Matan_1_semestr_Lektsii

190

Оглавление

отношение

f(x)

к нужному нам виду.

g(x)

f(x)

=

f(x) ¡ f(x1)

g(x) ¡ g(x1)

f(x)

=

g(x)

g(x) ¡ g(x1) ¢ f(x) ¡ f(x1) ¢ g(x)

=

f(x) ¡ f(x1)

1 ¡ g(x1)=g(x)

=

f(x) ¡ f(x1)

'(x);

g(x) ¡ g(x1) ¢ 1 ¡ f(x1)=f(x)

g(x) ¡ g(x1)

где '(x) = 1 ¡ g(x1)=g(x) . Применив теорему Коши, получим

1 ¡ f(x1)=f(x)

f(x)		=	f0(»)			'(x); » 2 (a; x):	(4.90)
g(x)				g0(»)

Так как при x ! a функции f(x) и g(x) стремятся к 1, то lim '(x) =

x!a

±

1, поэтому найдётся ±3 (0 < ±3 · ±2) такое, что при x 2U±3 (a) будут выполняться условия

j'(x) < 2; j'(x) ¡ 1j <	"	:	(4.91)
	2jbj

±

Возьмём теперь любой x 2U±3 (a), лежащий по одну сторону с x1 от точки a, вычтем b из обеих частей равенства (4.90) и оценим получивше-

еся выражение,

¯g(x) ¡ b¯						=
¯	f(x)				¯
¯					¯
¯	¯	f0	(»)		¯	¯
	¯					¯
·	¯	g0	(»)		¡ b¯
	¯					¯

используя (4.89), (4.91).

¯g00(»)		'(x) ¡ b¯	=	¯µg00(»)
¯	f (»)	¯		¯	f (»)
¯		¯		¯
¯		¯		¯

¢ j'(x)j + jbj ¢ j'(x) ¡ 1j <

¶¯

¯

¡b '(x) + b('(x) ¡ 1)¯¯ ·

4" ¢ 2 + jbj ¢ 2j"bj = 2" + 2" = ":

Так как x1 может находиться по обе стороны от a, то полученная

оценка показывает, что и левый, и правый пределы отношения f(x) в

g(x)

точке a существуют и равны b. Тем самым в случае конечного b (4.88)

установлено.

Рассмотрим теперь случай бесконечного b. Если

теореме 3.19 lim g0(x) = 0. Тогда, по доказанному, и

x!a f0(x)

по теореме 3.19 lim f(x) = 1.

x!a g(x)

lim f0(x)

x!a g0(x)

lim g(x)

x!a f(x)

=1, то по

=0 и снова

Замечание 4.7 Все замечания, сделанные по поводу первого правила

Лопиталя, распространяются и на второе правило Лопиталя.

4. Производная и её приложения

191

Замечание 4.8 Если после применения одного из правил Лопиталя от-

ношение f0(x) снова является неопределённостью вида 0 или 1 и если g0(x) 0 1

для него выполнены условия теорем 4.15 или 4.16, то к отношению

f0(x) снова можно применить правило Лопиталя, а тогда g0(x)

lim f(x)

x!a g(x)

= lim f0(x)

x!a g0(x)

= lim f00(x) :

x!a g00(x)

Таким образом, правило Лопиталя можно применять многократно.

	Пример 4.22 Вычислить lim	ln(cos x)		.
	x!¼2 ¡0	ln(cos 5x)
	Решение. Так как x подходит к	¼	слева, то и x, и 5x при достаточной
		2

близости к предельному значению находятся в первой четверти, поэто-

му и cos x, и cos 5x положительны, следовательно выражение				ln(cos x)
				ln(cos 5x)
	¼
определено. Поскольку и cos x, и cos 5x при стремлении x к			стремятся
	2

к нулю, а ln x при x ! ¡0 стремится к ¡1, то мы имеем неопределённость вида 11. В числителе и знаменателе стоят дифференцируемые функции. Применим, пока формально, второе правило Лопиталя, потом

проверим, что в проколотой окрестности

¼

производная знаменателя не

2

обращается в ноль.

