гранью множества X.

1. Введение в анализ

17

Определение 1.14 Числовое множество X назовём ограниченным, если оно ограничено и снизу, и сверху, то есть если

9m; M 2 R (m · M) : 8x 2 X ) m · x · M:

(1.2)

Лемма 1.2 Числовое множество X ограничено тогда и только тогда, когда

9M0 2 R : 8x 2 X ) jxj · M0 :

(1.3)

Доказательство.

Если множество X ограничено, то выполняется условие (1.2). Положим M0 = maxfjmj; jMjg (наибольшее из чисел jmj, jMj). Выпишем очевидную цепочку неравенств

¡M0 · ¡jmj · m · x · M · jMj · M0 ;

из которой следует, что jxj · M0 для любого x из множества X. Наоборот, если выполняется условие (1.3), то (см. (1.1)) ¡M0 · x ·

M0. Положим ¡M0 = m, M0 = M. Тогда m · x · M для любого x из множества X.

Если множество X ограничено сверху, то оно имеет бесконечно много верхних граней, потому что, если M верхняя грань X, то и любое число M0 > M тоже является верхней гранью X. Аналогично, если множество X ограничено снизу, то оно имеет бесконечно много нижних граней. Естественно, возникает вопрос: всегда ли существует наименьшая среди всех верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшая среди всех нижних граней ограниченного снизу множества? Утвердительный ответ на этот вопрос дадим несколько позднее, а пока сформулируем несколько определений.

Определение 1.15 Пусть X ограниченное сверху числовое множество. Наибольший из элементов множества X назовём максимальным элементом множества X и будем обозначать одним из символов: xmax

или max X.

18	Оглавление

Определение 1.16 Пусть X ограниченное снизу числовое множество. Наименьший из элементов множества X назовём минимальным элементом множества X и будем обозначать одним из символов: xmin

или min X.

Отметим, что не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое мно-

жество содержит максимальный (минимальный) элемент.

Примеры.

1. Множество R¡ всех отрицательных чисел ограничено сверху числом 0, но не имеет наибольшего элемента, так как по лемме 1.1 для любого x < 0 найдётся x0: x < x0 < 0.

1	: n 2 N¾ ограничено снизу числом 0, но не
2. Множество A = ½n

содержит минимального элемента, так как для любого n 2 N имеем:

0 <		1		<	1	.
	n + 1
					n

В обоих рассмотренных примерах причиной отсутствия максимального (минимального) элемента было то, что множества содержали бесконечное число элементов. Конечные же множества содержат, очевидно, максимальный и минимальный элементы, которые могут быть найдены методом перебора.

Пусть X конечное множество, X = fx1; x2; : : : ; xng (n 2 N). Сравниваем x1 с остальными элементами множества X. Если x1 > xk (k = 2; 3; : : : ; n), то x1 = xmax. Если же нет, то найдётся l (1 < l · n) такое, что xl > x1. Далее сравниваем оставшиеся элементы xl+1; : : : ; xn с элементом xl. После проведения (n ¡ 1)-го сравнения получим xmax. Аналогично может быть найден элемент xmin.

Определение 1.17 Пусть множество X ограничено сверху. Наименьшую из всех его верхних граней назовём точной верхней гранью и обозначим символом sup X (супремум).

Определение 1.18 Пусть множество X ограничено снизу. Наибольшую из всех его нижних граней назовём точной нижней гранью и обозначим символом inf X (инфимум).

> M0.

1. Введение в анализ

19

Лемма 1.3 Число M является точной верхней гранью ограниченного сверху множества тогда и только тогда, когда оно обладает следующими свойствами:

1)x · M 8x 2 X;

2)8M0 < M 9x 2 X : x > M0:

Число m является точной нижней гранью ограниченного снизу множества тогда и только тогда, когда оно обладает следующими свойствами:

1)x ¸ m 8x 2 X;

2)8m0 > m 9x 2 X : x < m0:

Доказательство. Первое свойство точной верхней грани следует из того, что точная верхняя грань есть верхняя грань. Второе свойство вытекает из того, что никакое меньшее число верхней гранью множества

X не является, поэтому неравенство x · M0 не может выполняться для всех элементов из множества.

Рассуждения, устанавливающие справедливость второй части леммы, аналогичны.

Как было отмечено выше, не всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет максимальный (минимальный) элемент, поэтому существование точных верхней и нижней граней нуждается в доказательстве. Сделаем это чуть позже, а пока отметим следующее почти очевидное обстоятельство.

Лемма 1.4 Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент, то у него существует точная верхняя (нижняя) грань и справедливо равенство

sup X = max X (inf X = min X):

Доказательство. Пусть существует max X = xmax. Тогда: а) для любого x 2 X справедливо неравенство x · xmax и б) для любого M0 < xmax элемент xmax (принадлежащий X!) удовлетворяет неравенству xmax