Matan_1_semestr_Lektsii

40

Оглавление

Примеры

y =

3

3x ¡ 2

1. Функция

r

элементарная, так как представима в

4x + 1

виде суперпозиции элементарной функции z =

3x ¡ 2

и основной эле-

ментарной функции y = p3

.

4x + 1

z

cos 2x ¡ 7

y = (x2 +3) sin3

2. Функция

Ã

! элементарная, так как

log2(x + 4)

представлена через основные

элементарные функции с помощью конеч-

p

ного числа арифметических операций и суперпозиций.

Функции, не выражаемые через основные элементарные описанным в определении 1.33 способом, называют неэлементарными. Неэлементарные функции существуют. Их примеры будут приведены позднее.

Задачи

1.Сформулировать отрицания утверждений: а) множество X ½ R ограничено сверху; б) множество X ½ R ограничено снизу;

в) множество X ½ R ограничено.

2.Для любых a; b > 1 найдется n 2 N такое, что an¡1 < b, an ¸ b. Доказать.

3. Пусть X ½ R, Y = f¡x : x 2 Xg. Доказать, что inf Y = ¡ sup X,

sup Y = ¡ inf X:

4.Пусть X ½ R; Y ½ R; Z = fx + y : x 2 X; y 2 Y g: Доказать равенства:

inf Z = inf X + inf Y; sup Z = sup X + sup Y:

5.Пусть R+ = fx 2 R : x > 0g; X ½ R+, Y ½ R+; Z = fxy : x 2 X; y 2 Y g. Доказать равенства:

sup Z = sup X ¢ sup Y; inf Z = inf X ¢ inf Y:

1. Введение в анализ							41
		1
6.	Пусть b > a > 0, X ½ [a; b]; Y = ½				: x 2 X¾. Доказать равенства:
				x
	sup Y =	1	; inf Y =			1	:
						sup X
		inf X
7.	Пусть X ½ R; Y ½ R и Z = fx ¡ y : x 2 X; y 2 Y g: Доказать, что
	sup Z = sup X ¡ inf Y:

8.Пусть X и Y непустые множества вещественных чисел такие, что: а) 8x 2 X и 8y 2 Y выполняется неравенство x · y;

б) 8" > 0 9 x" 2 X, y" 2 Y такие, что y" ¡ x" < ". Показать, что sup X = inf Y .

9.Найти inf M и sup M; если:

½	n + 1	2			2 N¾	½n + 1			3		2 N¾
a) M = 1 +	n	cos	n¼	: n		; b) M =	n ¡ 1	cos	2n¼	: n	:

10.Доказать, что множество X не содержит ни наименьшего, ни наибольшего элемента и найти inf X и sup X; если:

a)X = fx 2 Q : x2 < 7g;

b)X = nmn : 0 < m < n; m 2 N; n 2 No:

11.Пусть f; g : X ! R и f(x) ¸ g(x) (x 2 X). Доказать, что

supff(x) : x 2 Xg ¸ supfg(x) : x 2 Xg;

infff(x) : x 2 Xg ¸ inffg(x) : x 2 Xg:

12.Пусть f; g : X ! R; f(x) ¸ g(x) (x 2 X), и supff(x) : x 2 Xg = +1; inffg(x) : x 2 Xg 6= ¡1: Доказать, что supff(x) + g(x) : x 2

Xg = +1:

13.Пусть f; g : X ! R; f(x) ¸ g(x) (x 2 X), и infff(x) : x 2 Xg = ¡1; supfg(x) : x 2 Xg 6= +1: Доказать, что infff(x) + g(x) : x 2 Xg =

¡1:

42	Оглавление

14. Пусть функция f нечётная. Доказать, что infff(x)g = ¡ supff(x)g.

15. Существует ли функция f, являющаяся одновременно и чётной, и

нечётной?

16. Существует ли функция f, имеющая периодом любое положитель-

ное число T ?

17. Пусть f :

R ![¡1; 1] определено равенством f(x) = sin x. Найти:

a) f ³h¡6

; 3 i´; b) f

µµ¡4 ;

23 ¶¶; c) f¡1 µ2¶;

¼

¼

¼

¼

1

d) f¡1 Ã"¡ 23;

2

!!;

e) f¡1([¡1; 1]);

f) f¡1((¡1; 1)).

p

1

18.Пусть f : R+ ! R+ функция, ставящая в соответствие числу x его десятичное приближение с точностью " = 10¡6, то есть, если

x = a0; a1a2 : : : al : : :, то f(x) = a0; a1a2a3a4a5a6. Является ли функция f: а) инъекцией; б) сюръекцией?

