Matan_1_semestr_Lektsii

30	Оглавление
±	(a) правосторонняя проколотая окрестность точки a интер-
U+
±
вал (a; a + ±).
±
U¡	(a) левосторонняя проколотая окрестность точки a интервал
±
(a ¡ ±;	a).

U±(1) окрестность бесконечно удалённой точки.

[

U±(1) = (¡1; ¡±) (±; +1):

U±+(1) правосторонняя окрестность бесконечно удалённой точки.

U±+(1) = (±; +1):

U±¡(1) левосторонняя окрестность бесконечно удалённой точки.

U±¡(1) = (¡1; ¡±):

Всюду выше предполагается, что ± > 0:

Иногда бывает удобно рассматривать множество вещественных чисел

R с присоединённой к нему бесконечно удалённой точкой. Это множество

.

обозначают символом R (a) и множество R с присоединёнными к нему символами +1 и ¡1. Это множество обозначают символом R.

1.4Функции

Ванализе слова "отображение", "оператор", "функция" являются словами-синонимами. Употребление в каждом конкретном случае того или иного из этих слов вызвано скорее традициями, привычкой, чем какими-либо иными соображениями.

Определение 1.22 Пусть даны множества X и Y . Отображением множества X во множество Y называют правило или закон, по которому каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y .

1. Введение в анализ

31

Отображения принято обозначать маленькими или большими латинскими или греческими буквами: f, F , ',. . . и фразу "дано отображение f

множества X во множество Y " символически записывают так: f : X ! Y

f

или X ¡! Y .

Множество X называют областью определения (задания) отображения f и обозначают символом D(f).

Элемент y, ставящийся в соответствие отображением f элементу x, записывается в виде y = f(x) и называется образом элемента x, а элемент x такой, что f(x) = y, называется прообразом элемента y и обозначается символом f¡1(y).

Пусть A ½ X некоторое множество. Множество

f(A) := ff(x) : x 2 Ag

(множество, составленное из всех образов элементов множества A) называют образом множества A при отображении f, в частности, множество f(X) называют областью изменения (множеством значений) отображения f и обозначают символом E(f).

Пусть множество B ½ Y . Множество

f¡1(B) := fx 2 X : f(x) 2 Bg

(множество тех элементов из X, образы которых содержатся в B) назовём прообразом множества B при отображении f.

Выделяют три типа отображений.

Определение 1.23 Отображение f : X ! Y назовём инъетивным (инъекцией), если каждый элемент множества Y имеет не более одного прообраза. Другими словами, если из того, что x1 =6 x2 (x1; x2 2 X) следует, что f(x1) =6 f(x2).

Примеры

1. Отображение f : h0; ¼2 i ! [¡1; 1], определяемое правилом f(x) = sin x инъективно, так как каждый неотрицательный y из [¡1; 1] имеет в

32											Оглавление
¼			x		arcsin y					y
h0;		i только один прообраз		=					, а отрицательные		прообразов
	2					¼
не имеют, поскольку sin x ¸ 0 на h0;								i .
							2
2. Отображение f : [¡1;			1] ! [0;				1], определяемое правилом f(x) =

x2, не является инъекцией, так как каждый y =6 0 имеет два прообраза x = py и x = ¡py.

Определение 1.24 Отображение f : X ! Y назовём сюръетивным (сюръекцией), если каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз. Другими словами, если f(X) = Y .

Примеры

1. Отображение f : [¡1; 1] ! [0; 1], определяемое правилом f(x) = x2, сюръекция. Элемент y = 0 имеет один прообраз x = 0. Остальные y 2 [0; 1] имеют по два прообраза x = §py.

2. Отображение f : R ! [¡1; 1], определяемое правилом f(x) = sin x, сюръекция. Каждый y 2 [¡1; 1] имеет бесконечное множество прообразов x = (¡1)n arcsin y + ¼n, n 2 N.

