Matan_1_semestr_Lektsii

230 Оглавление

Пусть теперь функция f выпуклая по второму определению. Возьмём любое x1 < x0 и любое x2 > x0 (x1; x2 2 X) и обозначим через y1 и y2 ординаты точек касательной (4.139) с абсциссами x1 и x2. Тогда,

очевидно,
y0	¡ y1	=	y2	¡ y0	:	(4.142)
x0	¡ x1	x2		¡ x0

Так как функция f выпуклая по второму определению, то f(x1) ¸ y1, f(x2) ¸ y2. Заменив в (4.142) y0 на f(x0), y1 на f(x1) и y2 на f(x2),

получим неравенство
f(x0) ¡ f(x1)	·	f(x2) ¡ f(x0)	;
x0 ¡ x1		x2 ¡ x0

являющееся, ввиду произвольности x0, x1, x2, условием (4:132) выпуклости функции f на промежутке X. Следовательно, функция f выпукла и по первому определению.

Остальные три предложения, содержащиеся в лемме, доказываются аналогично.

Теорема 4.30 (Второй критерий выпуклости (вогнутости)) Если функция f дважды дифференцируема на промежутке X, то она выпукла на

X тогда и только тогда, когда f00(x) ¸ 0 всюду на X, и вогнута, когда f00(x) · 0.

Доказательство. По предыдущей теореме функция f выпукла (вогнута) на промежутке X тогда и только тогда, когда её производная f0 не убывает (не возрастает) на промежутке X. Но f0 тоже функция, определённая на промежутке X, и по теореме 4.23 она не убывает (не возрастает) на промежутке X тогда и только тогда, когда её производная f00(x) ¸ 0 (· 0) всюду на X.

Следствие 4.10 (Достаточное условие строгой выпуклости (вогнутости)) Если функция f дважды дифференцируема на промежутке X, причём f00(x) > 0 (< 0) всюду на X, то она выпукла (вогнута) на этом промежутке.

4. Производная и её приложения

231

Справедливость этого утверждения устанавливается с помощью следствия из теоремы 4.23.

Обратное утверждение места не имеет, так как, например, функция y = x4 строго выпукла на R, в то время как её вторая производная удовлетворяет лишь условию y00 = 12x2 ¸ 0.

Примеры.

1.Функция y = ax строго выпукла на R, так как её вторая производная y00 = ax ln2 a > 0 всюду на R.

2.Функция y = loga x строго выпукла на (0; +1) при 0 < a < 1 и

строго вогнута при a > 1, так как её вторая производная y00 = ¡x2 1ln a в

указанном промежутке больше нуля в первом случае и меньше нуля во втором.

3.Функция y = sin x строго вогнута на отрезках [2¼k; ¼+2¼k] и строго выпукла на отрезках [¼ + 2¼k; 2¼ + 2¼k] (k 2 Z), так как её вторая производная y00 = ¡ sin x отрицательна на интервалах (2¼k; ¼ + 2¼k) и

положительна на интервалах (¼ + 2¼k; 2¼ + 2¼k).

Определение 4.17 Пусть функция f непрерывна на промежутке X, a внутренняя точка промежутка и в точке a существует производная f0(a). Назовём точку a точкой перегиба (графика функции f), если найдётся такая окрестность U±(a) точки a, в пределах которой функция имеет разные направления (строгой) выпуклости слева и справа от точки a. Другими словами, график функции f расположен по разные стороны от точки a строго выше и строго ниже касательной, проведённой к графику функции в точке a.

Замечание 4.13 Определение точки перегиба остаётся в силе и в том случае, когда f0(a) = 1.

Теорема 4.31 (Необходимое условие перегиба) Пусть функция f

дифференцируема на промежутке X и во внутренней точке a промежутка имеет вторую производную. Если a точка перегиба, то f00(a) = 0.

232	Оглавление

Доказательство. Если a точка перегиба, то по определению функция f имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки a. В таком случае по критерию строгой выпуклости (вогнутости) её производная f0 либо возрастает слева от точки a и убывает справа, либо наоборот, убывает слева и возрастает справа от точки a. И в одном, и в другом случае точка a является точкой экстремума функции f0, следовательно, по необходимому условию экстремума (теорема 4.25) её производная в этой точке равна нулю. Итак, f00(a) = 0.

То, что условие f00(a) = 0 не является достаточным, показывает приведённый выше пример функции y = x4. Для неё y00(0) = 0, однако точка a = 0 не является точкой перегиба.