1

(¡ sin x)

ln(cos x)

=

1

lim

sin x

lim

cos 5x

:

lim

=

lim

cos x

1

x! 2 ¡0

ln(cos 5x)

x! 2 ¡0

5 x! 2 ¡0

sin 5x x! 2 ¡0

cos x

¼

¼

(¡5 sin 5x)

¼

¼

cos 5x

Проверяем, что в проколотой окрестности ¼2 производная знаменателя не обращается в ноль, и проводим анализ полученного выражения. В пер-

вом пределе неопределённости нет, и он находится подстановкой предельного значения. Во втором пределе наблюдаем неопределённость вида 00, для раскрытия которой применим первое правило Лопиталя, проверив

предварительно выполнение всех условий его применимости.

	lim	ln(cos x)	=	1	¢	1 lim	¡5 sin 5x	= 1:
		ln(cos 5x)		5			¡ sin x
	x!¼2 ¡0					x!¼2 ¡0

192			Оглавление
		xp
Пример 4.23 Показать, что	lim		= 0, где a > 0; p > 0.
		ax
	x!+1 e

Решение. Числитель и знаменатель при x ! +1 стремятся к +1. Легко проверить, что все условия применимости второго правила Лопиталя выполнены, поэтому

lim	xp	=	lim	pxp¡1	=		p	lim	xp¡1	:
				aeax					eax
x!+1 eax			x!+1			a x!+1

Как видим, показатель степени числителя уменьшился на единицу. Если p ¡1 > 0, то снова наблюдается неопределённость 11, следовательно, снова можно применить второе правило Лопиталя. Пусть p = m + r, где m = [p], а 0 < r < 1. Тогда, применив второе правило Лопиталя ещё m раз, получим:

lim	xp	=	p(p ¡ 1)(p ¡ 2):::(p ¡ m)	lim	1	= 0 :
			am+1
x!+1 eax				x!+1 x1¡reax

(Если p целое, (p = [p] = m), то правило Лопиталя применяется на

	один раз меньше.)			xp
	Пример 4.24 Вычислить lim				, где p > 0.
			x!+1 ln x

Решение. Анализ показывает наличие неопределённости вида 11. Так как условия применимости второго правила Лопиталя выполнены, то

1

ln x

1

1

lim

= lim

x

=

lim

= 0:

xp

x!+1

x!+1 pxp¡1

p x!+1 xp

Примеры 4.23, 4.24 показывают, что при x ! +1 функция ln x возрастает медленнее функции xp с любым показателем p > 0, а функция xp при любом p > 0, в свою очередь, возрастает медленнее функции eax

с любым a > 0. С помощью символов Ландау эти факты записываются следующим образом:

ln x = o(xp) (x ! +1); p > 0:	(4.92)
xp = o (eax) (x ! +1); p; a > 0:	(4.93)

4. Производная и её приложения

193

Правило Лопиталя предназначено только для раскрытия неопределённостей вида 00 и 11. Другие виды неопределённостей: 0 ¢ 1, 1 ¡ 1,

11, 00, 10 зачастую с помощью алгебраических преобразований можно привести к неопределённостям 00 или 11, после чего становится возможным применение правила Лопиталя.

Пример 4.25 Вычислить lim (sin(¼x))ln x.

x!1¡0

Решение. Анализ показывает наличие неопределённости вида 00. Воспользуемся тождеством a = eln a (a > 0) и непрерывностью функции ex. Тогда

lim

(sin(¼x))ln x = lim

eln(sin(¼x))

¢

lim

ln x

ln(sin(¼x))

ln x = ex!1¡0

¢

x!1¡0

x!1¡0

¡

Вычислим отдельно предел показателя степени.

lim

ln x

ln(sin(¼x)) = (0

) =

lim

ln(sin(¼x))

=

1

¢

¢ 1

1´

x!1¡0

x!1¡0

(ln x)¡1

³

¼ cos(¼x)

ln2 x

=

lim

sin(¼x)

¼

lim

x cos(¼x)

lim

=

1

= ¡

¢ x

sin(¼x)

x

1

0

x

1

0

1 0

! ¡

¡

!

¡

! ¡

x ln2 x

ln2 x

2 ln x ¢

1

0

=

¡

¼

¢

(

1)

lim

=

=

¼

lim

x

= 0 :

sin(¼x)

¡

x!1¡0

µ0¶

x!1¡0 ¼ cos(¼x)

Следовательно,

lim

(sin(¼x))ln x = e0 = 1.

x!1¡0

Формула Тейлора

:

=

Формула Тейлора занимает одно из центральных мест в математиче-

ском анализе. Она имеет обширные применения как в вопросах теории,

так и при решении практических задач.

Теорема 4.17 (Формула Тейлора для многочлена)Пусть много-

член

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ::: + an¡1xn¡1 + anxn

194	Оглавление
представлен в виде

Pn(x) = c0 +c1(x¡a)+c2(x¡a)2 +: : :+cn¡1(x¡a)n¡1 +cn(x¡a)n: (4.94)

Тогда его коэффициенты вычисляются по формулам:
	P 00	(a)			Pn(n¡1)(a)
c0 = Pn(a); c1 = Pn0 (a); c2 =	n		; : : : ; cn¡1	=				;
	2!					(n ¡ 1)!
							Pn(n)(a)
						cn =			: (4.95)
								n!

Доказательство. Продифференцируем (4.94) последовательно n раз.

Pn0 (x) = c1+2c2(x¡a)+3c3(x¡a)2+: : :+(n¡1)cn¡1(x¡a)n¡2+ncn(x¡a)n¡1;

Pn00(x) = 2 ¢ 1c2 + 3 ¢ 2c3(x ¡ a) + : : : + (n ¡ 1) ¢ (n ¡ 2)cn¡1(x ¡ a)n¡3+ + n ¢ (n ¡ 1)cn(x ¡ a)n¡2;

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Pn(n¡1)(x) = (n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 2 ¢ 1cn¡1 + n(n ¡ 1) : : : 3 ¢ 2(x ¡ a); Pn(n)(x) = n(n ¡ 1) : : : 2 ¢ 1cn :

Полагая в (4.94) и в полученных из неё формулах x = a, найдём:

Pn(a) = c0; Pn0 (a) = c1; Pn00(a) = 2!c2; : : : ;

Pn(n¡1)(a) = (n ¡ 1)!cn¡1; Pn(n)(a) = n!cn ;

откуда следуют формулы (4.95).

Таким образом, представление многочлена в виде (4.94) окончательно выглядит следующим образом:

0				P 00(a)				2
					n
Pn(x) = Pn(a) + Pn(a)(x ¡ a) +							(x ¡ a)		+ : : :
					2!
+	Pn(n¡1)(a)				(x ¡ a)n¡1 +					Pn(n¡1)(a)	(x ¡ a)n: (4.96)
	(n	¡	1)!							n!

Формулу (4.96) называют формулой Тейлора для многочлена.

n!

Ã0(»)

4. Производная и её приложения

195

Рассмотрим теперь функцию f, дифференцируемую n ¡ 1 раз на открытом промежутке X и имеющую в точке a этого промежутка производную порядка n. Тогда, по аналогии с формулой (4.96), мы можем составить многочлен

Pn(x) = f(a) + f0(a)(x ¡ a) +		f00(a)			(x ¡ a)2 + : : : +
		2!
+	f(n¡1)(a)				(x ¡ a)n¡1 +	f(n)(a)		(x ¡ a)n: (4.97)
	(n	¡	1)!			n!

Если функция f сама не является многочленом степени не выше n,

то f(x) не совпадает с Pn(x). Введём обозначение
			Rn(x) = f(x) ¡ Pn(x):								(4.98)
Тогда, учитывая (4.97), f(x) можно представить в виде:
f(x) = f(a) + f0(a)(x ¡ a) +					f00(a)		(x ¡ a)2 + : : : +
					2!
f(n¡1)(a)								f(n)(a)
+				(x ¡ a)n¡1 +						(x ¡ a)n + Rn(x):	(4.99)
	(n	¡	1)!					n!

Формулу (4.99) называют формулой Тейлора с центром в точке a, а

Rn(x) остаточным членом формулы Тейлора.

Конечно, от формулы Тейлора не будет никакого проку, если мы не научимся оценивать остаточный член, судить о его поведении при увеличении n или при изменении x. Поэтому наша ближайшая задача получить такие представления для остаточного члена, которые бы позволяли производить с ним вышеуказанные и другие потребные действия.