Определение 1.25 Отображение f : X ! Y назовём биективным (биекцией), если оно является одновременно и инъективным и сюръективным. Другими словами, если каждый элемент y множества Y

имеет прообраз и притом только один.

Примеры

1. Отображение f : [¡1; 1] ! [¡1; 1], определяемое правилом f(x) =

x3, биекция, так как каждому y 2 [¡1; 1] отвечает единственный

p

прообраз x = 3 y 2 [¡1; 1].

2. Отображение f : [¡1; 1] ! [0; 1], определяемое правилом f(x) = x2, не является биекцией, так как каждому y 2 [0; 1], кроме y = 0, отвечают два прообраза x = §py 2 [¡1; 1].

Понятия инъекции, сюръекции и биекции тесно связаны с разреши-

мостью уравнения
f(x) = y:	(1.10)

1. Введение в анализ

33

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1.6 Если отображение f : X ! Y является сюръекцией, то уравнение (1.10) имеет решение при любой правой части y 2 Y . Если отображение f : X ! Y является инъекцией, то решение уравнения (1.10) в случае существования является единственным. Если же отображение f является биекцией, то уравнение (1.10) имеет решение при любой правой части из Y и это решение единственно.

Доказательство. Первая часть утверждения следует из того, что если f сюръекция, то каждый элемент y множества Y имеет хотя бы один прообраз x = f¡1(y). Вторая часть утверждения справедлива потому, что если f инъекция, то из x1 =6 x2 следует, что f(x1) =6 f(x2), поэтому двух различных решений при одной и той же правой части y уравнение (1.10) иметь не может. Третья часть утверждения после доказанного очевидна.

Определение 1.26 Пусть дано отображение f : X ! Y . Отображение f¡1 : Y ! X назовём обратным к отображению f, если оно каждому элементу y множества Y ставит в соответствие тот элемент x множества X, который отображением f переводится в y.

Непосредственно из определения обратного отображения следует выполнение двух тождеств:

f¡1(f(x)) ´ x; x 2 X;	(1.11)
f(f¡1(y)) ´ y; y 2 Y:	(1.12)

Требование выполнения этих двух тождеств можно принять за определение обратного отображения.

Очевидно также, что если отображение f¡1 является обратным к отображению f, то отображение f является обратным к отображению

f¡1.

34	Оглавление

Лемма 1.7 Обратное к f : X ! Y отображение определено в том и только том случае, если отображение f биекция.

Доказательство. Если f биекция, то по лемме 1.6 уравнение (1.10) имеет и притом единственное решение для любой правой части y из множества Y . Поставив каждому y 2 Y в соответствие решение уравнения (1.10), получим отображение g : Y ! X, удовлетворяющее определению 1.26. Следовательно, g = f¡1.

Наоборот, если отображение f¡1, обратное к f, определено, то справедливы тождества (1.11) и (1.12). По второму из них x = f¡1(y) удовлетворяет уравнению (1.10), следовательно, уравнение (1.10) имеет решение при любой правой части y 2 Y . Если x какое-либо решение уравнения (1.10), то по первому из тождеств x = f¡1(f(x)) = f¡1(y), то есть решение единственно. Так как уравнение (1.10) имеет единственное решение при любой правой части y из множества Y , то по лемме 1.6 отображение f биекция.

Определение 1.27 Пусть даны два отображения: f : X ! Y и g :

Y ! Z. Рассмотрим отображение F : X ! Z, определяемое следующим образом: F (x) = g(f(x)), x 2 X. Отображение F называют композицией или суперпозицией отображений f и g или сложной функцией и пишут F = g ± f.

Примеры

1. Пусть f :

R ! R, f(x) = x2; g : R ! [¡1;

1], g(y) = sin y. Тогда

суперпозиция этих отображений F = g ± f :

R ! [¡1;

1] по правилу

F (x) = sin x2.