При доказательстве предыдущей теоремы было установлено, что точка перегиба функции f является точкой экстремума для её производной f0, поэтому достаточные условия перегиба для функции f это достаточные условия экстремума для функции f0, и получаются они переформулировкой теорем 4.26 4.28.

Теорема 4.32 (Первое достаточное условие перегиба)

Пусть функция f дифференцируема на промежутке X и имеет на нём вторую производную всюду, за исключением, может быть, внутренней точки a. Если существует такая окрестность U±(a) точки a, в пределах которой f00(x) имеет разные знаки по разные стороны от точки a, то a

точка перегиба.

Теорема 4.33 (Второе достаточное условие перегиба)

Пусть функция f дважды дифференцируема на промежутке X и во внутренней точке a имеет производную третьего порядка. Если f00(a) = 0, а f000(a) 6= 0, то a точка перегиба.

Теорема 4.34 (Третье достаточное условие перегиба)

Пусть функция f дифференцируема n ¡ 1 раз на промежутке X и

имеет производную порядка n (n ¸ 3) во внутренней точке a, причём f00(a) = f000(a) = : : : = f(n¡1)(a) = 0;

4. Производная и её приложения

233

а f(n)(a) =6 0. Тогда, если n нечётное, то a точка перегиба, а если n

чётное, то в точке a перегиба нет.

Примеры
1. y = p3
	x; x 2 R.			1
Производная y0 =							определена всюду, кроме точки a = 0, в
				p3
						2
3				x

которой она принимает бесконечное значение. Вторая производная y00 =

2 00

¡ p тоже определена всюду, кроме точки a = 0. Так как y слева

9x 3 x2

от точки a = 0 положительна, а справа отрицательна, то по первому достаточному условию a = 0 точка перегиба.

2. y = sin x; x 2 R.

y00 = ¡ sin x = 0 в точках ak = ¼k; k 2 Z, y000(ak) = ¡ cos(¼k) = (¡1)k+1 =6 0. По второму достаточному условию точки ak точки перегиба.

3. y = x5 ¡ 5x6; x 2 R. Имеем:

y0 = 5x4 ¡ 30x5 = 0 в точке a = 0; y00 = 20x3 ¡ 150x4 = 0 в точке a = 0; y000 = 60x2 ¡ 600x3 = 0 в точке a = 0;

y(4) = 120x ¡ 1800x2 = 0 в точке a = 0; y(5) = 120 ¡ 3600x =6 0 в точке a = 0.

Так как пять число нечётное, то по третьему достаточному условию a = 0 точка перегиба.

4.7Асимптоты

Асимптотой графика функции f называют прямую, к которой график функции неограниченно приближается, когда точка (x; f(x)) графика уходит в бесконечность. Различают вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.

Определение 4.18 Пусть функция f определена в проколотой окрестности точки a, двусторонней или односторонней. Прямую x = a назо-

234	Оглавление

вём вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы один

из пределов lim f(x) = §1.

x!a§0

Примеры.

1. y = x1 . Функция определена на всей вещественной оси, кроме точки a = 0.

lim

1

= ¡1;

lim

1

= +1

:

x

0 x

x +0 x

!¡

!

Прямая x = 0 вертикальная асимптота.

2. y =

1

. Функция определена на всей вещественной оси, кроме

x2

точки a = 0.

lim

1

= +

;

lim

1

:

1

= +1

x 0 x2

x

!

+0 x2

!¡

Прямая x = 0 вертикальная асимптота.

3. y = ln x . Функция определена на (0; +1).

lim ln x = ¡1:

x!+0

Прямая x = 0 вертикальная асимптота.

4. y = e1=x . Функция определена на всей вещественной оси, кроме точки a = 0.

lim e1=x = 0; lim e1=x = +1:

x!¡0 x!+0

Прямая x = 0 вертикальная асимптота.

Определение 4.19 Пусть функция f определена в окрестности (правосторонней окрестности, левосторонней окрестности) бесконечно удалённой точки. Прямую y = kx + b назовём асимптотой графика функции f при стремлении x к 1, (+1, ¡1), если

		xlim (f(x) ¡ (kx + b)) = 0		(4.143)
		!1
lim (f(x)	¡	(kx + b)) = 0; lim (f(x)	¡	(kx + b)) = 0 :
µx!+1		x!¡1		¶

Теорема 4.35 Пусть функция f определена в окрестности бесконечно удалённой точки. Прямая y = kx + b служит асимптотой графика

4. Производная и её приложения

235

функции f при стремлении x к 1 тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

xlim	f(x)		= k;	xlim (f(x) ¡ kx) = b:	(4.144)
	x
!1				!1

Доказательство. Пусть прямая y = kx+b служит асимптотой графика функции f при стремлении x к 1. Тогда выполнено (4.143) и, используя теорему 3.15, можно утверждать, что f(x) ¡ kx ¡ b = ®(x), где ®(x)

бесконечно малая функция при x ! 1. Отсюда имеем:

f(x) = kx + b + ®(x)

(4.145)

или, разделив на x, f(xx) = k + xb + ®(xx). Устремив здесь x к 1, получим первое из условий (4.144). Второе из условий (4.144) получим, если в (4.145) перенесём слагаемое kx в левую часть и, снова используя теорему 3.15, перейдём к пределу при x ! 1. Необходимость доказана.

Пусть выполнены условия (4.144). Второе из них в силу теоремы 3.15 эквивалентно (4.143), следовательно, прямая y = kx + b наклонная асимптота. Доказана и достаточность.

Условия существования наклонной асимптоты при x ! §1 формулируются и доказываются совершенно аналогично.

Пример 4.49 Найти наклонные асимптоты графика функции

x3

y = (x + 1)2 :

Решение. Данная функция определена на всей вещественной оси, кроме точки x = ¡1, поэтому вопрос о существовании у её графика наклонных асимптот правомерен. Попробуем найти k и b при x ! 1, используя формулы 4.144.

k = lim

f(x)

= lim

x3

= lim

x3

= 1;

x

x!1

x!1 x(x + 1)2

x!1 x3(1 + 1=x)2

= x!1

¡

x!1

µ(x + 1)2 ¡ ¶

¡ x!1 (x + 1)2 =

b lim (f(x)

kx) = lim

x3

x =

lim

2x2

+ x

236		Оглавление
= ¡ xlim	2 + 1=x	= ¡2:
	(1 + 1=x)2
!1

Поскольку k и b найдены, то прямая y = x ¡ 2 служит наклонной асимптотой графика данной функции при x ! 1.

Пример 4.50 Найти наклонные асимптоты графика функции

y = x + e¡x:

Решение. Данная функция определена на всей вещественной прямой. Так как поведение функции e¡x резко различно при x ! +1 и x ! ¡1, то будем искать наклонные асимптоты при x ! +1 и при x ! ¡1

отдельно.

a) x ! +1.

x!+1

x

= x!+1

x

x!+1

µ1 +

x

¶

k = lim

f(x)

lim

x + e¡x

=

lim

e¡x

= 1;

¡

e¡x = 0:

b =

lim (f(x)

kx) =

lim

x

+

x

+

! 1

! 1

Итак, прямая y = x является наклонной асимптотой графика данной функции при x ! +1.

b) x ! ¡1.

k = lim

f(x)

lim

x + e¡x

=

lim

µ

1 +

e¡x

¶

= +

1

x

x

x

x!¡1

= x!¡1

x!¡1

(см. пример 4.23). Поскольку k найти не удалось, то график данной функции при x ! ¡1 асимптоты не имеет.

Пример 4.51 Найти наклонные асимптоты графика функции

y = x arctg x:

Решение. Данная функция определена на всей вещественной прямой. Так как поведение функции arctg x при x ! +1 и при x ! ¡1 тоже различно, то снова будем искать асимптоты отдельно при x ! +1 и при x ! ¡1.

4. Производная и её приложения

237

a) x ! +1.

k =

lim

x arctg x

= lim

arctg x =

¼

;

x

2

x!+1

x!+1

b = lim

x arctg x

¼

x =

lim

x

arctg x

¼

= (

0) =

¡

2 ¢

¡

2

1 ¢

x!+1

³

´

µ

x!+1

³

´

arctg x

¼=2

0

1=(1 + x)2

lim

=

=

lim

=

1:

x¡¡1

¡1=x2

¡

= x!+1

0¶

x!+1

(При раскрытии неопределённости было использовано правило Лопита-

ля.)

Итак, при x ! +1 график функции имеет асимптотой прямую y =

¼

x ¡ 1.

2

b)Так как рассматриваемая функция чётная, то асимптота при

x ! ¡1 будет симметрична асимптоте при x ! +1, то есть это будет прямая y = ¼2 x ¡ 1.

Построение графиков функций

Полное исследование функции, имеющее целью построение её графи-

ка, включает в себя следующие действия.

1.Нахождение области определения функции.

2.Установление свойств чётности (нечётности) и периодичности, если они имеются.

3.Нахождение точек пересечения с осями координат и промежутков знакопостоянства.

4.Нахождение промежутков возрастания (убывания) и точек экстремума.

5.Нахождение промежутков выпуклости (вогнутости) и точек пере-

гиба.

6.Установления характера поведения функции при приближении к границам области определения, в частности, нахождение асимптот, если они имеются.

После этого в выбранной системе координат откладываем все выявленные точки графика, наносим асимптоты и проводим график через нанесённые точки в соответствии с выявленными свойствами функции.

238	Оглавление

При необходимости, для более точного построения графика, можно за-

дать на графике несколько точек.

Пример 4.52 Провести полное исследование и построить график функ-

ции y = 2x3 ¡ 5x2 + 14x ¡ 6. 4x2

Решение.

1.Так как деление на нуль невозможно, то область определения данной функции Dy = R n f0g.

2.Функция, очевидно, не является периодической. Проверим её на

	чётность.
	y(	¡	x) =	2(¡x)3 ¡ 5(¡x)2 + 14(¡x) ¡ 6	=	¡2x3 ¡ 5x2 ¡ 14x ¡ 6	:
				4(¡x)2		4x2

Сравнивая y(¡x) и y(x), убеждаемся, что y(¡x) =6 y(x), y(¡x) =6 ¡y(x), следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Так как x =6 0, то точек пересечения с осью Oy данная функция не имеет. Точки пересечения с осью Ox найдём, положив y = 0 и решив

	уравнение
			2x3 ¡ 5x2 + 14x ¡ 6 = 0:
	Подбором находим один корень x1 =						1	. Затем, разделив уравнение на
							2
	1
			, приходим к квадратному уравнению 2x2 ¡ 4x + 12 = 0, которое
	x ¡
		2
	не имеет корней, так как его дискриминант D < 0. Итак, график пере-
				1					1
	секает ось Ox в точке M1			µ		; 0¶. Точки 0 (функция не определена) и
					2				2

(нуль функции) разбили область определения функции на три интерва-

ла: (¡1; 0), µ0;	1	¶	и µ	1	; +1¶, на каждом из которых знак функции
	2			2

постоянен, так как непрерывная функция может поменять знак только пересекая ось Ox (теорема 3.33). Определим знак функции на каждом интервале (в крайних интервалах можно взять точки ¡1 и 1 и вычислить в них значение функции, а в среднем легче найти предел при x ! +0) и сведём полученные результаты в таблицу.

x	(¡1; 0)	0	(0; 1=2)	1=2	(1=2; +1
y	¡	@	¡	0	+

4. Производная и её приложения

239

Для исследований по пунктам 4 и 5 нам потребуются первая и вторая

	производные функции. найдём их.
	y0 =	x3 ¡ 7x + 6	; y00	=	7x ¡ 9	:
		2x3			x4

4. Приравняем y0 к нулю и найдём стационарные точки функции. x3 ¡ 7x + 6 = 0; x2 = ¡3; x3 = 1; x4 = 2:

(x3 = 1 находится подбором, после деления на x ¡ 1 остаётся решить квадратное уравнение x2 + x ¡ 6 = 0.)

Стационарные точки функции вместе с точкой x = 0 делят ось Ox на пять интервалов, на каждом из которых ввиду непрерывности производная имеет постоянный знак, а функция, соответственно, либо возрастает, либо убывает. Для определения знака производной на каждом интервале

удобно записать её в виде y0 = (x + 3)(x ¡ 1)(x ¡ 2) и подсчитывать ко-

2x3

личество отрицательных множителей на каждом интервале. Полученные результаты, как и выше, сведём в таблицу.

x	(¡1; ¡3)	¡3	(¡3; 0)	0	(0; 1)	1	(1; 2)	2	(2; +1)
y0	+	0	¡	@	+	0	¡	0	+
y	%	max	&	@	%	max	&	min	%

В этой таблице направление стрелки вверх означает возрастание функции, вниз убывание. Подсчитаем значения функции в точках экстре-

мума. Тогда:
M2	µ¡3; ¡			49	¶, M3	µ1;	5		¶ точки локального максимума;
				12			4
	9
M4	µ2;		¶ точка локального минимума.
		8

5. Приравнивая к нулю вторую производную, найдём точку x5 = 97

возможного перегиба графика. Эта точка вкупе с точкой x = 0 разбивает ось Ox на три интервала, на каждом из которых вторая производная имеет постоянный знак и, следовательно, график функции определённое направление выпуклости. Как и прежде, сведём результаты исследований в таблицу.