Теорема 4.18 Пусть функция f дифференцируема на открытом промежутке X n + 1 раз и a; x 2 X (x =6 a). Пусть Ã : [a; x] ! R произвольная функция, непрерывная на [a; x] и дифференцируемая в (a; x),

причём	Ã0	(t) = 0		в указанном интервале. Тогда для остаточного члена
		6
справедливо представление
	Rn(x) =		Ã(») ¡ Ã(a)		¢	f(n+1)(»)	(x ¡ »)n; » 2 (a; x):	(4.100)

196 Оглавление

Это представление остаточного члена называют остаточным членом

формулы Тейлора в общей форме.
Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a; x] функцию
'(t) = f(x) ¡ f(t) ¡ f0(t)(x ¡ t) ¡	f00(t)					(x ¡ t)2 ¡ : : :
		2!
	f(n¡1)(t)							f(n)(t)
¡							(x ¡ t)n¡1 ¡			(x ¡ t)n:
	(n		¡	1)!				n!
Функция ' непрерывна и дифференцируема на [a; x]									как сумма

непрерывных и дифференцируемых слагаемых. Тогда к паре функций

' и Ã можно применить теорему Коши, согласно которой найдётся » 2

(a; x) такое, что имеет место равенство

'(x) ¡ '(a)

=

'0(»)

:

(4.101)

Ã(x)

¡

Ã(a)

Ã0(»)

Вычислим '(a), '(x), '0(») и подставим в это равенство.

'(a) = f(x) ¡ f(a) ¡ f0(a)(x ¡ a) ¡

f00(a)

(x ¡ a)2 ¡ : : : ¡

2!

¡

f(n)(a)

(x ¡ a)n = Rn(x) (см. (4.99));

n!

'(a) = 0;

'0(t) = ¡f0(t) ¡ f00(t)(x ¡ t) + f0(t) ¡

f000(t)

(x ¡ t)2+

2!

+ f00(t)(x ¡ t) ¡ : : : ¡

f(n)(t)

(x ¡ t)n +

f(n¡1)(t)

(x ¡ t)n¡2¡

(n

¡

1)!

(n

¡

2)!

f(n+1)(t)

f(n)(t)

f(n+1)(t)

¡

(x ¡ t)n

+

(x ¡ t)n¡1

=

(x ¡ t)n;

n!

(n

¡

1)!

n!

следовательно,

f(n+1)(»)

'0(») =

(x ¡ »)n:

n!

После подстановки равенство (4.101) примет вид

¡Rn(x)

=

¡

f(n+1)(»)(x ¡ »)n

:

Ã(x)

¡

Ã(a)

n!Ã0(»)

После очевидных преобразований отсюда получаем (4.100).

За счёт выбора функции Ã, удовлетворяющей условиям теоремы 4.18, можно получать различные, более простые, формы остаточного члена.

4. Производная и её приложения

197

Теорема 4.19 Пусть функция f дифференцируема на открытом промежутке X n+1 раз и a 2 X. Тогда остаточный член формулы Тейлора можно представить в виде

	f	(n+1) »	)	x			a		p
Rn(x) =		(		µ		¡		¶	(x ¡ »)n+1; p > 0; » 2 (a; x): (4.102)
		n!p			x	¡	»

Это представление остаточного члена называют остаточным членом

формулы Тейлора в форме Шлёмильха-Роша.

Доказательство. Рассмотрим два случая: x > a и x < a.

1) Пусть x > a. Рассмотрим функцию Ã(x) = (x ¡ t)p (p > 0). Эта

функция на отрезке [a; x] непрерывна, её производная Ã0(t) = ¡p(x ¡ t)p¡1 6= 0 в интервале (a; x), поэтому её можно использовать в представ-

лении остаточного члена формулы Тейлора в общей форме. Подставив

à и Ã0 в (4.100), получим:

R	(x) =	¡(x ¡ a)p		f(n+1)(»)	(x		»)n:
n		¡p(x ¡ »)p¡1	¢	n!		¡

После очевидных преобразований получаем отсюда (4.102).

2) Пусть x < a. Тогда рассмотрим функцию Ã(x) = (t ¡ x)p (p > 0).