¼

2. Пусть f :

h0;

2¼´ ! R +, f(x) = tg x;

g :

R

+

! R

+

, g(y) = p

.

y

+

Тогда F = g ± f : h0;

´ ! R , F (x) = p

.

tg x

2

Как уже отмечалось выше, слова "отображение", "функция", "оператор" являются словами-синонимами. В случае, когда X и Y множества

1. Введение в анализ

35

вещественных чисел, употребляются термины "числовая функция", "вещественнозначная функция", "функция действительного переменного" или просто "функция", если из контекста ясно, что области определения и изменения множества вещественных чисел. Такие функции задаются главным образом одним из следующих трёх способов: 1) аналитический; 2) графический; 3) табличный.

1) Аналитический способ задания функции это способ задания

функции с помощью формулы, например, y = x ¡ px, y = sin2 3x. При x2 ¡ 1

этом, если область определения не указывается, то имеется в виду "естественная область определения" множество всех тех значений x, при которых выражение, задающее функцию, определено. В первом приме-

ре D(y) = [0; 1)			(1; +1), во втором D(y) = R. Отметим, что функ-
ция может	задаваться различными формулами в разных частях области
		S

определения. Приведём несколько примеров.

а) Функция y = jxj (см. определение 1.11) задаётся на R следующим

образом:							8 ¡x;
			y = x		=				x < 0;		(1.13)
				j j			<	x;	x ¸ 0:
б) Функция	y =	sgn	x	(знак		числа x) задаётся на				R	следующим обра-
							:
зом:							>
								¡1;	x < 0;
							8
							>
							<
		y = sgn x = >						0;	x = 0;		(1.14)
							>
							>	1;	x > 0:
							>
в) Функция Дирихле y = D(x):определяется на [0; 1] ([a; b], R) сле-
дующим образом:			y = D(x) = 8
								1;	x 2 Q;		(1.15)
							<	0;	x Q:
									62
Эти функции в дальнейшем							будут постоянно использоваться в при-
							:

мерах и контрпримерах.

2) Графический способ задания функции состоит в следующем. На плоскости xOy (в декартовой прямоугольной системе координат) для

36	Оглавление

каждого x 2 D(f) отмечаются точки (x; f(x)). Получившаяся линия (для "хороших" функций) называется графиком функции. Например, для функции y = x2 графиком служит парабола, для функции y = sin x

синусоида.

Вообще графиком отображения f : X ! Y называют множество точек f(x; f(x)) : x 2 Xg в декартовом произведении X £ Y .

3) Табличный способ задания функции представляет из себя таблицу из двух строк (или двух колонок), в первой из которых перечисляются значения аргумента x1; x2; : : : ; а во второй отвечающие им значения функции y1; y2; : : : :

Так как задача анализа изучение различных операций, производимых над функциями, то главным является аналитический способ задания, а графический и табличный играют вспомогательную роль.

Из совокупности всех функций выделяют классы функций, обладающих каким-либо свойством.

Определение 1.28 Функцию f называют чётной, если: 1) её область определения D(f) симметрична относительно нуля, то есть D(f) вместе с каждым x содержит также и ¡x, и 2) для каждого x 2 D(f)

справедливо равенство f(¡x) = f(x).

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как вместе с каждой точкой (x; f(x)) графику принадлежит также и точка

(¡x; f(x)).

Определение 1.29 Функцию f называют нечётной, если: 1) её область определения D(f) симметрична относительно нуля и 2) для каждого x 2 D(f) справедливо равенство f(¡x) = ¡f(x).

График чётной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с каждой точкой (x; f(x)) графику принадлежит также и точка (¡x; ¡f(x)).

1. Введение в анализ

37

Определение 1.30 Функцию f называют периодической с периодом T

(T > 0), если: 1) её область определения D(f) вместе с каждым x

содержит также x+T и x¡T и 2) для каждого x 2 D(f) выполняется равенство f(x + T ) = f(x).

Очевидно, что если T период функции f, то периодами являются также числа 2T , 3T , . . . , то есть у каждой периодической функции периодов бесконечно много. Поэтому, когда говорят функция имеет период

T , то имеют в виду наименьший положительный период, то есть такое число T > 0, что ни одно меньшее положительное число периодом этой функции не является.