Найти: a) f([1; 2)); b) f([2; 4]); c) f¡1(2; 71); d) f¡1([2; 3]).

19.Пусть f : X ! Y и A ½ X, B ½ X. Доказать, что:

a)f(A SB) = f(A) Sf(B); b) f(A TB) ½ f(A) Tf(B);

c)f(A n B) ½ f(A) n f(B).

20.Привести пример отображения f : X ! Y , для которого f(A TB) 6= f(A) Tf(B), A; B ½ X.

21.Пусть f : X ! Y и A ½ Y , B ½ Y . Доказать, что если A ½ B, то f¡1(A) ½ f¡1(B).

22.Пусть f : X ! Y и A ½ X, B ½ Y . Доказать, что:

a)A ½ f¡1(f(A)); b) f(f¡1(B)) = B.

23.Пусть f : X ! Y и A ½ Y , B ½ Y . Доказать,что:

a)f¡1(A SB) = f¡1(A) Sf¡1(B);

b)f¡1(A TB) = f¡1(A) Tf¡1(B);

c)f¡1(A n B) = f¡1(A) n f¡1(B).

1. Введение в анализ										43
24. Какая из указанных функций f : [0;							1] ! [0; 3]:
a) f(x) = 3 sin	¼x	;	b) f(x) = tg		¼x	;	c) f(x) = 3x;
2			¶	4			3	µx ¡ 4¶		; f) f(x) = j3x¡1j
d) f(x) = 12 µx ¡ 2				; e) f(x) = 3¡
		1		2			16	1		2

инъективна, сюръективна или биективна?

44	Оглавление

2Предел числовой последовательности

Операция предельного перехода основная операция математического анализа. Посредством предельного перехода определяются, например, дифференцирование, интегрирование, суммирование рядов. Мы начнём изучение этой операции с определения предела числовой последовательности и изучения его свойств.

2.1Числовые последовательности

Спонятием числовой последовательности читатель уже сталкивался в курсе элементарной математики. Арифметическая и геометрическая

прогрессии, десятичные приближения 1; 1; 4; 1; 41; : : : иррационального числа p2 являются примерами числовых последовательностей.

Дадим строгое определение последовательности и числовой последовательности.

Определение 2.1 Пусть X произвольное множество. Назовём последовательностью любое отображение f : N ! X. Если же X множество вещественных (R) или комплексных (C) чисел, или их подмножество, то последовательность будем называть числовой последовательностью.

В дальнейшем будем записывать значение x = f(n) в виде xn, а саму последовательность в виде (x1; x2; x3; : : : ; xn; : : :), или (xn)1n=1, или

(xn)n2N, или просто (xn). При этом xn будем называть n-м членом или просто членом последовательности.

Подчеркнём ещё раз, что последовательностью называется не произвольный ряд занумерованных чисел x1; x2; x3; : : : : Слова "последовательность (xn)" подразумевают, что известен закон, по которому для каждого n 2 N определяется член последовательности xn.

В этом разделе мы будем рассматривать только последовательности вещественных чисел, поэтому в дальнейшем, говоря "последователь-

2. Предел числовой последовательности

45

ность", будем всегда подразумевать "вещественная числовая последовательность", хотя многое из сказанного будет справедливо и для комплексных числовых последовательностей, и для других последовательностей, которые будут рассматриваться позже. Однако, если какое-либо утверждение не переносится на последовательности более общего вида, то мы будем стараться отмечать это обстоятельство.

Приведём примеры числовых последовательностей.
1.	µn	¶	=	µ1 ; 2 ;	3 ; : : : ;	n ; : : :¶;
	1			1	1	1

2.(1) = (1; 1; 1; : : : ; 1; : : :);

3.((¡1)n¡1) = (1; ¡1; 1; : : : ; (¡1)n¡1; : : :);

4.(an¡1) = (1; a; a2; : : : ; an¡1; : : :);

5.(sin n) = (sin 1; sin 2; sin 3; : : : ; sin n; : : :).

Определение 2.2 Последовательность (xn) будем называть стационарной, если существует такой номер n0, что xn = xn0 при n ¸ n0.

Таким образом, после переобозначения xn0 = a, стационарная последовательность имеет следующий вид: (x1; x2; x3; : : : ; xn0¡1; a; a; : : : ; a; : : :).

Из приведённых выше примеров стационарной является последовательность из примера 2.

Определение 2.3 Последовательность (xn) будем называть: а) ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех n 2 N

выполняется неравенство xn · M; б) ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех n 2 N выполняется неравенство xn ¸ m; с) ограниченной, если она ограничена как сверху так и снизу.

Последовательности из приведённых выше примеров 1, 2, 3, 5 ограничены. Последовательность из примера 4 ограничена, если jaj · 1, неограничена сверху, если a > 1 и неограничена, если a < ¡1.

Для ограниченных последовательностей справедлива лемма, аналогичная по содержанию лемме 1.2 для множеств.

yn n2N

46 Оглавление

Определение 2.4 Пусть даны последовательности (xn)n2N и (yn)n2N. Определим сумму, разность, произведение и частное двух последовательностей и произведение последовательности на постоянную (число) следующим образом:

				def
a) (xn)n2N + (yn)n2N = (xn + yn)n2N;
				def
b) (xn)n2N ¡ (yn)n2N = (xn ¡ yn)n2N;
				def
c) (xn)n2N ¢ (yn)n2N = (xn ¢ yn)n2N;
d) (yn)n2N		=	µ	¶	:
	(xn)n2N	def		xn

def

e) c(xn)n2N = (cxn)n2N:

В случае частного, естественно, следует требовать, чтобы выполнялось условие yn =6 0 (n 2 N).

А теперь сформулируем основополагающее для всего курса определение предела последовательности.

Определение 2.5 Пусть дана числовая последовательность (xn)n2N. Число a назовём пределом последовательности (xn), если для любого положительного числа " существует такой номер n0, что для всех номеров n ¸ n0 выполняется условие

jxn ¡ aj < ":

(2.19)

Если существует предел a последовательности (xn), то будем гово-

рить, что последовательность (xn) сходится к a, и писать lim xn = a или

n!1

xn ¡¡¡! a. Если же предел последовательности (xn) не существует, то

n!1

будем говорить, что она расходится.

Замечание 2.1 Как следует из определения предела последовательности, номер n0, начиная с которого неравенство 2.19 заведомо выполняется, зависит от ". Когда бывает необходимо особо подчеркнуть это обстоятельство, пишут n0 = n0("). Вообще говоря, если " стремится к нулю, то n0 возрастает до бесконечности.

2. Предел числовой последовательности

47

Замечание 2.2 Так как неравенство jx ¡ aj < " задаёт "-окрестность точки a, то определение предела последовательности имеет следующий геометрический смысл: все члены сходящейся к a последовательности, начиная с номера n0("), располагаются в U"(a).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1 Стационарная последовательность

(x1; x2; x3; : : : ; xn¡1; a; a; : : : ; a; : : :)

сходится к a, потому что для любого " > 0 при n ¸ n0 имеем:

jxn ¡ aj = ja ¡ aj = 0 < ":

Пример 2.2 Рассмотрим последовательность µ

1

¶n N и покажем,

n

что lim

1

= 0.

2

n!1 n

1

1

Выберем любое " > 0 и решим неравенство

< ". Получим n >

.

"

n

Положим n0 = ·

1

¸ + 1. Тогда, если n ¸ n0, то n >

1

, поэтому

"

"

¯n

¡ 0¯

= n < ":

¯

1

¯

1

¯

¯

¯

¯

1

По определению предела это означает, что lim

= 0.

n!1 n

Пример 2.3 Последовательность (1 + (¡1)n)n2N расходится.

Решение. Заметим, что члены последовательности попеременно принимают значения 0 и 2. Поэтому, если a любое вещественное число, а

" < 1, то не найдётся такого n0, начиная с которого все xn принадлежат

U"(a). Действительно, если бы такой номер существовал, то при n ¸ n0

и xn, и xn+1 принадлежали бы U"(a), поэтому расстояние между ними должно было бы быть меньше 2" < 2 (2" длина окрестности). Но это невозможно, так как всегда jxn ¡ xn+1j = 2.

Номер n0, начиная с которого неравенство 2.19 начинает выполняться, далеко не всегда удаётся найти точно, да это, по определению предела

48	Оглавление

последовательности, и не требуется. Обычно с помощью оценок находят

такое значение n0, что при n ¸ n0 неравенство 2.19 заведомо выполняется, а что будет при n < n0, согласно определению предела последова-

	тельности, знать не требуется.
	Пример 2.4 Доказать, что lim	2n2 + 3n + 6		=	2		.
		3n2 ¡ 2n + 1			3
	n!1

Решение. Выберем произвольно " > 0, напишем неравенство

jxn ¡ aj =	¯	3n2	¡	2n + 1 ¡		3	¯	< "
	¯	2n2					¯
	¯						¯
	¯						¯

и укажем номер n0, начиная с которого оно заведомо выполняется. Для

начала левую часть неравенства упростим.

2n + 1) :

¯

3n2

¡

2n + 1 ¡ 3

¯

= ¯

3(3n2

¡

2n + 1)¯ =

3(3n2

¡

¯

2n2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2

2

Как нетрудно¯

проверить,¯

13n¯ + 16 < 18n при¯n ¸ 4, а 3n ¡ 2n + 1 > 2n

при n ¸ 2. Поэтому

¯

¡

¯

2n2

¡

¯

¯

¯

3n2

2n + 1

¡

3

¯ =

3(3n2

2n + 1)

<

6n2

=

n

:

при n ¸ 4. ¯

¯

Используя полученную оценку, находим:

¯

3n2

¡

2n + 1 ¡

3

¯

< n < "

¯

2n2

¯

¯

¯

1

¯

¯

3

при n >

. Остаётся положить n0 = max ½4; ·

¸ + 1¾ и убедиться, что

"

"

при n ¸ n0 неравенство

¯

¡

¯

2n2

¯

+ 3n + 6

2

¯

¯

3n2

2n + 1

¡

3

¯ < "

¯

¯

выполняется.

p

Пример 2.5 Доказать, что lim n a = 1 (a > 0).

n!1

Решение. Для доказательства нам потребуется неравенство Бернулли

(1 + x)n ¸ 1 + nx;

(2.20)

2. Предел числовой последовательности

49

справедливое при n 2 N и x > ¡1.

Докажем его методом математической индукции.

1)При n = 1 неравенство Бернулли принимает вид 1 + nx ¸ 1 + nx, следовательно, выполняется.

2)Пусть для некоторого n 2 N неравенство Бернулли справедливо. Покажем, что оно выполняется и для следующего значения n, то-есть, если (1 + x)n ¸ 1 + nx, то и (1 + x)n+1 ¸ 1 + (n + 1)x.

Имеем:

(1+x)n+1 = (1+x)(1+x)n ¸ (1+x)(1+nx) = 1+(n+1)x+nx2 ¸ 1+(n+1)x :

и неравенство Бернулли доказано.

Приступим к решению примера. Рассмотрим два случая: a > 1 и

a < 1 (третий случай: a = 1 – тривиален).

p

Пусть a > 1. Тогда, очевидно, и n a > 1, поэтому его можно запи-

p

сать в виде n a = 1 + ®n, где ®n > 0. Возведя обе части в степень n и

воспользовавшись неравенством Бернулли, получим:

a = (1 + ®n)n ¸ 1 + n®n ;

или

®

n ·

a ¡ 1

. Выберем произвольно и зафиксируем

" > 0

и положим

n

n

=

·

a ¡ 1

¸

+ 1

. Тогда, если

n

n

0, то

n > a ¡ 1

, поэтому

0

"

¸

n ·

"

¯

pa

¡ ¯

¡

1 = ®

n

< " ;

1 = pa

a

¡

1

¯

n

¯

n

и в случае a > 1 требуемое утверждение установлено.

Пусть теперь 0 < a < 1. Положим b =

1

: Тогда b > 1, поэтому,

a

выбрав по " > 0 номер n0 так же, как и выше, при n ¸ n0 будем иметь:

p

n

b ¡ 1 < ". Но тогда при n ¸ n0

p

¯

¡ ¯

p

1

n

b 1

n

n

pa

¡

pa = 1

¡ pb

=

pb

< b

¡

1 < " ;

1 = 1

¡

¯

¯

n

n

n

что и требовалось доказать.

Начнём изучение свойств сходящихся последовательностей.