Снова эта функция непрерывна на [a;

x], её производная Ã0(t) = p(t ¡

x)p¡1 = 0

в интервале

(a; x)

, поэтому она удовлетворяет требованиям

6

теоремы 4.18. Подставим Ã и Ã0 в (4.100). Тогда

R

(x) =

¡(a ¡ x)p

f(n+1)(»)

(x

»)n =

p(» ¡ x)p¡1 ¢

¡

n

n!

a

x

p

f(n+1) »

)

f

(n+1)

x

a

p

= ¡ µ

¡

¶

(» ¡ x)

(

(x ¡ »)n

=

(»)

µ

¡

¶

(x ¡ »)n+1:

»

x

n!p

n!p

x

»

¡

¡

Следствие 4.4 Остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде

Rn(x) =	f(n+1)(»)	(x ¡ a)n+1; » 2 (a; x):	(4.103)
	(n + 1)!

Такую форму остаточного члена называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Для её получения достаточно в (4.102) взять p = n + 1.

198	Оглавление

Остаточный член в форме Лагранжа выглядит особенно просто, имеет такой же вид, как и остальные члены формулы Тейлора (лишь производная f(n+1) вычисляется не в точке a, а в неизвестной точке » интервала

(a; x), а потому используется наиболее часто.

Следствие 4.5 Остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде

Rn(x) =	f(n+1)(»)	(x ¡ »)n(x ¡ a); » 2 (a; x):	(4.104)
	n!

Такую форму остаточного члена называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Коши. Для её получения достаточно в (4.102) взять p = 1. Однако запись остаточного члена в форме Коши в виде (4.104) не особенно удобна. Положим поэтому µ = x» ¡¡ aa. Тогда

»= a + µ(x ¡ a); x ¡ » = x ¡ a ¡ µ(x ¡ a) = (1 ¡ µ)(x ¡ a)

и(4.104) принимает вид

Rn(x) =	f(n+1)(»)	(1 ¡ µ)n(x ¡ a)n+1; 0 < µ < 1:	(4.105)
	n!

Выводу ещё одной формы остаточного члена предпошлём лемму, которая может пригодиться и в иных случаях.

Лемма 4.1 Пусть функция ' определена на открытом промежутке

X, дифференцируема на нём n ¡ 1 раз и в точке a этого промежутка имеет производную порядка n. Если '(a) = 0, '0(a) = 0, : : :, '(n)(a) = 0, то

'(x) = o ((x ¡ a)n) (x ! a):

(4.106)

Доказательство. Проведём доказательство леммы методом математической индукции.

Проверим справедливость утверждения при n = 1. Если ' дифференцируема в точке a, то её приращение в этой точке можно представить в

4. Производная и её приложения

199

виде (4.54), поэтому

'(x) ¡ '(a) = '0(a)(x ¡ a) + o(x ¡ a):

Так как по условию '(a) = '0(a) = 0, то остаётся

'(x) = o(x ¡ a)

и справедливость утверждения леммы при n = 1 установлена.

Пусть теперь лемма справедлива для n ¡ 1, то есть всякая функция

Ã, дифференцируемая на промежутке X n ¡ 2 раза, а в точке a n ¡ 1

раз и удовлетворяющая условиям

Ã(a) = Ã0(a) = : : : = Ã(n¡1)(a) = 0;

имеет представление Ã(x) = o ((x ¡ a)n¡1) (x ! a). Покажем, что тогда для функции ' справедливо (4.106).

Положим Ã(x) = '0(x). Очевидно, функция Ã удовлетворяет перечисленным выше условиям, поэтому по сделанному предположению

Ã(x) = o ¡(x ¡ a)n¡1¢ (x ! a):

Так как n ¸ 2 (при n = 1 лемма уже доказана), то ' дифференцируема, следовательно, и непрерывна на промежутке X, поэтому для любого x 2

X на отрезке [a; x] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По этой теореме

'(x) ¡ '(a) = '0(»)(x ¡ a) ;

или

'(x) = Ã(»)(x ¡ a) = o ¡(» ¡ a)n¡1¢(x ¡ a) = = o ¡(x ¡ a)n¡1¢(x ¡ a) = o ((x ¡ a)n) (x ! a);

так как » 2 (a; x), следовательно, j» ¡ aj < jx ¡ aj.

Теорема 4.20 Пусть функция f дифференцируема на открытом промежутке X n ¡ 1 раз и имеет производную порядка n в точке a этого