Определение 1.31 Функцию f называют ограниченной на множестве

X (X ½ D(f)), если множество f(X) ограничено. Другими словами, функция f ограничена на множестве X, если существует положительная постоянная M такая, что

jf(x)j · M 8x 2 X:

Арифметические операции над функциями определяются следующим образом. Пусть функции f; g : X ! R (определены на одном и том же множестве!).

Определение 1.32 1) Суммой (разностью) f § g функций f и g называют функцию, определённую на множестве X правилом

(f § g)(x) = f(x) § g(x):

2) Произведением функций f и g называют функцию fg, определённую на множестве X правилом

(fg)(x) = f(x)g(x):
				f
3) Если g(x) 6= 0 (x 2 X), то частным							функций f и g называют
					g
функцию, определённую на множестве X правилом
	f	f(x)
µ		¶(x) =		:
	g		g(x)

38	Оглавление

Таким образом, арифметические операции над функциями определяются поточечно (в каждой точке x 2 X).

Аналитический способ задания функции с помощью формулы y = f(x) называют явным. Он не является единственным. Существуют и другие способы аналитического задания функции: неявный, параметрический, в полярной системе координат.

Пусть X, Y числовые множества и F : X £ Y ! R. Рассмотрим уравнение

F (x; y) = 0 :

(1.16)

Если для каждого x из некоторого множества E ½ X решение уравнения (1.16) существует и единственно, то, поставив каждому x 2 E в

соответствие решение y уравнения (1.16), получим функцию f : E ! Y , называемую неявной функцией, определяемой уравнением (1.16).

Пусть на множестве T ½ R заданы две функции: ' : T ! R и

Ã: T ! R. Если ' биективно отображает T на '(T ), то определена обратная функция '¡1 : '(T ) ! T , а вместе с ней и функция f =

ñ'¡1 : '(T ) ! R. Определённую таким образом функцию f называют

функцией, заданной параметрически, и записывают в виде
	8 x = '(t);	t	2	T;	(1.17)
	< y = Ã(t);
или в виде	:
	x = '(t); y = Ã(t);		t 2 T:		(1.18)

Аргумент t в этом случае называют параметром. Необходимость в параметрическом задании функции возникает, например, при описании траектории точки, движущейся по плоскости, в случае, если её положение на плоскости (координаты) определяется временем.

Кроме декартовой прямоугольной системы координат на плоскости рассматривают и другие системы координат. Самой распространённой

1. Введение в анализ

39

из них является полярная. Полярная система координат вводится следующим образом. На плоскости выбирается точка O, называемая полюсом. Из точки O проводится луч (обычно горизонтально и вправо), называемый полярным лучом. На нём выбирается масштаб (указывается отрезок

OA, длина которого принимается за единицу). После этого положение любой точки M на плоскости определяется двумя числами: расстоянием r от точки O до точки M и углом ' от полярной оси до направления на точку M (угол отсчитывается как обычно, в радианах. Пара (r; ')

называется полярными координатами точки M и записывается это, как обычно, M(r; ').

Если нужно рассматривать одновременно и декартовы и полярные координаты, то обычно поступают следующим образом. Совмещают начала декартовой и полярной систем координат, совмещают положительное направление оси Ox с полярным лучом и выбирают в обеих системах координат одинаковый масштаб. После этого, как нетрудно убедиться, декартовы и полярные координаты оказываются связанными следующими формулами:

x = r cos '; y = r sin ':

Если r и ' интерпретируются как полярные координаты и функция задана правилом r = f(') или ' = g(r), то говорят, что функция задана в полярной системе координат.

В заключение приведём классификацию явно заданных функций. Функции y = xr (r 2 Q), y = ax (a > 0; a 6= 1), y = loga x (a > 0; a 6=

1), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x называются основными (или простейшими) элементарными функциями.

Определение 1.33 Функцию f назовём элементарной, если её можно выразить через основные элементарные функции с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций.